Алгебра графов

Алгебра графов (англ. algebra of graphs) — способ построить на пространстве ориентированных графов алгебраическую структуру. Впервые такая возможность была продемонстрирована McNulty и George F. в 1983 году.

Основные определения

Определение:

Пустой граф (англ. empty graph) — граф в котором нет вершин и ребер. Здесь и далее будем обозначать его как [math]\varepsilon[/math]. То есть [math]\varepsilon = \{\varnothing, \varnothing\}[/math].

Определение:

Одиночный граф (англ. single graph) — граф состоящий из одной вершины. Здесь и далее для удобства будем обозначать и одиночный граф и множество его вершин одной буквой. Например, [math] a = \{a, \varnothing \}[/math] — граф содержащий толко одну вершину [math]a[/math].

Определение:

Алгеброй графов (англ. algebra of graphs) называется множество ориентированных графов с двумя определенными на нем операциями. Пусть [math]G_1 = \{V_1, E_1\}[/math] и [math]G_2 = \{V_2, E_2\}[/math]. Тогда [math]\forall G_1, G_2[/math] Сложение (англ. overlay): [math]G_1 + G_2 = \{V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2\}[/math] Соединение (англ. connect): [math] G_1 \rightarrow G_2 = \{V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2\}[/math]

Cвойства операций

Данные операции обладают следующими свойствами очевидными из определения.

Сложение

• Наличие нейтрального элемента

Утверждение:

[math]G + \varepsilon = G[/math]

• Коммутативность:

Утверждение:

[math]G_1 + G_2 = G_2 + G_1[/math]

• Aссоциативность:

Утверждение:

[math]G_1 + (G_2 + G_3) = (G_1 + G_2) + G_3[/math]

Соединение

• Наличие левого и правого нейтральных элементов:

Утверждение:

[math]\varepsilon \rightarrow G = G \\G \rightarrow \varepsilon = G[/math]

• Ассоциативность:

Утверждение:

[math]G_1 \rightarrow (G_2 \rightarrow G_3) = (G_1 \rightarrow G_2) \rightarrow G_3[/math]

[math]\triangleright[/math]

Левая часть: [math]G_1 \rightarrow (G_2 \rightarrow G_3) = (V_1, E_1) \rightarrow ((V_2, E_2) \rightarrow (V_3, E_3)) = (V_1, E_1) \rightarrow (V_2 \cup V_3, E_2 \cup E_3 \cup V_2 \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_2 \times V_3 \cup V_1 \times (V_2 \cup V_3)) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_2 \times V_3 \cup V_1 \times V_2 \cup V_1 \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times V_2 \cup V_1 \times V_3 \cup V_2 \times V_3)[/math] Правая часть: [math](G_1 \rightarrow G_2) \rightarrow G_3 = ((V_1, E_1) \rightarrow (V_2, E_2)) \rightarrow (V_3, E_3) = (V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2) \rightarrow (V_3, E_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2 \cup E_3 \cup (V_1 \cup V_2) \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times V_2 \cup V_1 \times V_3 \cup V_2 \times V_3)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Другие свойства

• Левая и правая дистрибутивность:

Утверждение:

[math]G_1 \rightarrow (G_2 + G_3) = G_1 \rightarrow G_2 + G_1\rightarrow G_3 \\ (G_1 + G_2) \rightarrow G_3 = G_1 \rightarrow G_3 + G_2 \rightarrow G_3[/math]

[math]\triangleright[/math]

Левая часть: [math]G_1 \rightarrow (G_2 + G_3) = (V_1, E_1) \rightarrow ((V_2, E_2) + (V_3, E_3)) = (V_1, E_1) \rightarrow (V_2 \cup V_3, E_2 \cup E_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times (V_2 \cup V_3)[/math] Правая часть: [math]G_1 \rightarrow G_2 + G_1 \rightarrow G_3 = (V_1, E_1) \rightarrow (V_2, E_2) + (V_1, E_1) \rightarrow (V_3, E_3) = (V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2) + (V_1 \cup V_3, E_1 \cup E_3 \cup V_1 \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_1 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2 \cup E_1 \cup E_3 \cup V_1 \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times V_2 \cup V_1 \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times (V_2 \cup V_3))[/math] Правая дистрибутивность доказывается аналогично.

[math]\triangleleft[/math]

• Декомпозиция:

Утверждение:

[math]G_1 \rightarrow G_2 \rightarrow G_3 = G_1 \rightarrow G_2 + G_1 \rightarrow G_3 + G_2 \rightarrow G_3[/math]

[math]\triangleright[/math]

Левая часть: [math]G_1 \rightarrow G_2 \rightarrow G_3 = (V_1, E_1) \rightarrow (V_2, E_2) \rightarrow (V_3, E_3) = (V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2) \rightarrow (V_3, E_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2 \cup E_3 \cup (V_1 \cup V_2) \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times V_2 \cup V_1 \times V_3 \cup V_2 \times V_3)[/math] Правая часть: [math]G_1 \rightarrow G_2 + G_1 \rightarrow G_3 + G_2 \rightarrow G_3 = (V_1, E_1) \rightarrow (V_2, E_2) + (V_1, E_1) \rightarrow (V_3, E_3) + (V_2, E_2) \rightarrow (V_3, E_3) = (V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2) + (V_1 \cup V_3, E_1 \cup E_3 \cup V_1 \times V_3) + (V_2 \cup V_3, E_2 \cup E_3 \cup V_2 \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_1 \cup V_3 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2 \cup E_1 \cup E_3 \cup V_1 \times V_3 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_2 \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times V_2 \cup V_1 \times V_3 \cup V_2 \times V_3)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Любой граф [math]G = \{V, E\}[/math] можно представить в виде композиции сложений и соединений.

[math]\triangleright[/math]

Действительно, [math]G = \sum_{(u, v\in V)}u \rightarrow v[/math], где [math]\sum[/math] это послeдовательное применение операции сложения графов.

[math]\triangleleft[/math]

Построение графов в функциональных языках

Построенная нами алгебраическая структура очень полезна для использования в функциональных языках программирования. До введения понятия алгебры графов работа с ними в функциональных языках была очень неудобна и часто порождало ошибки.

Дело в том, что способ представления в виде списка смежности либо матрицы смежности, широко используемых в императивных программах, оказался очень тяжело применим в функциональной среде.  Компилятор при представлении графа в виде списка не может проверить, ни его корректность в принципе, ни корректность совершения некоторой операции над ним. Но если представить граф в виде последовательности операций из простейших графов, то почти все проблемы, связанные с построением графа и проверкой его корректности, устраняются.

Подробная реализация на языке [math]\mathrm{Haskell}[/math].

См. также

• Основные определения теории графов

Источники информации

• McNulty, George F.; Shallon, Caroline R. (1983), "Inherently nonfinitely based finite algebras", Universal algebra and lattice theory (Puebla, 1982), Lecture Notes in Math., 1004, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 206–231
• Algebra of Parameterised Graphs — Andrey Mokhov, Victor Khomenko, Newcastle University UK, ACM Transactions on Embedded Computing Systems, Vol. 1, No. 1, Article 1, Publication date: January 2014 .
• An algebra of graphs — "no time" Andrey Mokhov's blog
• Graphs à la carte — "no time" Andrey Mokhov's blog