Изменения

{{Определение|definition ='''Случайная величина''' — это (англ. ''random variable'') {{---}} отображение из множества элементарных исходов в множество вещественных чисел. <tex> \xi\colon\Omega \to \mathbb{R}</tex>}}

==Плотность распределенияДискретная случайная величина ==Рассмотрим случайную величину ξ{{Определение|definition ='''Дискретной случайной величиной''' (англ. ''discrete random variable'') называется случайная величина, возможные значения множество значений которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел не более чем счётно, причём принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определённой вероятностью.}} ===Примеры=== Проще говоря, дискретные случайные величины {{---}} это величины, количество значений которых можно пересчитать. Например:# Число попаданий в мишень при <tex> x_1, x_2, ..., x_nn</tex>выстрелах. Пусть задана функция Принимаемые значения <tex>p(x)0 \ldots n</tex>, значение которой в каждой точке # Количество выпавших орлов при <tex> x_i (i=1,2, n</tex> бросков монетки...)Принимаемые значения <tex>0 \ldots n</tex> равно вероятности того# Число очков, что выпавших при бросании игральной кости. Случайная величина ξ примет значение принимает одно из значений {{---}} <tex> x_i \{1,2,3,4,5,6\}</tex>.

<tex> p(x)</tex> называется плотностью распределения вероятностей случайной Существуют также непрерывные случайные величины. <tex> p(x_i) = p(\xi = x_i) </tex>Например, координаты точки попадания при выстреле.

{{Определение|definition ='''Функция распределения для случайной величины ξ выражается следующей формулой''' (англ. ''cumulative distribution function (CDF)'') {{---}} функция <tex>F(x)</tex>, определённая на <tex>\mathbb{R}</tex> как <tex>P(\xi\leqslant x)</tex>, т.е. выражающая вероятность того, что <tex>\xi</tex> примет значение меньшее или равное <tex>x</tex> }} Если случайная величина <tex>\xi</tex> дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией <tex>\mathbb{P}(\xi = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots</tex> Функция распределения <math>F(x)</math> этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как <tex>F(x) = \sum\limits_{i:~x_i \leqslant x} p_i</tex>. Свойства функции распределения дискретной случайной величины: *<tex>F(x_1)\leqslant F(x_2)</tex> при <tex>x_1 \leqslant x_2;</tex>

*<tex>F_\xiF(ax) = p(</tex> непрерывна во всех точках <tex>x\in \mathbb{R}</tex>, таких что <tex>\forall i ~ x \xi ne x_i </tex>, и имеет разрыв первого рода в точках, таких что <tex>\leqslant a)forall i ~ x = x_i</tex>.

==Математическое ожидание случайной величины=='''Математическое ожидание'''(*<tex>E\xilim\limits_{x \to -\infty} F(x) = 0, \lim\limits_{x \to +\infty} F(x) = 1</tex>) - мера среднего значения случайной величины.

===Примеры===#Найдем функцию распределения количества попаданий в мишень. Пусть у нас есть <tex>n</tex> выстрелов, вероятность попадания равна <tex>p</tex>. Необходимо найти <tex>F(k)</tex>. Для <tex>Ek < 0 ~ F(k) = 0</tex>, так как нельзя попасть в мишень отрицательное число раз. Для <tex>k \xi geqslant 0 ~ F(k) = \sum \xilimits_{i = 0}^{\min(n, \lceil k \omegarceil - 1)}\dbinom{n}{i}p^{i} (1-p)^{ n - i}</tex>#Аналогичное решение имеет функция распределения числа выпавших орлов при броске монеты, если шанс выпадения орла {{---}} <tex>p</tex>. #Найдем функцию распределения числа очков, выпавших при бросании игральной кости. Пусть у нас есть вероятности выпадения чисел <tex>1 \ldots 6</tex> соответственно равны <tex>p_{1} \ldots p_{6}</tex>. Для <tex>k < 1 ~ F(k) = 0</tex>, так как не может выпасть цифра меньше <tex>1</tex>. Для <tex>k \geqslant 1 ~ F(k) = \sum\limits_{i = 1}^{\min(6,\lceil k \omegarceil - 1)}p_{i}</tex>

В отличие от дискретной случайной величины, непрерывная случайная величина может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины, что делает невозможным её представление в виде таблицы или перечисления состояний. Поэтому ее часто явно задают через функцию распределения, например <tex>F(x) = \begin{cases}0, & x < 0 \\\dfrac{Теорема x^{2}}{9}, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\1, & x > 3 \end{cases}</tex>

|statement= <tex>\sum\limits_{\omega\epsilon\Omega} \xi(\omega)p(\omega) = \sum\limits_a a p(\xi Функция плотности распределения вероятностей== a)</tex>

{{Определение|proofdefinition = '''Функция плотности распределения вероятностей''' (англ. ''Probability density function'') {{---}} функция <tex>\sum\limits_a \sum\limits_{\omega|\xif(\omegax) = a} \xi(\omega)p(\omega) = \sum\limits_a a \sum</tex>, определённая на <tex>\limits_mathbb{\omega|\xi(\omega)=aR}p(\omega) = \sum\limits_a a p(\xi = a)</tex>как первая производная функции распределения.

:<tex>f(x) = F'(x)</tex> }} Свойства функции плотности вероятности: *Интеграл от плотности по всему пространству равен единице: :<math>\int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)\, dx = 1</math>. *Плотность вероятности определена почти всюду.:Иными словами, множество точек, для которых она не определена, имеет меру ноль. Для примера выше <tex>f(x)=F'(x) = \begin{cases}(0)', & x < 0 \\\left(\dfrac{x^{2}}{9} \right)', & 0 \leqslant x \leqslant 3\\(1)', & x > 3 \end{cases} = \begin{cases}0, & x < 0 \\\dfrac{2x}{9}, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\0, & x > 3 \end{cases}</tex>  Для дискретной случайной величины '''не''' существует функции плотности распределения вероятностей, так как такая случайная величина не является абсолютно непрерывной функцией. == См. также ==* [[Математическое ожидание случайной величины]]

==ПримерИсточники информации ==Пусть у нас есть "Честная кость"* [http://kek.ksu.ru/EOS/TerVer/par7.html КГУ {{---}} Определение дискретной случайной величины]* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%B0 Википедия {{---}} Дискретная случайная величина]* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Википедия {{---}} Плотность вероятности]