Изменения

Рассмотрим такую задачу: у нас есть образец <tex> p </tex>, строка <tex> s </tex>, Далее будут рассмотрены некоторые способы нахождения всех вхождений образца в текст с помощью [[суффиксный массив|суффиксный массивсуффиксного массива]] <tex> array </tex>, построенный для строки <tex> s </tex>. Необходимо найти все вхождения образца <tex> p </tex> в строку <tex> s </tex>.

Простейший способ узнать, встречается ли образец в тексте, используя суффиксный массив, {{| border="1" |width="20"|# |width="150"|суффикс |width="100"|номер суффикса |- |1 |i |11 |- |2 |ippi |8 |- |3 |issippi |5 |- |4 |ississippi |2 |- |5 |mississippi |1 |- |6 |pi |10 |- |7 |ppi |9 |- |8 |sippi }} взять первый символ образца и [[Целочисленный двоичный поиск|7 бинарным поиском]] по [[суффиксный массив|- |9 |sissippi |4 |- |10 |ssippi |6 |- |11 |ssissippi |3 |}суффиксному массиву]] найти диапазон с суффиксами, начинающимися на такую же букву. Так как все элементы в полученном диапазоне отсортированы, а первые символы одинаковые, то оставшиеся после отбрасывания первого символа суффиксы тоже отсортированы. А значит, можно повторять процедуру сужения диапазона поиска уже по второму, затем третьему и так далее символу образца до получения либо пустого диапазона, либо успешного нахождения всех символов образца.

Простейший способ узнать=== Псевдокод === '''Поиск диапазона '''  <tex> \mathtt {cmp (k)}</tex> {{---}} функция, сравнивающая строки по <tex>k</tex>-тому символу. <tex> \mathtt {lower}</tex>_<tex>\mathtt {bound (left, right, value, cmp)}</tex>, <tex> \mathtt {upper}</tex>_<tex>\mathtt {bound (left, right, value, cmp)}</tex> {{---}} функции бинарного поиска. Элементы строк нумеруются с единицы '''function''' elementary_search(p: '''String''', s: '''String'''): left = 0 <font color=darkgreen> // left, right {{---}} границы диапазона </font> right = n <font color=darkgreen> // n {{---}} длина образца </font> '''for''' i = 1 '''to''' n left = lower_bound(left, встречается ли образец в текстеright, p[i], cmp (i) ) right = upper_bound(left, right, используя суффиксный массивp[i], это взять первый символ cmp (i) ) '''if''' (right - left > 0) print left print right '''else''' print "No matches" == Более быстрый поиск == Существует более быстрый алгоритм поиска образца и бинарным поиском по суффиксному массиву в строке. Для этого используется <tex>\mathtt {lcp} </tex> ([[Суффиксный массив у нас отсортирован#Применения|longest common prefix]]) найти диапазон с суффиксами, начинающимися на такую же букву. Так как все элементы  === Условные обозначения ===  * <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex> и <tex>\mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{right}</tex> {{---}} левая и правая границы диапазона ответов в полученном диапазоне отсортированысуффиксном массиве <tex> array </tex>, а первые символы одинаковые* <tex> L </tex> {{---}} левая граница текущего диапазона поиска (изначально равна <tex>0</tex>), то оставшиеся после отбрасывания первого символа суффиксы тоже отсортированы. А значит* <tex> R </tex> {{---}} правая граница текущего диапазона поиска (изначально равна <tex> |S| - 1 </tex>), можно повторять процедуру сужения * <tex> M = (L + R) / 2 </tex> {{---}} середина текущего диапазона поиска уже по второму, затем третьему * <tex> l = </tex> <tex>\mathtt {lcp(array[L], p)} </tex> {{---}} длина общего префикса образца и так далее символу левого края текущего диапазона поиска,* <tex> r = </tex> <tex>\mathtt {lcp(array[R], p)} </tex> {{---}} длина общего префикса образца до получения либо пустого и правого края текущего диапазона поиска,* <tex> m_l = </tex> <tex>\mathtt {lcp(array[L], array[M])} </tex> {{---}} длина общего префикса середины текущего диапазона и левого края текущего диапазонапоиска, либо успешного нахождения всех символов образца. Бинарный поиск работает за * <tex> m_r = </tex> <tex> O\mathtt {lcp(log|s|array[M], array[R]) } </tex>{{---}} длина общего префикса середины текущего диапазона и правого края текущего диапазона поиска. === Алгоритм === Если диапазон ответов не пустой, а сравнение то у любого суффикса в пределах диапазона ответов есть префикс, который полностью совпадает с образцом . В самом начале просто посчитаем <tex> l</tex> и <tex> r </tex> за линейное время с помощью [[Алгоритм Касаи и др.|алгоритма Касаи, Арикавы, Аримуры, Ли и Парка]], а во время выполнения алгоритма прямой пересчет производиться не может превышать длины образцабудет, изменения будут происходить за <tex> O(1) </tex>. Таким образом время работы алгоритмы  Подсчет <tex> m_l </tex> и <tex> m_r </tex> можно производить за <tex> O(1) </tex>, если применять [[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера|p|log|s|)алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]. Любая пара суффиксов <tex> array </tex> из диапазона <tex> [L, M] </tex> имеет хотя бы <tex> m_l </tex>совпадений в префиксах. Аналогично любая пара суффиксов <tex> array </tex> из диапазона <brtex>[M, R] </tex> имеет хотя бы <tex> m_r </tex> совпадений в префиксах.В примере === Поиск границ диапазона ответов === Рассмотрим поиск будет выглядеть таклевой границы диапазона ответов <tex>\mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex>. Сразу проверим образец с суффиксами по краям исходного диапазона поиска <tex> L </tex> и <tex> R </tex>:если образец лексикографически больше последнего суффикса <tex> array </tex> или меньше первого суффикса, то образец не встречается в строке вовсе и поиск можно прекратить.

