Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Алгоритм Фараха

5957 байт добавлено, 19:21, 4 сентября 2022
м
rollbackEdits.php mass rollback
{{В разработке}}'''Алгоритм ФарачаФараха''' , разработанный в 1997 году американским ученым Мартином Фарах-Колтоном (Martin Farach-Colton) {{---}} алгоритм построения [[Сжатое суффиксное дерево|суффиксного дерева]] для заданной строки <tex>s</tex>, ( длины <tex>| s | = N) </tex> который . Сам алгоритм выполняется за время <tex>O(N)</tex>, при этом причём даже не требуется выполнения выполнение условия конечности алфавита. Такая эффективность достигается за счет счёт того, что строковые последовательности определяются на индексированном алфавите или, что эквивалентно, на целочисленном алфавите <tex>\Sigma = \{1, 2 \dots , k\}</tex>, при . При этом накладывается дополнительное условие, что <tex>k \in = O(N)</tex>. Такие алфавиты часто встречаются на практике. Важно помнить, что алгоритм скорее теоретический, нежели практический, а основная его ценность заключается в том, что размер алфавита может быть произвольным.
== Описание алгоритма ==
= Описание Идея алгоритма =состоит в том, что мы уменьшаем размер исходной строки, строим суффиксное дерево для неё рекурсивно, а потом получаем из построенного дерево для текущей строки. Для этого мы разбиваем символы исходной строки на пары и нумеруем их, а из полученных номеров составляем новую строку, которая уже в <tex>2</tex> раза короче.
Основная идея алгоритма, заключается в том что мы уменьшаем размер исходной строки. Для этого мы разбиваем символы сходной строки на пару и пронумеровываем их, а из полученных номеров составляем новую строку, которая уже в <tex>2</tex> раза короче. Алгоритм Фарача Фараха будет описан в виде пяти выполняемых шагов. Используем в качестве примера строку <tex>s = 121112212221</tex>, определенную на алфавите <tex>\Sigma = \{1, 2\} </tex> (в этом примере <tex>N = 12</tex>).
=== Шаг 1: суффиксное дерево для сжатой строки===
[[Файл:tree101232.png|thumb|300px|Суффиксное дерево для сжатой строки]]* Строка <tex>s</tex> разбивается на пары подряд идущих символов: <tex> <\langle 12> <\rangle \langle 11> <\rangle \langle 12> <\rangle \langle 21> <\rangle \langle 22> <\rangle \langle 21> \rangle </tex>*: (если символов нечетное нечётное число {{-- -}} последняя пара дополняется специальным символом <tex>\$</tex>).* Пары сортируются устойчивой сортировкой (удобно сортировать [[Цифровая_сортировка | поразрядной сортировкой: ]], так как число разрядов мало, размер алфавита — <tex>O(n)<11/tex> , то время работы сортировки — линейное): <tex> \langle 11 \rangle \langle 12> <\rangle \langle 12> <\rangle \langle 21> <\rangle \langle 21> <22> \rangle \langle22\rangle </tex>.* Удаляются копии: <tex><\langle 11> <\rangle \langle 12> <\rangle \langle 21> <\rangle \langle 22> \rangle </tex>.* Парам даются номера (условно, в массиве они и так есть): <tex>\langle 11\rangle -(0), \langle 12\rangle -(1), \langle 21\rangle -(2), \langle 22\rangle-(3)</tex>.* Создаётся новая строка из номеров парВ исходной строке пары заменяются на номера: <tex>1 0 1 2 3 2</tex>.* Из полученной строки вдвое меньшего размера рекурсивно создаётся [[Сжатое суффиксное дерево | суффикcное дерево]]:тем же алгоритмом.[[Файл* Рекурсия не продолжается, если строка имеет длину, равную единице:tree101232.png|300px|thumb|right|суффиксное дерево для сжатой строки]]{|class="wikitable"|+!width="20%"|ID !!width="20%"|LCP !!width="20%"|STR |- align = "center"|1|0|0 1 2 3 2 |- align = "center"|0|0|1 0 1 2 3 2 |- align = "center"|2|1|1 2 3 2 |- align = "center"|3|0|2 3 2 |- align = "center"|5|1|2 |- align = "center"|4|0|3 2 |}строится тривиально.
