Уменьшение ошибки в классе RP, сильное и слабое определение — различия между версиями
Alexey (обсуждение | вклад) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показаны 3 промежуточные версии 3 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | ==Определение классов <tex> | + | ==Определение классов <tex>RP, RP_1, RP_2</tex>== |
Множество языков [[Сложностные_классы_RP_и_coRP |'''RP''']] определяется следующим образом: | Множество языков [[Сложностные_классы_RP_и_coRP |'''RP''']] определяется следующим образом: | ||
Строка 15: | Строка 15: | ||
==Доказательство эквивалентности определений== | ==Доказательство эквивалентности определений== | ||
− | Включение <tex>RP_2 \subset RP \subset RP_1</tex> очевидно, следовательно осталось доказать обратное включение | + | Включение <tex>RP_2 \subset RP \subset RP_1</tex> очевидно, следовательно осталось доказать обратное включение <tex>RP_1 \subset RP \subset RP_2</tex>. Доказательство данного утверждения проводится с помощью метода уменьшения ошибки в классе <tex>RP</tex>. |
* Докажем включение <tex>RP_1 \subset RP</tex> | * Докажем включение <tex>RP_1 \subset RP</tex> |
Текущая версия на 19:25, 4 сентября 2022
Определение классов
Множество языков RP определяется следующим образом:
Определим множества языков
и :
В приведенных определениях вероятностная машина Тьюринга, время работы которой в худшем случае составляет полином от длины входа.
— некий полином, а —В классе
ослаблено ограничение на вероятность ошибки ответа, а в классе усилено. Соответственно называется слабым определением класса , а — сильным.Доказательство эквивалентности определений
Включение
очевидно, следовательно осталось доказать обратное включение . Доказательство данного утверждения проводится с помощью метода уменьшения ошибки в классе .- Докажем включение
Выясним, сколько раз требуется запустить машину Тьюринга
из , для того, чтобы вероятность ошибки была меньше . Запустим машину раз, тогда вероятность ошибки составит . Получим неравенство:Логарифмируя, сведем к следующему:
Разложив логарифм в левой части в ряд, получим:
Откуда
, где — длина входа. То есть при , удовлетворяющем полученному неравенству, вероятность ошибки не будет превышать , а значит .- Докажем включение
Доказательство проводится аналогично приведенному в первой части. Запустим машину
из раз. С учетом ограничения, введенного в определении класса , получим неравенство: .Прологарифмировав и сократив обе части неравенства на
, получим неравенство: . То есть машина , запущенная раз, выдает неверный ответ с вероятностью, удовлетворяющей определению класса , а значит .Эквивалентность определений класса
доказана.