<tex> \mathtt{| border="1" |width="80"|образец |width="150"|'''''i'''ss'' |width="150"|'''''is'''s'' |width="150"|'''''iss''''' |- | |'''''i''''' |i |i |- | |'''''i'''ppi'' |ippi |ippi |- | |'''''i'''ssippi'' |'''''is'''sippi'' |'''''iss'''ippi'' |- | |'''''i'''ssissippi'' |'''''is'''sissippi'' |'''''iss'''issippi'' |- | |mississippi |mississippi |mississippi |- | |pi |pi |pi |- | |ppi |ppi |ppi |- | |sippi |sippi |sippi |- | |sissippi |sissippi |sissippi |- | |ssippi |ssippi |ssippi |- | |ssissippi |ssissippi |ssissippi |answer}Как видно из примера образцу удовлетворяют суффиксы 3 и 4</tex>_<tex>\mathtt{left}</tex> ищется при помощи бинарного поиска по суффиксному массиву <tex> array </tex>. На каждом шаге поиска нам надо определять, начинающиеся на 5 каком отрезке <tex> [L, M] </tex> или <tex> [M, R] </tex> надо продолжать поиск границы <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex> . Каждую итерацию бинарного поиска будем сравнивать <tex> l </tex> и 2 позициях в строке соответственно<tex> r </tex>.Если <tex> l \geqslant r </tex>, то возможно одно из трех:

# <tex> m_l > l </tex>. Это означает, что каждая пара суффиксов из диапазона <tex> [L, M] </tex> имеет между собой больше совпадений, чем суффикс с левого края с образцом, поэтому продолжим поиск в диапазоне <tex> [M, R] </tex>. Значение <tex> l </tex> при этом не меняется, а <tex> L = M </tex>. # <tex> m_l = l </tex>. Это означает, что у каждого суффикса из <tex> [L, M] </tex> есть хотя бы <tex> l </tex> совпадений с образцом. Проверим суффикс в позиции <tex> M </tex>, так как с ним совпадений у образца может получиться больше. Начнем сравнивать суффикс в позиции <tex> M </tex> начиная с <tex> l </tex>-ого символа. Мы либо найдем полное вхождение образца в суффикс, либо на каком-то шаге <tex> k </tex> получим несоответствие. В первом случае <tex> R = M </tex> и <tex> r = |p| </tex>, так как мы ищем левую границу диапазона ответов. Во втором случае все зависит от лексикографического несовпадения. Если символ <tex> l + k + 1 </tex> у образца меньше, чем у суффикса, то <tex> R = M </tex> и <tex> r = l + k + 1</tex>, иначе <tex> L = M </tex> и <tex> l = l + k + 1</tex>.# <tex> m_l < l </tex>. Это означает, что совпадений у суффикса с левого края диапазона поиска с образцом больше, чем у суффикса в позиции <tex> M </tex>. Очевидно, что поиск надо продолжать между <tex> L </tex> и <tex> M </tex>, то есть <tex> R = M </tex>, а новое значение <tex> r = m_l </tex>. Если <tex> l < r </tex>, то действия аналогичны. Также три случая:# <tex> m_r > r </tex>. Сдвигаем <tex> R </tex> в <tex> M </tex>. Значение <tex> r </tex> не изменяется.# <tex> m_r = r </tex>. Считаем <tex>\mathtt {lcp} </tex> для образца и суффикса, стоящего в позиции <tex> M </tex>, начиная с позиции <tex> r </tex>. # <tex> m_r < r </tex>. Сдвигаем <tex> L </tex> в <tex> M </tex>, <tex> l = m_r </tex>.Бинарный поиск будет работать до тех пор, пока <tex> R - L > 1 </tex>. После этого можно присвоить левой границе диапазона ответов <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left} = R </tex> и переходить к поиску правой границы диапазона ответов <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{right}</tex> . Рассуждения при поиске <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{right}</tex> аналогичны, только нужно не забыть изменить границы поиска на изначальные <tex> L = 0 </tex> и <tex> R = |s| - 1 </tex>. Таким образом часть бинарного поиска мы сделаем при сравнении нескольких <tex>\mathtt {lcp} </tex> между собой(каждое за <tex> O(1) </tex>), а если дойдет до сравнения символов, то любой символ <tex> p </tex> сравнивается не более одного раза(при сравнении мы берем <tex>\mathtt {max}</tex><tex>(l, r) </tex>, а значит никогда не возвращаемся назад). В самом начале мы посчитали <tex> l </tex> и <tex> r </tex> за <tex> O(p) </tex>. В итоге получаем сложность алгоритма <tex> O(p + log(s)) </tex>. Правда нужен предподсчет, чтобы можно было брать <tex>\mathtt {lcp} </tex> для двух любых суффиксов <tex> array </tex> за <tex> O(1) </tex>, начиная с позиции <tex> r </tex>. ===Рисунки=== Черная вертикальная линия на рисунке обозначает <tex>\mathtt {lcp} </tex> от <tex> i </tex>-го суффикса суффиксного массива <tex> array </tex> и образца <tex> p </tex>. Чем линия длиннее, тем совпадений символов больше.  <tex> L </tex>, <tex> M </tex> и <tex> R </tex> {{---}} то же самое, что в алгоритме. Кроме того, самая левая черная вертикальная линия на каждом рисунке означает <tex> l </tex>, аналогично, самая правая черная вертикальная линия на каждом рисунке означает <tex> r</tex>.  Переменная <tex> m_l </tex> {{---}} это <tex>\mathtt {lcp} </tex> в суффиксном массиве на промежутке <tex> [L, M] </tex>. Переменная <tex> m_r </tex> {{---}} это <tex>\mathtt {lcp} </tex> в суффиксном массиве на промежутке <tex> [M, R] </tex>.Серым цветом выделен <tex>\mathtt {lcp} </tex> в суффиксном массиве на рассматриваемом промежутке. Иллюстраци возможных случаев при <tex> l \geqslant r </tex>: [[Файл:left.png]] Иллюстрации возможных случаев при <tex> l < r </tex>: [[Файл:Right2.png]] === Псевдокод ===Массивы и строки нумеруются с нуля.  Сравнения <tex><_z , >_z , =_z , \leqslant_z , \geqslant_z </tex> означают лексикографическое сравнение двух строк по их первым <tex>z</tex> символам. Сравнения <tex>< , > , == , \leqslant , \geqslant </tex> при применении к строкам означают полное лексикографическое сравнение строк. Функция <tex>\mathtt {common(z,s, p)}</tex> ищет количество совпадений символов строк <tex>s</tex> и <tex>p</tex> начиная с позиции <tex>z</tex>.  <tex>n</tex> {{---}} длина строки <tex>s</tex>, <tex>w</tex> {{---}} длина строки <tex>p</tex>.

