Изменения

|statement= Пусть некоторая функция <tex>r: A \in 2^X \to \{0\} \cup \mathbb{N}</tex>, где <tex>2^X</tex> {{--- }} конечное непустое множество, удовлетворяет условиям: <br>(r.1) # <tex> 0 \le leqslant r(A) \le leqslant |A| </tex> <br>.(r.2) # <tex> A \in subseteq B \to Rightarrow r(A) \le leqslant r(B) </tex> <br>.(r.3) # <tex>\forall A, B \subset X,</tex> <tex>r(A \cup B) + r(A \cap B) \le leqslant r(A) + r(B)</tex> <br>Тогда <tex>r</tex> является [[Ранговая функция, полумодулярность|ранговой функцией ]] однозначно определенного матроида на <tex>X</tex>. <br>|proof= Подмножество <tex>I \subseteq in 2^X</tex> назовем <tex>r</tex>-независимым, если выполняется <tex>r(I) = |I|</tex>. Обозначим через <tex>\mathcal{I}\subseteq 2^X</tex> множество всех <tex>r</tex>-независимых подмножеств из <tex>2^X</tex>. Докажем, что <tex>\mathcal{I}</tex> удовлетворяет [[Определение матроида|аксиомам независимого множества ]] 1, 2 и 3:<br> '''1)''' В силу (r.1) выполняется <tex>r(\emptyset)=0</tex>, следовательно <tex> \emptyset \in \mathcal{I}</tex><br>

'''2# В силу (1) выполняется <tex>r(\emptyset)''' =0</tex>, следовательно <tex> \emptyset \in \mathcal{I}</tex>.# Пусть <tex> I \in \mathcal{I}</tex> и <tex>J \subseteq I</tex>. Предположим от противного, что <tex>r(J) < |J|</tex>. Тогда, используя (r.1) и (r.3), получаем: <br><tex>|I| = r(I) = r(J \cup (I \setminus J)) \le leqslant r(J) + r(I \setminus J) - r(\emptyset) < |J| + |I \setminus J| = |I|</tex>, <br>что невозможно. Следовательно, <tex>r(J) = |J|</tex>, т.е. <tex> J \in \mathcal{I} </tex> # Пусть <tex>I, J \subseteq \mathcal{I}</tex> и <tex>|I| < |J|</tex>. Положим <tex>J \setminus I = \{p_1, \ldots,p_t\}</tex>. Пусть, от противного, <tex>I \cup p_i \nsubseteq \mathcal{I}</tex> для любого <tex>i = 1, \ldots,t</tex>. Тогда для <tex>i = 1, \ldots,t</tex> имеет место: <tex> |I| = r(I) \leqslant r(I \cup p_i) < |I \cup p_i| = |I| + 1</tex>, т.е. <brtex>r(I \cup p_i) = |I|</tex>. Отсюда, в силу доказанной раннее леммы, получаем <tex> r(I \cup J) = |I|</tex>. С другой стороны, <tex>|I| < |J| = r(J) \leqslant r(I \cup J)</tex>. Противоречие.