=== Шаг 2: построение четного чётного дерева ===
{{Определение
|definition= Четное Чётное дерево <tex>T^{even}_s</tex> является деревом суффиксов для строки <tex>s</tex>, узлы-листья которого ограничены нечетными чётными позициями <tex>0, 2,4,6, \dots </tex> строки <tex>s\$</tex>.}} [[Файл:Tree101232even-pre.png|thumb|300px|Раскрываем все пары в суффиксы]][[Файл:Tree101232even.png|thumb|300px|Корректируем все развилки дерева]] Из дерева сжатой строки получаем частичное (чётное) дерево исходной строки. Частичное оно потому, что в нём будет только половина суффиксов, то есть те, которые стоят в чётных позициях. Номер каждой пары превращается в номер чётного суффикса исходной строки. Раскрываем все пары в суффиксы, из-за чего номера в листьях от этого умножатся на <tex>2</tex> очевидным образом. Корректируем все развилки дерева (так как они могут совпадать в первых символах):для всех внутренних вершин <tex>u</tex>, ребра всех детей которых начинаются с одинаковых символов, мы создадим новую вершину между <tex>u</tex> и ее детьми. Это можно сделать быстро, так как все ребра, исходящие из любой вершины, лексикографически отсортированы по своим первым двум символам (так как мы сортировали номера пар на прошлом шаге). Для каждого ребра нам достаточно проверить, что его первый символ соответствует первому символу соседнего ребра, и, если так, сделать необходимые исправления. Может случиться, что ребра ко всем детям <tex>u</tex> начинаются с одинакового символа, и в этом случае у вершины <tex>u</tex> будет только один ребенок. Тогда удалим <tex>u</tex>.Эта процедура требует константное время на каждое ребро и константное время на каждую вершину, а значит, на нее требуется линейное время. Итак, если <tex>T(n)</tex> {{---}} это время, которое потребуется нашему алгоритму, чтобы построить суффиксное дерево для строки <tex>S</tex>, то <tex>T_{even}</tex> может быть построено за время <tex>T(n/2) + O(n)</tex>    
Из дерева сжатой строки получаем частичное (чётное) дерево исходной строки. Частичное оно потому, что в нём будет только половина суффиксов, то есть те, которые стоят в чётных позициях:
[[Файл:Tree101232even-pre.png|300px|thumb|left|Очевидно, что для этого достаточно умножить все расстояния в дереве на 2]]
[[Файл:Tree101232even.png|300px|thumb|center|Корректируются все развилки дерева (так как они могут совпадать в первых символах)]]
{|class="wikitable"
|+
!width="20%"|ID !!width="20%"|LCP !!width="20%"|STR
|- align = "center"
|2
|0
|1112212221
|- align = "center"
|0
|1
|121112212221
|- align = "center"
|4
|2
|12212221
|- align = "center"
|6
|0
|212221
|- align = "center"
|10
|2
|21
|- align = "center"
|8
|1
|2221
|}
=== Шаг 3: построение нечетного по четному ===
{{Определение
|definition= Нечетное дерево <tex>T^{odd}_s</tex> является деревом суффиксов для строки <tex>s</tex>, узлы-листья
которого ограничены нечетными позициями <tex>1,3,5, \dots </tex> строки <tex>s\$</tex>.}}
Из чётного дерева нужно получить нечётное дерево (дерево из суффиксов в нечётных позициях). Для этого можно взять [[Суффиксный массив | суффиксный массив]] чётного дерева, отрезать первые символы и выполнить стабильную сортировку по оставшимся первым символам:
[[Файл:odd.png|300px|thumb|right| нечетное дерево]]
{|class="wikitable"
|+
!width="20%"|ID !!width="20%"|LCP !!width="20%"|STR
|- align = "center"
|3
|0
|112212221
|- align = "center"
|7
|1
|12221
|- align = "center"
|11
|1
|1
|- align = "center"
|1
|0
|21112212221
|- align = "center"
|5
|1
|2212221
|- align = "center"
|9
|3
|221
|}
Для выяснения общего префикса строк автор предлагает находить общего предка вершин в [[Сжатое суффиксное дерево|суффиксном дереве]] и считает, что такой предок можно найти за константное время. Для примера в этом дереве, общее начало строк '''5''' и '''9''' (<tex>11011111000</tex> и <tex>1111011111000</tex>) записано в пути от корня до общего предка этих вершин: (рисунок 3-1)
[[Файл:treestep3_blue.jpg|400px|рисунок 3-1]]
Поскольку структуры нечётного дерева у нас заранее нет и мы её только строим, то подходящих предков мы можем найти в исходном чётном дереве, для этого достаточно проверить вершины с номерами на единицу меньше и отрезать первый символ : (рисунок 3-2).