Поиск диапазона /*p - образец n - длина образца left - левая граница диапазона // изначально равна единице right - правая граница диапазона // изначально равна длине строки lh - вспомогательная переменная для определения левой границы диапазона rg - вспомогательная переменная для определения правой границы диапазона find - функция уточнения диапазона элементы строк и массивов нумеруются с единицы*/ for i = 1 to n { lh = n + 1 rh = 0 find(leftВ алгоритме используются переменные, right, i) left = lh right = rh }введенные выше в разделе "более быстрый поиск". if (left != 0 && right != n + 1) { // если диапазон не пуст yield left // вывод левой границы диапазона yield right // вывод правой границы диапазона } else yield "No matches" // вывод информации об отсутствии вхождений

Бинарный поиск для уточнения диапазона - функция find(l, r, k) Поиск левой границы ответов <tex> answer </*l - левая граница диапазона при поиске r - правая граница диапазона при поиске k - номер символа образца, с которым происходит проверка на данном шаге s - строка length - длина строки array - суффиксный массив x - индекс, стоящий по середине между l и r*/ if (l tex> r) return x = (l + r) / 2 if (array[x] + k - 1 _<= length){ if (s[array[x] + k - 1] == p[k]){ if (x tex>left< lh) lh = x if (x > rh) rh = x find(l, x - 1, k) find(x + 1, r, k) } else { if (s[array[x] + k - 1] /tex> p[k]) { find(l, x - 1, k) } else { if (s[array[x] + k - 1] < p[k]) { find(x + 1, r, k) } } else { find(l, x - 1, k) find(x + 1, r, k) }.

'''function''' find_answer_left(p: '''String''', s: '''String'''): '''int''' l ='''lcp'''(p, s[array[0]]) r ='''lcp'''(p, s[array[n - 1]]) '''if''' (l = Более быстрый поиск =w or p < s[array[0]]) answer_left =0 '''else''' '''if''' (p > s[array[n - 1]) answer_left =n '''else''' L = 0 R = n - 1 '''while''' (R - L > 1) '''do''' M = (L + R) / 2 m_l = '''lcp'''(array[L], array[M]) m_r = '''lcp'''(array[M], array[R]) '''if''' (l <tex>\geqslant</tex> r) '''if''' (m_l <tex>\geqslant</tex> l) m = l + '''common'''(l, s[array[M]], p) '''else''' m = m_l '''else''' '''if''' (m_r <tex>\geqslant</tex> r) m = r + '''common'''(r, s[array[M]], p) '''else''' m = m_r '''if''' (m == w || p <tex>\leqslant</tex><tex>_m</tex> s[array[M]]){ R = M r = m '''else''' L = M l = m answer_left = R

На самом деле нам не обязательно сравнивать всю искомую строку с элементами суффиксного массива== См. На каждой итерации бинарного поиска мы уточняем некий диапазон, внутри которого может находиться искомый элемент. Все также ==* [[Алгоритм цифровой сортировки суффиксов циклической строки в таком диапазоне в некотором смысле похожи]]* [[Алгоритм Касаи и др. А именно, у данных строк может быть общий префикс ]]* [[Построение суффиксного массива с искомой строкой, так как у тех, что остались вне диапазона, общего префикса уж точно не будет (в том смысле, что мы не рассматриваем уже обработанную часть образца как часть префикса). <br>помощью стандартных методов сортировки]]

Пусть границы нашего диапазона на каком==Источники информации==* [http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/115346/ Habrahabr {{---то шаге }} Суффиксный массив {{- это L и R. Допустим мы знаем длину общего префикса образца с краями текущего диапазона: l - общий префикс образца и левого края, r - общий префикс образца и правого края, где l = lcp(p, array[L}} удобная замена суффиксного дерева]), r = lcp(p, array[R]) (lcp - longest common prefix). Тогда справедливо сделать пару утверждений. <br>Первое утверждение заключается в том, что для любой строки внутри диапазона lcp не меньше, чем минимум из l и r*U. Если бы это было не так, то значит при неизменной начальной части префикса была бы позиция, где символ сначала совпадал бы с соответствующим символом образца, потом не совпадал, а потом снова совпадалManber and G. Это противоречило бы отсортированности диапазонаMayers. Важно хорошо проникнуться этой идеей, так как дальше мы ее будем использовать как нечто само собой разумеющееся. Второе утверждение очевидно{{---}} "Suffix arrays: если общий префикс образца и любой строки внутри диапазона не меньше m = min(l,r), то m символов можно пропускать сразу, зная, что они совпадают в любом случае, и сравнивать только начиная с m + 1 символа.A new method for on-line string searches"

[[ФайлКатегория:pic.png|450pxАлгоритмы и структуры данных]][[Категория:Структуры данных]][[Категория:Суффиксный массив]]