Изменения

{{в разработке}}Здесь мы рассмотрим Далее будут рассмотрены некоторые способы нахождения всех вхождений образца в текст с помощью [[суффиксный массив|суффиксного массива]].

Простейший способ узнать, встречается ли образец в тексте, используя суффиксный массив, {{---}} взять первый символ образца и [[Целочисленный двоичный поиск|бинарным поиском ]] по [[суффиксный массив|суффиксному массиву]] найти диапазон с суффиксами, начинающимися на такую же букву. Так как все элементы в полученном диапазоне отсортированы, а первые символы одинаковые, то оставшиеся после отбрасывания первого символа суффиксы тоже отсортированы. А значит, можно повторять процедуру сужения диапазона поиска уже по второму, затем третьему и так далее символу образца до получения либо пустого диапазона, либо успешного нахождения всех символов образца.

/* array - суффиксный масcив. p - образец. n - длина образца. left - левая граница диапазона. right - правая граница диапазона. '''cmp<tex>_k\mathtt {cmp (k)}</tex>''' {{- --}} Функцияфункция, сравнивающая строки по <tex>k</tex>-тому символу. '''lower_bound'''<tex> \mathtt {lower}</tex>_<tex>\mathtt {bound (left, right, value, cmp)}</tex>, '''upper_bound'''<tex> \mathtt {upper}</tex>_<tex>\mathtt {bound (left, right, value, cmp) }</tex> {{- --}} функции бинарного поиска. Элементы строк нумеруются с единицы */

'''function''' elementary_search(p: '''String''', s: '''String'''): left = 0; <font color=darkgreen> // left, right {{---}} границы диапазона </font> right = n; <font color=darkgreen> // n {{---}} длина образца </font> '''for''' i = 1 '''to''' n { left = '''lower_bound'''(left, right, p[i], cmp<tex>_i</tex>(i) ); right = '''upper_bound'''(left, right, p[i], cmp<tex>_i</tex>(i) ); } '''if''' (right - left > 0) { yield print left; yield print right; } '''else''' yield print "No matches";

Существует более быстрый алгоритм поиска образца в строке. Для этого используется <tex> \mathtt {lcp } </tex> ([[Суффиксный массив#Применения|longest common prefix]]).

=== Условные обозначения ==='''Алгоритм:'''* <tex> L_p </tex> и <tex> R_p </tex> - левая и правая границы диапазона ответов в суффиксном массиве <tex> array </tex>.

У любого суффикса * <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex> и <tex>\mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{right}</tex> {{---}} левая и правая границы диапазона ответов в пределах этого суффиксном массиве <tex> array </tex>,* <tex> L </tex> {{---}} левая граница текущего диапазона поиска (изначально равна <tex>0</tex>),* <tex> R </tex> {{---}} правая граница текущего диапазона поиска (изначально равна <tex> |S| - 1 </tex>),* <tex> M = (L + R) / 2 </tex> {{---}} середина текущего диапазона есть префикспоиска, который полностью совпадает с образцом* <tex> l = </tex> <tex>\mathtt {lcp(array[L], p)} </tex> {{---}} длина общего префикса образца и левого края текущего диапазона поиска,* <tex> r = </tex> <tex>\mathtt {lcp(array[R], p)} </tex> {{---}} длина общего префикса образца и правого края текущего диапазона поиска,* <tex> m_l = </tex> <tex>\mathtt {lcp(array[L], array[M])} </tex> {{---}} длина общего префикса середины текущего диапазона и левого края текущего диапазона поиска,* <tex> m_r = </tex> <tex>\mathtt {lcp(array[M], array[R])} </tex> {{---}} длина общего префикса середины текущего диапазона и правого края текущего диапазона поиска.

* <tex> L </tex> - левая граница диапазона поиска (изначально равна 0).* <tex> R </tex> - правая граница диапазона поиска (изначально равна <tex> |S| - 1 </tex>).* <tex> M = (L + R) / 2 </tex>.== Алгоритм ===

* Если диапазон ответов не пустой, то у любого суффикса в пределах диапазона ответов есть префикс, который полностью совпадает с образцом. В самом начале просто посчитаем <tex> l = lcp(array[L], p) </tex>.* и <tex> r = lcp(array</tex> за линейное время с помощью [[RАлгоритм Касаи и др.|алгоритма Касаи, Арикавы, Аримуры, Ли и Парка]], pа во время выполнения алгоритма прямой пересчет производиться не будет, изменения будут происходить за <tex> O(1) </tex>.