[[Файл=== Шаг 3:treestep3_red.jpgпостроение нечётного по чётному ==={{Определение|400px|рисунок definition= Нечётное дерево <tex>T^{odd}_s</tex> является деревом суффиксов для строки <tex>s</tex>, узлы-листья которого ограничены нечётными позициями <tex>1,3-2]],5, \dots </tex> строки <tex>s\$</tex>.}}
=== Шаг 4[[Файл: слияние четного и нечетного дерева ===Odd.png|thumb|450px|Нечётное дерево]]
Далее необходимо найти эффективный способ слияния нечетного и четного деревьев Из чётного дерева нужно получить нечётное дерево (дерево из суффиксов в одно дерево <tex>T_s</tex>нечётных позициях).  * [[Сжатое_суффиксное_дерево#.D0.9F.D0.BE.D1.81.D1.82.D1.80.D0.BE.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.B8.D0.B7_.D1.81.D1.83.D1.84.D1.84.D0.B8.D0.BA.D1.81.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.BC.D0.B0.D1.81.D1.81.D0.B8.D0. Слияние будем производить, начиная с корняB2. Предположим, что для каждого узла деревьев <tex>T_s^{odd}</tex> и <tex>T_s^{even}</tex> выходящие из них ребра занесены в специальные списки, где они упорядочены в возрастающем лексикографическом порядке подстрок, которые представляют эти ребраD0. Алгоритм слияния деревьев просматривает только первые буквы подстрок, представленных ребрами деревьев <tex>T_s^{odd}</tex> и <tex>T_s^{even}</tex>, пусть B0 | Строим по чётному дереву суффиксный массив]] — это будут буквы <tex>\lambda^{odd}</tex> и можно сделать за <tex>\lambda^{even}О(n)</tex>. Тогда:* если <tex>\lambda^{odd}</tex> <tex>\ne</tex> <tex>\lambda^{even}</tex>Дописываем ко всем суффиксам (кроме того, определяется поддеревочто на нулевой позиции) символ, соответствующее меньшей из этих букв, и без изменений присоединяется к узлу-родителю;предшествующий ему в строке. * если <tex>\lambda^{odd}</tex> <tex>=</tex> <tex>\lambda^{even}</tex> и длины подстрокЗаметим, представленных соответствующими ребрами, равнычто все нечётные суффиксы представляют собой один символ, за которым дальше следует чётный суффикс. А чётные суффиксы у нас уже были отсортированы в дерево слияния к текущему узлу добавляются два сына: один — из четного дерева, другой — из нечетного;суффиксном массиве. Тогда отсортируем их по первому символу за линейное время.* если <tex>\lambda^{odd}</tex> <tex>=</tex> <tex>\lambda^{even}</tex> и длины подстрок, представленных соответствующими ребрами, различны, в [[Сжатое_суффиксное_дерево#.D0.9F.D0.BE.D1.81.D1.82.D1.80.D0.BE.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.B8.D0.B7_.D1.81.D1.83.D1.84.D1.84.D0.B8.D0.BA.D1.81.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.BC.D0.B0.D1.81.D1.81.D0.B8.D0.B2.D0.B0 | Построим из нового суффиксного массива дерево слияния к текущему узлу добавляются два узла]], находящиеся на одном нисходящем путикоторое будет уже нечётным, при этом ближайший узел будет соответствовать более короткой подстрокечто тоже делается за линейное время.
