Изменения

== Введение ==[[Файл:PSLGPSLG_overlaying_w.png|400px|right|thumb|left|Ну как то так. Очевидно жеПример работы алгоритма пересечения ППЛГ]]Пересечением двух [[ФайлППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL):PSLG1.png|400px|thumb|rightопределение, построение РСДС множества прямых|Создание новой компонентыППЛГ]]является ППЛГ, получающийся наложением двух исходных ППЛГ с созданием вершин в точках пересечения ребер. Определим пересечение двух ППЛГ <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> как ППЛГ <tex>O(S_1, S_2)</tex>, такой, что в нем существует грань <tex>f</tex> тогда и только тогда, когда существуют грани <tex>f_1</tex> в <tex>S_1</tex> и <tex>f_2</tex> в <tex>S_2</tex> такие, что <tex>f</tex> является наибольшим связным подмножеством <tex>f_1 \cap f_2</tex>. Иначе говоря, пересечение двух ППЛГ — это разбиение плоскости с помощью ребер из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>. {{Задача|definition = Необходимо построить [[ФайлППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL):PSLG2.png|400pxопределение, построение РСДС множества прямых|thumb|right|Создание новой компонентыРСДС]][[Файл:PSLG3для <tex>O(S_1, S_2)</tex>, имея РСДС для <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>.png|400px|thumb|left|Граф Кроме того, для поиска face]]каждой грани из <tex>O(S_1, S_2)</tex> будем хранить ссылки на грани из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, содержащие ее.}}

==Алгоритм=='''MapOverlay (Для начала скопируем ППЛГ <tex>S_1</tex>и <tex>S_2</tex> в новый РСДС. Далее необходимо преобразовать полученный РСДС, чтобы он соответствовал <tex>O(S_1, S_2)</tex>)'''. Отдельно рассмотрим преобразования вершин, полуребер и граней.

Дано=== Вершины и полуребра ===[[Файл:PSLG_sweep_w.png|220px|right|thumb|Алгоритм заметающей прямой]]Алгоритм базируется на [[Пересечение множества отрезков|заметающей прямой]], определяющей пересечения отрезков. Запускаем алгоритм на множестве отрезков, представляющих собой ребра из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>. Напомним, что алгоритм поддерживает очередь событий <tex>Q</tex> и текущий статус <tex>T</tex> заметающей прямой. Также будем поддерживать ссылки между ребрами статуса и соответствующими полуребрами из РСДС. Поддерживаемый инвариант: 2 ППЛГ в виде любой момент времени РСДСнад заметающей прямой корректен.

ВыводОбработка точки события происходит следующим образом: пересечение этих сначала обновляем <tex>Q</tex> и <tex>T</tex> (как в алгоритме пересечения отрезков). Если оба ребра события принадлежат одному ППЛГ , переходим к следующему событию. В противном случае, необходимо модифицировать РСДС. Возможны следующие варианты пересечений (см. рисунок ниже):<ol type="a"><li>Вершина ребра <tex>e_2</tex> проходит через ребро <tex>e_1</tex>, разбивая его на два новых ребра.</li><li>Ребро <tex>e_1</tex> пересекает ребро <tex>e_2</tex>. Образуется четыре новых ребра.</li><li>Ребра <tex>e_1</tex> и <tex>e_2</tex> пересекаются в виде РСДСобщей вершине.</li><li>Вершина ребра <tex>e_1</tex> проходит через ребро <tex>e_2</tex>, разбивая его на два новых ребра.</li><li>Ребра <tex>e_1</tex> и <tex>e_2</tex> имеют общий отрезок. Образуется новое ребро.</li>Алгоритм:</ol>