В самом начале просто посчитаем Подсчет <tex> l m_l </tex> и <tex> r m_r </tex> за линейное время, а во время выполнения алгоритма прямой пересчет производиться не будет, изменения будут происходить можно производить за <tex> O(1) </tex>, если применять [[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера|алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]. Любая пара суффиксов <tex> array </tex> из диапазона <tex> [L, M] </tex> имеет хотя бы <tex> m_l </tex> совпадений в префиксах. Аналогично любая пара суффиксов <tex> array </tex> из диапазона <tex> [M, R] </tex> имеет хотя бы <tex> m_r </tex> совпадений в префиксах.

* <tex> m_l = lcp(array[L], array[M]) </tex>.* <tex> m_r = lcp(array[M], array[R]) </tex>. = Поиск границ диапазона ответов ===

Подсчет Рассмотрим поиск левой границы диапазона ответов <tex>\mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex>. Сразу проверим образец с суффиксами по краям исходного диапазона поиска <tex> m_l L </tex> и <tex> m_r R </tex>: если образец лексикографически больше последнего суффикса <tex> array </tex> или меньше первого суффикса, то образец не встречается в строке вовсе и поиск можно производить за прекратить. <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex> ищется при помощи бинарного поиска по суффиксному массиву <tex> O(1) array </tex>. На каждом шаге поиска нам надо определять, если применять на каком отрезке <tex> [L, M] </tex> или <tex> [Алгоритм Фарака-Колтона M, R] </tex> надо продолжать поиск границы <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex> . Каждую итерацию бинарного поиска будем сравнивать <tex> l </tex> и Бендера|алгоритм Фарака-Колтона и Бендера<tex> r </tex>. Если <tex> l \geqslant r </tex>, то возможно одно из трех: # <tex> m_l > l </tex>. Это означает, что каждая пара суффиксов из диапазона <tex> [L, M]</tex> имеет между собой больше совпадений, чем суффикс с левого края с образцом, поэтому продолжим поиск в диапазоне <tex> [M, R]</tex>. Значение <tex> l </tex> при этом не меняется, а <tex> L = M </tex>. Любая пара суффиксов # <tex> array m_l = l </tex> . Это означает, что у каждого суффикса из диапазона <tex> [L, M] </tex> имеет есть хотя бы <tex> l </tex> совпадений с образцом. Проверим суффикс в позиции <tex> M </tex>, так как с ним совпадений у образца может получиться больше. Начнем сравнивать суффикс в позиции <tex> M </tex> начиная с <tex> l </tex>-ого символа. Мы либо найдем полное вхождение образца в суффикс, либо на каком-то шаге <tex> k </tex> получим несоответствие. В первом случае <tex> R = M </tex> и <tex> r = |p| </tex>, так как мы ищем левую границу диапазона ответов. Во втором случае все зависит от лексикографического несовпадения. Если символ <tex> l + k + 1 </tex> у образца меньше, чем у суффикса, то <tex> R = M </tex> и <tex> r = l + k + 1</tex>, иначе <tex> L = M </tex> и <tex> l = l + k + 1</tex>.# <tex> m_l < l </tex> . Это означает, что совпадений у суффикса с левого края диапазона поиска с образцом больше, чем у суффикса в префиксахпозиции <tex> M </tex>. Аналогично любая пара суффиксов Очевидно, что поиск надо продолжать между <tex> array L </tex> из диапазона и <tex> [M</tex>, то есть <tex> R] = M </tex>, а новое значение <tex> r = m_l </tex>. Если <tex> l < r </tex>, то действия аналогичны. Также три случая:# <tex> m_r > r </tex>. Сдвигаем <tex> R </tex> в <tex> M </tex>. Значение <tex> r </tex> не изменяется.# <tex> m_r = r </tex>. Считаем <tex>\mathtt {lcp} </tex> для образца и суффикса, стоящего в позиции <tex> M </tex>, начиная с позиции <tex> r </tex> имеет хотя бы . # <tex> m_r < r </tex>. Сдвигаем <tex> L </tex> совпадений в префиксах<tex> M </tex>, <tex> l = m_r </tex>.Бинарный поиск будет работать до тех пор, пока <tex> R - L > 1 </tex>. После этого можно присвоить левой границе диапазона ответов <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left} = R </tex> и переходить к поиску правой границы диапазона ответов <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{right}</tex> .