Если начать эту процедуру для корней нечетного и четного деревьевТаким образом, далее она рекурсивно выполняется для корней всех поддеревьев, которые, возможно, уже содержат узлы из нечетного и четного деревьев, поскольку ранее мог быть реализован случай <tex>\lambda^T_{odd}</tex> может быть построено за линейное время по <tex>=</tex> <tex>\lambda^T_{even}</tex>. Так как время манипулирования с любым ребром этих деревьев фиксировано, то общее время слияния деревьев составит <tex>O(N)</tex>.
[[Файл=== Шаг 4:Tree101232merged-pre.png|450px|Слитое дерево (условно)]]слияние чётного и нечётного дерева ===
[[Файл:Tree101232merged-pre.png|thumb|450px|Слитое дерево (условно)]]
[[Файл:Tree101232merged-next.png|thumb|450px|Слитое дерево (в упрощённом виде)]]
[[Файл:Tree101232merged-nextДалее необходимо найти эффективный способ слияния нечётного и чётного деревьев в одно дерево <tex>T_s</tex>. Слияние будем производить начиная с корней деревьев.png|450px|Слитое дерево Предположим, что для каждого узла деревьев <tex>T_s^{odd}</tex> и <tex>T_s^{even}</tex> выходящие из них ребра занесены в специальные списки, где они '''упорядочены''' в возрастающем лексикографическом порядке подстрок, которые представляют эти ребра. Пусть каждое ребро будет дополнительно "помечено" своим первым символом. Возьмем по одному ребру из этих списков с одинаковыми метками упрощённом видеодном списке не может быть ребер с одинаковыми метками, так как это сжатые суффиксные деревья)]], обработаем их и рекурсивно спустимся в их поддеревья. Если для ребра из одного списка не оказалось ребра с такой же меткой из другого, то в поддеревья не спускаемся, так как там нечего сливать.Очевидно, манипуляции со списками работают за линейное время, так как сами списки упорядочены лексикографически.
В результате описанных действий получится дерево Алгоритм просматривает только первые буквы подстрок, представленных ребрами деревьев <tex>T_s^{odd}</tex> и <tex>M_xT_s^{even}</tex>, в котором пусть это будут присутствовать поддеревьябуквы <tex>\lambda^{odd}</tex> и <tex>\lambda^{even}</tex>. Тогда:* если <tex>\lambda^{odd}</tex> <tex>\ne</tex> <tex>\lambda^{even}</tex>, которые прошли процедуру слиянияопределяется поддерево, соответствующее меньшей из этих букв, и которые ее избежали (то есть были перенесены без изменений присоединяется к узлу-родителю;* если <tex>\lambda^{odd}</tex> <tex>=</tex> <tex>\lambda^{even}</tex> и длины подстрок, представленных соответствующими ребрами, равны, в дерево слияния к текущему узлу добавляются два сына: один {{---}} из чётного дерева, другой {{---}} из нечётного;* если <tex>M_x\lambda^{odd}</tex> без изменений)<tex>=</tex> <tex>\lambda^{even}</tex> и длины подстрок, представленных соответствующими ребрами, различны, в дерево слияния к текущему узлу добавляются два узла, находящиеся на одном нисходящем пути, при этом ближайший узел будет соответствовать более короткой подстроке.