# Копируем <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> в РСДС <tex>D</tex>{| cellpadding="3"|[[Файл:PSLG_overlay_cases_w.# Находим все пересечения png|600px|center|thumb|Варианты пересечений ребер из <tex>S_1e_1</tex> с ребрами из и <tex>S_2e_2</tex> с помощью заметающей прямой.## Когда находим точки пересечения, то обновляем <tex>D</tex>.# Теперь <tex>D</tex> это нормальный РСДС, но без информации о faces.# Находим boundary cycles в <tex>D</tex>.# Создаем граф <tex>G</tex>, в котором узлы будут отвечать за boundary cycles и в котором ребра будут соединять только те узлы, один из которых будет являться границей дыры, а другой будет находиться слева от самой левой точки первого. Слева направо случаи (a) - (В случае, если это самая внешняя граница, то для нее пусть будет мнимая гигантская граница, с которой мы ее и соединимe).]]# Для каждой компоненты графа:# Пусть <tex>C</tex> будет уникальная наружная граница цикла в компоненте, а <tex>f</tex> будет означать face ограниченный этим циклом. Создадим face для <tex>f</tex>. Запишем outer_component в какой-нибудь half-edge из <tex>C</tex>. И создадим список inner_components, состоящий из указателей на какой-нибудь half-edge из каждого цикла. А так же пусть incident_face в каждом half-edge будут обновлены на <tex>f</tex>.|}

Рассмотрим один из случаев, остальные обрабатываются аналогично. Пусть ребро <tex>e</tex> из <tex>S_1</tex> проходит через вершину <tex>v</tex> из <tex>S_2</tex>. Ребро <tex>e</tex> заменяем двумя ребрами <tex>e'</tex> и <tex>e''</tex>. Два полуребра, соответствующих <tex>e</tex>, заменяются четырьмя полуребрами: два существующих полуребра будут исходить из концов <tex>e</tex>, а два новых полуребра — из <tex>v</tex> (см. рисунок). Устанавливаем ссылки на близнецов для ребер <tex>e'</tex> и <tex>e''</tex>. Обновим ссылки на следующие полуребра для <tex>h_1</tex> и <tex>h_4</tex>, пусть это будут <tex>h_5</tex> и <tex>h_6</tex>, соответственно. Не забудем установить полуребра <tex>h_1</tex> и <tex>h_4</tex> в качестве предыдущих полуребер у <tex>h_5</tex> и <tex>h_6</tex>. Теперь обновим ссылки на полуребра, инцидентные вершине <tex>v</tex>. Для этого сначала при помощи порядка обхода определим, между какими полуребрами <tex>S_2</tex> находится <tex>e</tex>. Рассмотрим полуребро <tex>h_3</tex>: свяжем его с первым полуребром, видимым из <tex>h_4</tex> при обходе по часовой стрелке и исходящем из <tex>v</tex>. Полуребро <tex>h_4</tex> должно быть связано с первым полуребром, идущим в <tex>v</tex>, при обходе против часовой стрелки. Аналогично обработаем <tex>e''</tex>.{| cellpadding="3"|[[Файл:PSLG_edge_vertex_w.png|x180px|center|thumb|Пересечение вершины <tex>v</tex> и ребра <tex>e</tex>]]|[[Файл:PSLG_edge_vertex2_w.png|x180px|center|thumb|Модификация полуребер]]|}==== Время работы ==Q&A==Большинство шагов алгоритма работают константное время. Определение соседних полуребер с <tex>e'</tex> и <tex>e''Копирование </tex> происходит за линейное время от степени вершины. Следовательно, обновление РСДС не увеличивает время работы алгоритма пересечения отрезков, поэтому сведения о вершинах и полуребрах для итогового РСДС''' - просто объединение в одну структуру. Как сделать его правильным - это уже следующие пунктымогут быть вычислены за время <tex>O(n \log{n} + k \log{n})</tex>, где <tex>n</tex> — сумма сложностей <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, <tex>k</tex> — количество точек пересечения.