* Черная вертикальная линия на рисунке обозначает Таким образом часть бинарного поиска мы сделаем при сравнении нескольких <tex> \mathtt {lcp } </tex> от <tex> i </tex>-го суффикса суффиксного массива <tex> array </tex> и образца между собой(каждое за <tex> p O(1) </tex>. Чем линия длиннее), тем совпадений а если дойдет до сравнения символов больше. * , то любой символ <tex> L p </tex>, сравнивается не более одного раза(при сравнении мы берем <tex> M \mathtt {max}</tex> и <tex> R (l, r) </tex> {{---}} то же самое, что в алгоритмеа значит никогда не возвращаемся назад). Кроме того, самая левая черная вертикальная линия на каждом рисунке означает В самом начале мы посчитали <tex> l </tex>, аналогично, самая правая черная вертикальная линия на каждом рисунке означает и <tex> r </tex>. Переменная за <tex> m_l O(p) </tex> {{---}} это . В итоге получаем сложность алгоритма <tex> lcp O(p + log(s)) </tex> в суффиксном массиве на промежутке . Правда нужен предподсчет, чтобы можно было брать <tex> [L, M] \mathtt {lcp} </tex>. Переменная для двух любых суффиксов <tex> m_r array </tex> {{---}} это за <tex> lcp O(1) </tex> в суффиксном массиве на промежутке <tex> [M, R] начиная с позиции </tex>.* Серым цветом выделен <tex> lcp r </tex> в суффиксном массиве на рассматриваемом промежутке.

=== Поиск границ диапазона ответов Рисунки===

Рассмотрим поиск левой границы диапазона ответов Черная вертикальная линия на рисунке обозначает <tex> L_p \mathtt {lcp} </tex>от <tex> i </tex>-го суффикса суффиксного массива <tex> array </tex> и образца <tex> p </tex>. Чем линия длиннее, тем совпадений символов больше.

Сразу проверим образец с суффиксами по краям исходного диапазона поиска <tex> L </tex>, <tex> M </tex> и <tex> R </tex>: если образец лексикографически больше последнего суффикса {{---}} то же самое, что в алгоритме. Кроме того, самая левая черная вертикальная линия на каждом рисунке означает <tex> array l </tex> или меньше первого суффикса, то образец не встречается в строке вовсе и поиск можно прекратитьаналогично, самая правая черная вертикальная линия на каждом рисунке означает <tex> r</tex>.

Переменная <tex> L_p m_l </tex> ищется при помощи бинарного поиска по суффиксному массиву {{---}} это <tex> array \mathtt {lcp} </tex>. На каждом шаге поиска нам надо определять, в суффиксном массиве на каком отрезке промежутке <tex> [L, M] </tex> или . Переменная <tex> [M, R] m_r </tex> надо продолжать поиск границы {{---}} это <tex> L_p \mathtt {lcp} </tex>. Каждую итерацию бинарного поиска будем сравнивать в суффиксном массиве на промежутке <tex> l </tex> и <tex> r [M, R] </tex>. Если Серым цветом выделен <tex> l \ge r mathtt {lcp} </tex>, то возможно одно из трех:в суффиксном массиве на рассматриваемом промежутке.

# Иллюстраци возможных случаев при <tex> m_l < l </tex>. Это означает, что совпадений у суффикса с левого края диапазона поиска с образцом больше, чем у суффикса в позиции <tex> M </tex>. Очевидно, что поиск надо продолжать между <tex> L </tex> и <tex> M </tex>, то есть <tex> R = M </tex>, а новое значение <tex> \geqslant r = m_l </tex>. # <tex> m_l = l </tex>. Это означает, что у каждого суффикса из <tex> [L, M] </tex> есть хотя бы <tex> l </tex> совпадений с образцом. Проверим суффикс в позиции <tex> M </tex>, так как с ним совпадений у образца может получиться больше. Начнем сравнивать суффикс в позиции <tex> M </tex> начиная с <tex> l </tex>-ого символа. Мы либо найдем полное вхождение образца в суффикс, либо на каком-то шаге <tex> k </tex> получим несоответствие. В первом случае <tex> R = M </tex> и <tex> r = |p| </tex>, так как мы ищем левую границу диапазона ответов. Во втором случае все зависит от лексикографического несовпадения. Если символ <tex> l + k + 1 </tex> у образца меньше, чем у суффикса, то <tex> R = M </tex> и <tex> r = l + k + 1</tex>, иначе <tex> L = M </tex> и <tex> l = l + k + 1</tex>.# <tex> m_l > l </tex>. Это означает, что каждая пара суффиксов из диапазона <tex> [L, M] </tex> имеет между собой больше совпадений, чем суффикс с левого края с образцом, поэтому продолжим поиск в диапазоне <tex> [M, R] </tex>. Значение <tex> l </tex> при этом не меняется, а <tex> L = M </tex>. :

Если Иллюстрации возможных случаев при <tex> l < r </tex>, то действия аналогичны.:

Бинарный поиск будет работать до тех пор, пока <tex> R - L > 1 </tex>. После этого можно присвоить левой границе диапазона ответов <tex> L_p = R </tex> и переходить к поиску правой границы диапазона ответов <tex> R_p </tex>[[Файл:Right2.png]]

Рассуждения при поиске <tex> R_p </tex> аналогичны, только нужно не забыть изменить границы поиска на изначальные <tex> L = 0 </tex> ==Псевдокод===Массивы и <tex> R = |s| - 1 </tex>строки нумеруются с нуля.