=== Шаг 5: удаление двойных дуг ===Поскольку мы рассматриваем только первый символ каждого ребра (то есть делаем вид, что ребра равны, если первые символы у них равны), мы можем иногда слить рёбра, которые не должны были быть слиты. Однако те, которые надо было слить, точно сольем.
Разбираемся с двойными дугами (на этом примере их три). Для этого мы должны выяснитьЕсли начать эту процедуру для корней нечётного и чётного деревьев, сколько начальных символов таких дуг совпадает. Совпадать может от одного до нескольких символовона рекурсивно выполнится для корней всех поддеревьев, или даже все. Проверять их все по очереди нельзя (это даст квадратичное время). Если дуги совпадают полностьюкоторые, тогда ничего не делаемвозможно, удаляем одну уже содержат узлы из копий нечётного и всёчётного деревьев, поскольку ранее мог быть реализован случай <tex>\lambda^{odd}</tex> <tex>=</tex> <tex>\lambda^{even}</tex>. Если начало для двух дуг совпадает только частичноТак как время манипулирования любым ребром этих деревьев фиксировано, тогда нужно делать для них то общее начало, а ветки, которые на концах, снова развести по разным деревьям (для этого можно во время слияния запомнить их начальный цвет или просто сохранить ссылки на исходные веткидеревьев составит <tex>O(N)</tex>.
[[Файл:Tree101232mergedВ результате описанных действий получится дерево <tex>M_x</tex>, в котором будут присутствовать поддеревья, которые прошли процедуру слияния, и которые ее избежали (то есть были перенесены в дерево <tex>M_x</tex> без изменений).png|500px]]
=== Шаг 5: удаление двойных дуг ===
[[Файл:Tree101232merged.png|thumb|500px|Откорректированное дерево строки <tex>121112212221</tex>]]
[[Файл:Treestep5_1.jpg|thumb|550px|Пример]]
Разбираемся с двойными дугами (в примере их три). Для примера этого мы должны выяснить, сколько начальных символов у них совпадает. Совпадать может любое число символов, даже все. Проверять их все по очереди нельзя, так как это даст квадратичное время. Если дуги совпадают полностью, тогда просто удаляем одну из копий. Если начало для двух дуг совпадает только частично, тогда нужно сделать возьмём строку <tex>10010010101000</tex>:для них общее начало, а ветки, которые на концах, снова развести по разным деревьям (для этого можно во время слияния запомнить их начальный цвет или просто сохранить ссылки на исходные ветки).
[[ФайлРассмотрим то, как это сделать, на примере строки <tex>10010010101000</tex>:Treestep5_1.jpg|550px]]
Для того чтобы узнать общее начало двойной дуги, нужно взять одну чётную и одну нечётную вершину на дереве, для которых родителем является конец нашей двойной дуги. Например, на рисунке выше двойная дуга <tex>(1)</tex> (конец помечен зелёным) является общим родителем для вершин <tex>3</tex> и <tex>6</tex>. Чтобы узнать, на каком расстоянии будет расслаиваться двойная дуга, надо увеличить номера вершин на единицу и найти их родителя. Он будет находиться на единицу ближе к корню (и путь у вершин будет одинаковой строкой, не считая размера). Родитель вершин <tex>4</tex> и <tex>7</tex> помечен жёлтым, он находится на расстоянии <tex>1</tex> от корня, следовательно, дуга <tex>(1)</tex> должна расслаиваться в двух символах от корня, то есть обе дуги совпадают и их просто надо слить.