Все три аксиомы выполняются на <tex>\mathcal{I}</tex>, соответственно, семейство <tex>\mathcal{ЛеммаI}</tex> является семейством независимых множеств некоторого матроида <tex> M = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex>. Осталось проверить, что исходная функция <tex>r</tex> совпадает с ранговой функцией матроида <tex>M</tex>. Так как, по определению, ранговая функция равна мощности максимального независимого подмножества множества (мощности базы множества), для этого достаточно доказать, что для любой [[Теорема о базах|statement=Пусть базы]] <tex> B \subset </tex> произвольного множества <tex>A \subseteq in 2^X, B \subseteq A</tex>, выполняется <tex>r(BA) = |B|</tex>, и . Пусть <tex> A \setminus B = \</tex> {{p_1, ... p_t---}} [[Теорема о базах|база]] множества <tex>A \}in 2^X</tex>. Если По определению <tex>r </tex> имеем <tex>r(B \cup p_i) = |B|</tex> для любого и <tex>B</tex> {{---}} максимальное <tex>r</tex>-независимое подмножество из <tex>A</tex>. Если <tex> i A= 1,..., tB</tex>, то , очевидно, <tex>r(A) = |r(B).</tex> Поэтому пусть <tex>B|\subset A</tex>|proof=По индукции: предположим, что . Пусть <tex>r(A \setminus B = \cup {p_1 , \cup ldots ,p_t\}</tex>... \cup p_j) = |В силу максимальности <tex>B|</tex> для некоторого любого <tex>j i = 1,...\ldots,t-1</tex>множество <tex>B \cup p_i</tex> не является <tex>r</tex>-независимым, т. Тогда, применяя (е. <tex>r.2) и (r.3B \cup p_i), получаем: <br|B \cup p_i|</tex>. Тогда имеем: <tex>|B| = r(B) \le leqslant r(B \cup p_1 \cup ... \cup p_j+1p_i) \le r(< |B \cup p_1 \cup ... \cup p_j) + r(B \cup p_j+1) -r(B) p_i| = |B| + |B| - |B| = |B| 1 </tex>, т.е. <br>Следовательно, <tex>r(B \cup p_1 \cup ... \cup p_j+1p_i) = |B|</tex>. Переход доказан, а значит, В силу доказанного утверждения получаем <tex>r(B \cup p_1 \cup ... \cup p_tA) = |B|</tex>. <br>

'''3)''' Пусть <tex>I, J \in \mathcal{I}</tex> и <tex>|I| < |J|</tex>. Положим <tex>J \setminus I = \{p_1,...,p_t\}</tex>. Пусть, от противного, <tex>I \cup p_i \notin \mathcal{I}</tex> для любого <tex>i = 1,...,t</tex>. Тогда для <tex>i = 1,..См.,t</tex> имеет место: <br><tex> |I| = r(I) \le r(I \cup p_i) < |I \cup p_i| также= |I| + 1</tex>, т.е. <tex> r(I \cup p_i) = |I|</tex>. Отсюда, в силу доказанной раннее леммы, получаем <tex> r(I \cup J) = |I|</tex>. С другой стороны, <tex>|I| < |J| = r(J) \le r(I \cup J)</tex>. Противоречие. <br>* [[Аксиоматизация матроида базами]] Все три аксиомы выполняются на <tex>\mathcal{I}</tex>, соответственно, семейство <tex>\mathcal{I}</tex> является семейством независимых множеств некоторого * [[Аксиоматизация матроида <tex> M = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex>. Осталось проверить, что исходная функция <tex>r</tex> совпадает с ранговой функцией матроида <tex>M</tex>. Для этого надо доказать, что для любой базы <tex>B</tex> произвольного множества <tex>A \subseteq 2^X</tex> выполняется <tex> r(A) = |B|. Пусть <tex>B</tex> - база множества <tex>A \subseteq 2^X</tex>. По определению <tex>\mathcal{I} </tex> имеем <tex> r(B) = |B|</tex> и <tex>B</tex> - максимальное <tex>r</tex>-независимое подмножество из <tex>A</tex>. Если <tex>A=B</tex>, то, очевидно, <tex>r(A)=r(B)</tex>. Поэтому пусть <tex>B \in A</tex>. Пусть <tex> A \setminus B = \{p_1, ... ,p_t\}</tex>. В силу максимальности <tex>B</tex> для любого <tex>i = 1,...,t</tex> множество <tex>B \cup p_i</tex> не является <tex>r</tex>-независимым, т.е. <tex>r(B \cup p_i) < |B \cup p_i|</tex>. Тогда имеем: <br><tex> |B| = r(B) \le r(B \cup p_i) < |B \cup p_i| = |B| + 1 </tex>, <br>т.е. <tex> r(B \cup p_i) = |B| </tex>. В силу доказанного утверждения получаем <tex>r(A) = |B|</tex>. <br>Теорема доказана.}}циклами]]

== Литература Источники информации==*''Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В.'' {{- --}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. '''ISBN 978-5-8114-1068-2''' <br>