1632
правки
Изменения
м
Вспомним, что В нем существует отрезок <tex>h(i)[1..2^n]</tex> возвращает количество единиц в двоичной записи числа . Оставшуюся часть можно разбить на <tex>i2</tex>поддерева, а каждый столбец прямого дерево Фенвика вычисляется по формуле т.е. отрезок <tex>F(i1..n) = </tex> разбивается на подотрезки <tex>(1..\sum_dfrac {n}{j=i-2^}), (\dfrac{n}{h(i)2}+1}^i a[j]..n)</tex>. В итоге получается структура обычного [[Дерево отрезков. Построение|дерева отрезков]], для которого известно указанное выше утверждение.
[[Файл:Originalbit.png|thumb|left|Прямое * Встречное дерево Фенвика]][позволяет вычислять значение некоторой операции <tex>G</tex> на любом отрезке <tex>[Файл:Vstbit.png|thumb|Встречное дерево Фенвика]L; R]</tex> за время <tex>O(\log N)</tex>;
Встречное дерево Фенвика - это * Данная структура данных, дерево легко обобщается на массиве, обладающее следующими свойствами:случай многомерных массивов.
1) * Такое дерево Фенвика позволяет вычислять значение некоторой обратимой операции <tex>G</tex> на любом отрезке представить любой отрезок <tex>[L; R]</tex> за время <tex>O(\log N)</tex>;в виде дизъюнктивных объединений отрезков, взятых из прямого и встречного дерева Фенвика.
2) позволяет изменять значение любого элемента за <tex>O(\log N)</tex>;== Применение ==
3) требует Встречное дерево Фенвика применяется, когда нужно посчитать некоторую операцию на структуре без использования обратного элемента по этой операции. Например, перед нами стоит задача посчитать произведение. Используя дерева Фенвика, мы можем столкнуться с такой ситуацией: элемент <tex>a[i] = 0</tex>. Тогда, считая произведение на отрезке <tex>[l, r]</tex>O (Nгде <tex>l > i</tex>)как произведение на отрезке <tex>[0, r]</tex> памяти, а точнееделённое на произведение на отрезке <tex>[0, l - 1]</tex>, ровно столько жемы получим неопределённое значение <tex>\dfrac{0}{0}</tex>, сколько и массив из поэтому нужно использовать встречное дерево Фенвика. С его помощью можно разложить запрос произведения на отрезке на <tex>2NO(\log N)</tex> элементов;дизъюнктных отрезков, операция для которых уже посчитана, получается почти как в дереве отрезков.==См. также==* [[Дерево Фенвика]]
4) легко обобщается на случай многомерных массивов* [[Дерево отрезков.Построение |Дерево отрезков]]
5) позволяет представить любой отрезок <tex>== Источники информации == * [L; Rhttp://en.wikipedia.org/wiki/Fenwick_tree Wikipedia — Fenwick tree]<* [http:/tex> в виде дизъюнктивных объединений отрезков, взятых из прямого и встречного дерева /e-maxx.ru/algo/fenwick_tree Maximal:: algo:: Дерево Фенвика.]
== Применение ==[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
== Ссылки == [http[Категория://e-maxx.ru/algo/fenwick_tree Дерево ФенвикаСтруктуры данных]]
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition=
'''Встречное дерево Фенвика''' (англ. ''counter tree Fenwick'') — [[Дерево Фенвика|дерево Фенвика]], в котором над каждым столбцом идет столбец такой же высоты, вычисляемый по формуле <tex>F'(i) = \sum_sum\limits_{j=i+1}^{i+2^{h(i)}} a[j]</tex>.
}}
[[Файл:Originalbit.png|thumb|Прямое дерево Фенвика]]
[[Файл:Vstbit.png|thumb|Встречное дерево Фенвика]]
Вспомним, что <tex>h(i)</tex> возвращает количество подряд идущих единиц в конце двоичной записи числа <tex>i</tex>, а каждый столбец прямого дерева Фенвика вычисляется по формуле <tex>F(i) = \sum\limits_{j = i - 2^{h(i)} + 1}^i a[j]</tex>.
<tex>i + 2^{h(i)}</tex> можно считать по равносильной формуле <tex> i \mid (i + 1) </tex>. Рассмотрим, что делают эти формулы с двоичной записью числа <tex>i</tex>. Формула <tex>i + 2^{h(i)}</tex> изменяет последний ноль на единицу. Аналогично работает и <tex> i \mid (i + 1) </tex>.
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <tex>i</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\ldots 011 \ldots 1</tex>
|-
|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <tex>2^{h(i)}</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 50px"| <tex> 100 \ldots 0</tex>
|-
|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <tex>i + 2^{h(i)}</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\ldots 111 \ldots 1</tex>
|}
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <tex>i</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\ldots 011 \ldots 1</tex>
|-
|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <tex>i + 1</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\ldots 100 \ldots 0</tex>
|-
|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <tex>i \mid (i + 1)</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\ldots 111 \ldots 1</tex>
|}
== Представление отрезка ==
{{Теорема
|statement=Любой отрезок можно представить в виде дизъюнктивных объединений <tex>O(\log N)</tex> отрезков, взятых из прямого и встречного дерева Фенвика.
|proof=
Представим встречное дерево Фенвика <tex>2^n</tex> на <tex>2^n</tex> и посмотрим на него, как на дерево отрезков.
Стоит отметить, что поддерево для <tex>(\dfrac{n}{2} + 1..n)</tex> получается "перевернутым" из-за того, что встречное дерево, по сути, идет от <tex>n - 1</tex> до <tex>1</tex> в обратном порядке.
}}
== Свойства ==
* Такое дерево позволяет изменять значение любого элемента за <tex>O(\log N)</tex>;
* Встречное дерево Фенвика требует <tex>O (N)</tex> памяти, а точнее, ровно столько же, сколько и массив из <tex>2N</tex> элементов;
[[Категория: Дерево Фенвика позволяло вычислять значение операции <tex>G</tex> на отрезке <tex>[L; R]</tex> с помощью формулы включений-исключений и запросов вида <tex>G([0; R])</tex> и <tex>G([0; L])</tex>. Встречное дерево Фенвика позволяет нам сразу обрабатывать запрос вида <tex>G([L; R])</tex>