Разберём дуги по порядку:
* # Расслоение находится на расстоянии <tex>(1)2</tex> расслоение находится на расстоянии два от корня, то есть дуга не расслаивается.* <tex>(2)</tex> конец # Конец является родителем вершин <tex>2</tex>, <tex>7</tex>. Родитель <tex>3</tex>, <tex>8</tex> после слияния дуги <tex>(1)</tex>, находится на глубине <tex>2</tex> символа. Значит, дуга <tex>(2)</tex> расслаивается на глубине <tex>3</tex> символа, то есть так же также не расслаивается. Дугу <tex>(2)</tex> нужно вычислять после обработки дуги <tex>(1)</tex>, потому что конец дуги <tex>(1)</tex> после обработки может оказаться на разной высоте, в зависимости от того на каком символе она расслоилась.* <tex>(3)</tex> конец # Конец является родителем <tex>2</tex>, <tex>9</tex>. Родитель <tex>3</tex>, <tex>10</tex> находится на расстоянии <tex>3</tex>, а наше расслоение на расстоянии <tex>4</tex>, то есть сливается первый символ двойной дуги. Дугу <tex>(3)</tex> надо вычислять после дуги <tex>(2)</tex>. Потому что если на дуге <tex>(2)</tex> появится разветвление, то компоненты дуги <tex>(3)</tex> придётся растащить по разным веткам дерева и сравнивать их будет не нужно.* <tex>(4)</tex> конец # Конец является родителем <tex>1</tex>, <tex>4</tex>. Расслаивается на втором символе.* <tex>(5)</tex> конец # Конец является родителем <tex>0</tex>, <tex>3</tex>. Дугу <tex>(5)</tex> можно обрабатывать только после дуги <tex>(4)</tex>, так как от неё будет зависеть глубина расслоения.
Дерево после обработки: [[Файл:Treestep5_2.jpg|thumb|center|650px|Итоговое дерево строки <tex>10010010101000</tex>]]
Дерево строится рекурсивно, каждый раз длина строки уменьшается вдвое, а все фазы работают линейно.В итоге получается <tex> T(n) = Оценки T(n / 2) + \Theta (n) =\Theta (n) </tex>.
==Сравнение с другими алгоритмами==
===Достоинства===
*Алгоритм Фараха является первым, имеющим асимптотически оптимальное время построения <tex>O(N)</tex> для строк длины <tex>N</tex> над полиномиальным алфавитом, то есть алфавитом мощности порядка <tex>O(N)</tex>.
= Ссылки ==Недостатки===
*[http://wwwДанный алгоритм является больше теоретическим, нежели практическим.proteus2001Как можно было заметить, основная идея алгоритма довольно проста и понятна.narodИ хоть он и является асимптотически оптимальным, на практике его используют довольно редко.ru/gen/txt/11/farachЭто связано с тем, что алгоритм весьма сложен для реализации по сравнению с другими алгоритмами построения суффиксных деревьев, а также требует достаточно большой объем памяти.html Суффиксное дерево - Алгоритм фарача]*[http://books.google.ru/books/about/Computing_Patterns_in_Strings.html?id=iKR0EewiCu4C&redir_esc=y Computing Patterns in Strings]*[http://www.cs.rutgers.edu/~farach/pubs/SuffixЯвляется offline-алгоритмом, то есть требует для начала работы всю строку целиком.pdf Optimal suffix tree construction with large alphabets ]*[https://github.com/krzysztofp/Text-Algorithms/tree/master/Farach%20suffix%20tree Chris Parjaszewski's implementation]
==См. также==
* [[Сжатое суффиксное дерево]]
* [[Алгоритм Укконена]]
* [[Суффиксный массив]]
 
== Источники информации ==
*[http://www.cs.rutgers.edu/~farach/pubs/Suffix.pdf Optimal suffix tree construction with large alphabets ]
*[http://www.proteus2001.narod.ru/gen/txt/11/farach.html Суффиксное дерево {{---}} Алгоритм Фараха]
*[http://books.google.ru/books/about/Computing_Patterns_in_Strings.html?id=iKR0EewiCu4C&redir_esc=y Computing Patterns in Strings]
*[https://github.com/krzysztofp/Text-Algorithms/tree/master/Farach%20suffix%20tree Chris Parjaszewski's implementation]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Словарные структуры данных]]
 
[[Категория: Суффиксное дерево]]
1632
правки

Навигация