'''Как === Грани ===[[Файл:PSLG_left_vertex_w.png|250px|right|thumb|Поиск внешних границ и дырок. Вершины <tex>v</tex> и <tex>u</tex> – левые вершины циклов. Для полуребер <tex>h_1</tex> и <tex>h_2</tex> грань <tex>f</tex> является внутренней, для полуребер <tex>h_3</tex> и <tex>h_4</tex> – внешней.]]Необходимо получить информацию о гранях итогового РСДС: ссылка на полуребро внешней границы, список ссылок на полуребра дырок внутри грани, ссылка на грани из пересечения ребер сделать <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, содержащие новую компоненту РСДС''' - см рисунокгрань. Также необходимо для полуребер установить ссылки на инцидентную грань.У каждой грани существует уникальная внешняя граница, поэтому количество граней будет на единицу больше, чем количество внешних границ (дополнительная граница ограничивает весь ППЛГ). Таким образом, каждой грани можно ставить в соответствие внешнюю границу данной грани (кроме внешней грани ППЛГ, для нее мы введем мнимую внешнюю границу). Следовательно, необходимо обойти все внешние границы ППЛГ и создать грань для каждой границы. Для того, чтобы определить, является цикл внешней границей или дыркой, рассмотрим самую левую вершину цикла <tex>v</tex> (определяется обходом по циклу). Напомним, что полуребра ориентированы так, что инцидентная им грань лежит левее полуребра. С учетом этого, оценим угол внутри грани между полуребрами, инцидентными <tex>v</tex>. Если угол меньше <tex>180^\circ</tex>, то цикл является внешней границей грани, в противном случае – лежит внутри грани. Данное свойство выполняется для вершины <tex>v</tex>, но может не выполняться для остальных вершин.

'''Сколько будет faces?''' Столько жеДля определения того, сколько outer boudaries + 1какие границы принадлежат одной грани, построим вспомогательный граф <tex>G</tex>, в котором каждая граница является вершиной. Также добавим вершину для мнимой границы внешней грани. Между двумя вершинами графа, соответствующим двум циклам РСДС, существует ребро тогда и только тогда, когда один цикл является границей дырки, а второй цикл является ближайшим слева к самой левой вершине первого цикла. Если левее самой левой вершины цикла нет полуребер, то соединим этот цикл с мнимой границей внешней грани ППЛГ.{| cellpadding="3"| [[Файл:PSLG_graph_w.png|400px|center|thumb|Построение графа <tex>G</tex>]]|}

'''Че за граф такой пацанский?''' См рисунок{{Лемма|statement=Каждой компоненте связности графа <tex>G</tex> соответствует множество циклов, инцидентных только одной грани.|proof=Рассмотрим цикл <tex>C</tex>, ограничивающий дырку в грани <tex>f</tex>. Грань <tex>f</tex> лежит левее самой левой вершины <tex>C</tex>, поэтому <tex>C</tex> должен быть связан с другим циклом грани <tex>f</tex>. Из него мы сможем понятьСледовательно, какие циклы принадлежат одному одной компоненты связности графа <tex>G</tex> ограничивают одну и тому ту же faceгрань. НапримерПокажем, что каждый цикл, ограничивающий дырку грани <tex>f</tex>, находится в рисунке мы видимодной компоненте связности с внешней границей грани <tex>f</tex>. Предположим, что C2существует цикл, C3 для которого это не выполняется. Пусть <tex>C</tex> – самый левый такой цикл, причем его левая вершина также самая левая. По определению, существует ребро между <tex>C</tex> и C6 являются циклами одного faceциклом <tex>C'</tex>, который лежит левее <tex>C</tex>. Следовательно, <tex>C'</tex> лежит в одной компоненте связности с <tex>C</tex>, причем <tex>C'</tex> не является внешней границей <tex>f</tex>. Из предыдущего вопроса мы понимаемПолучается, что <tex>C'</tex> лежит левее <tex>C</tex>, что C2 есть внешняя границапротиворечит определению <tex>C</tex>.}}

'''Лемма к предыдущему вопросу''' - Каждая компонента ==== Построение графа отвечает <tex>G</tex>====Напомним, что в алгоритме заметающей прямой для пересечения отрезков мы искали ближайший отрезок, находящийся левее точки события. Эта информация необходима для построения графа <tex>G</tex>. Сначала создадим вершину для каждой границы. Далее необходимо построить ребра в графе, для этого найдем левую вершину каждой дырки и определим, какое ребро лежит слева от данной вершины. Для эффективности будем для каждого полуребра хранить ссылку на вершину графа, содержащую это полуребро. Таким образом, информация о гранях может быть восстановлена за множество циклов инцидентных одному faceвремя <tex>O(n + k)</tex>, после алгоритма заметающей прямой. Также заметим, что информацию о структуре графа можно хранить в записях граней.