Таким образом часть бинарного поиска мы сделаем при сравнении нескольких Сравнения <tex> lcp </tex> между собой(каждое за <tex> O(1) </tex>)_z , а если дойдет до сравнения символов, то любой символ <tex> p </tex> сравнивается не более одного раза(при сравнении мы берем <tex > max(l_z , r) </tex> =_z , а значит никогда не возвращаемся назад). В самом начале мы посчитали <tex> l </tex> и <tex> r </tex> за <tex> O(p) </tex>. В итоге получаем сложность алгоритма <tex> O(p + log(s)) </tex>. Правда нужен предподсчет\leqslant_z , чтобы можно было брать <tex> lcp \geqslant_z </tex> для означают лексикографическое сравнение двух любых суффиксов <tex> array </tex> за <tex> O(1) </tex>.tex>, начиная с позиции строк по их первым <tex> r z</tex>символам.

Сравнения <tex>< , > , ===Псевдокод===, \leqslant , \geqslant </tex> при применении к строкам означают полное лексикографическое сравнение строк. Функция <tex>\mathtt {common(z,s, p)}</tex> ищет количество совпадений символов строк <tex>s</tex> и <tex>p</tex> начиная с позиции <tex>z</tex>.

Поиск левой границы ответов <tex> L_p n</tex> {{---}} длина строки <tex>s</tex>, <tex>w</tex> {{---}} длина строки <tex>p</tex>.

/* Массивы и строки нумеруются с нуля. Сравнения <<tex>_z </tex> , ><tex>_z </tex> , =<tex>_z </tex> , <=<tex>_z </tex> , >=<tex>_z </tex> означают лексикографическое сравнение двух строк по их первым z символам. Сравнения < , > , == , <= , >= при применении к строкам означают полное лексикографическое сравнение строк. Функция '''lcp'''<tex>_z</tex>(s, p) ищет количество совпадений символов строк s и p начиная с позиции z. n - длина строки s. w - длина строки p. В алгоритме используются переменные, введенные выше в разделе "более быстрый поиск". */

 Поиск левой границы ответов <tex> answer </tex>_<tex>left</tex>.  '''function''' find_answer_left(p: '''String''', s: '''String'''): '''int''' l = '''lcp'''(p, s[array[0]]); r = '''lcp'''(p, s[array[n - 1]]); '''if''' (l == w or p < s[array[0]]) L<tex>_p</tex> answer_left = 0; '''else''' '''if''' (p > s[array[n - 1]) L<tex>_p</tex> answer_left = n; '''else''' { L = 0; R = n - 1; '''while''' (R - L > 1) '''do''' { M = (L + R) / 2; m<tex>_l</tex> m_l = '''lcp'''(array[L], array[M]); m<tex>_r</tex> m_r = '''lcp'''(array[M], array[R]); '''if''' (l <tex>\geqslant</tex>= r) '''if''' (mm_l <tex>_l\geqslant</tex> >= l) m = l + '''lcpcommon'''<tex>_l</tex>(l, s[array[M]], p); '''else''' m = m_l

m = m<tex>_l</tex>; '''else''' '''if''' (mm_r <tex>_r\geqslant</tex> >= r) m = r + '''lcpcommon'''<tex>_r</tex>(r, s[array[M]], p); '''else''' m = m<tex>_r</tex>;m_r '''if''' (m == w || p <=tex>\leqslant</tex><tex>_m</tex> s[array[M]]){ R = M; r = m; } '''else''' { L = M; l = m; }answer_left = R } L<tex>_p</tex> = R; = См. также ==* [[Алгоритм цифровой сортировки суффиксов циклической строки]]* [[Алгоритм Касаи и др.]] }* [[Построение суффиксного массива с помощью стандартных методов сортировки]]

==ЛитератураИсточники информации==* [http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/115346/Habrahabr {{---}} Суффиксный массив {{---}} удобная замена суффиксного дерева] *U. Manber and G. Mayers. {{---}} "Suffix arrays: A new method for on-line string searches"