'''Доказательство''': Рассмотрим цикл ==== Маркировка граней ====Необходимо для каждой грани РСДС определить, какие грани из <tex>CS_1</tex>, который ограничивает дыру в face и <tex>fS_2</tex>содержат ее. Поскольку Рассмотрим вершину <tex>v</tex> грани <tex>f</tex> локально лежит левее самой левой вершины из . Если <tex>Cv</tex>, то является пересечением ребра <tex>Ce_1</tex> должен быть соединен с другим циклом, который тоже ограничивает из <tex>fS_1</tex>. отсюда следует, что циклы есть компонента связности в графе, описывающая один и тот-же face. Для того, что бы закончить доказательство, покажем, что каждый цикл ограничивающий дыру в ребра <tex>fe_2</tex> есть в той же компоненте связности, что и внешняя граница из <tex>fS_2</tex>. Предположим, что есть циклто по указателям на инцидентные грани можно определить, для которого это не таккакие грани содержат данные ребра. Пусть Если <tex>Cv</tex> — самый левый такой цикл, то есть тот, чья самая левая вершина самая левая (шляпа). По определению есть ребро между является вершиной <tex>CS_1</tex> и неким , то мы можем определить только грань из <tex>C'S_1</tex>, который лежит слева от самой левой вершины содержащую <tex>Cv</tex>. Следовательно Необходимо научиться определять грань из <tex>CS_2</tex> в той же компоненте связности, что и содержащую <tex>v</tex>. То есть для каждой вершины из <tex>C'S_1</tex>мы должны знать, который не в той же компоненте, что внешняя граница какая грань из <tex>fS_2</tex>содержит данную вершину, и наоборот. ПротиворечиеЭто также делается заметающей прямой.

== Литература = Итог ===Вход: два ППЛГ <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, представленные в виде РСДС. Выход: пересечение <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, представленное в виде РСДС <tex>D</tex>.# Скопируем <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> в новый РСДС <tex>D</tex>.# Найдем пересечения ребер из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> с помощью заметающей прямой. При обработке события будем обновлять <tex>D</tex>, если событие затрагивает <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>. Также для вершины события сохраним информацию о ближайшем полуребре слева.# Найдем граничные циклы в <tex>O(S_1, S_2)</tex>, обходя <tex>D</tex>.# Построим граф <tex>G</tex>, вершинам которого соответствуют циклы, соединив ребрами дырки и источники циклы, ближайшие слева к левым вершинам дырок.# Для каждой компоненты связности графа <tex>G</tex>: пусть <tex>C</tex> – внешняя граница компоненты связности, ограничивающая грань <tex>f</tex>. Создать запись для этой грани, установить ссылку на полуребро внешней границы грани и ссылки на полуребра дырок грани. Также для всех полуребер грани установить ссылки на инцидентную грань.# Для каждой грани <tex>f</tex> из <tex>O(S_1, S_2)</tex> установить ссылки на грани из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, содержащие <tex>f</tex>. == Общее время работы ==* Вычислительная геометрия{{Теорема|statement=Пусть <tex>S_1</tex> имеет сложность <tex>n_1</tex>, <tex>S_2</tex> имеет сложность <tex>n_2</tex>, <tex>n = n_1 + n_2</tex>. Алгоритмы Пересечение <tex>S_1</tex> и приложения<tex>S_2</tex> может быть построено за время <tex>O(n \log{n} + k \log{n})</tex>, де Берг Марк где <tex>k</tex> – количество точек пересечения <tex>S_1</tex> и другие<tex>S_2</tex>. Глава 2|proof=Копирование двух РСДС в один занимает <tex>O(n)</tex> времени, заметающая прямая работает <tex>O(n \log{n} + k \log{n})</tex> времени по лемме. Создание граней работает линейное время от сложности <tex>O(S_1, S_2)</tex>.3Маркировка граней РСДС работает за <tex>O(n \log{n} + k \log{n})</tex>.}} == См.также ==*[[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых]]*[[Пересечение множества отрезков]] == Источники информации ==* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 33-39 [[Категория: Вычислительная геометрия]][[Категория: ППЛГ и РСДС]]