Изменения

==Основная идея==Возьмем структуру данных [[Саморасширяющийся массив|динамический массив]]. В её стандартной реализации мы умеем добавлять элемент в конец вектора, узнавать значение элемента, стоящего на определенной позиции, изменять элемент по номеру и удалять последний элемент. Предположим, что нам необходима структура данных с вышеуказанными свойствами, а также с операциями: добавить элемент в любое место (с соответствующим изменением нумерации элементов) и удалить любой элемент (также с соответствующим изменением нумерации). Такую структуру можно реализовать на базе декартового дерева, результат часто называют '''декартово дерево по неявному ключу''' (англ. ''Treap with implicit key'').===Ключ X===Как известно, [[декартово дерево]] {{Q---}} это структура данных, объединяющая в себе [[Дерево_поиска,_наивная_реализация|widthбинарное дерево поиска]] и [[Двоичная_куча|бинарную кучу]]. При реализации же декартова дерева по неявному ключу модифицируем эту структуру. А именно, оставим в нем только приоритет <tex>Y</tex>, а вместо ключа <tex>X</tex> будем использовать следующую величину: '''количество элементов в нашей структуре, находящихся левее нашего элемента'''. Иначе говоря, будем считать ключом порядковый номер нашего элемента в дереве, уменьшенный на единицу.  Заметим, что при этом сохранится структура [[Дерево_поиска,_наивная_реализация|двоичного дерева поиска]] по этому ключу (то есть модифицированное декартово дерево так и останется декартовым деревом). Однако, с этим подходом появляется проблема: операции добавления и удаления элемента могут поменять нумерацию, и при наивной реализации на изменение всех ключей потребуется <tex>O(n)</tex> времени, где <tex>n</tex> {{---}} количество элементов в дереве. =30%==Вспомогательная величина С===Решается эта проблема довольно просто. Основная идея заключается в том, что такой ключ <tex>X</tex> сам по себе нигде не хранится. Вместо него будем хранить вспомогательную величину <tex>C</tex>: '''количество вершин в поддереве нашей вершины''' (в поддерево включается и сама вершина). Обратим внимание, что все операции с обычным декартовым деревом делались сверху. Также заметим, что если по пути от корня до некой вершины просуммировать все такие величины в левых поддеревьях, в которые мы не пошли, увеличенные на единицу, то придя в саму вершину и добавив к этой величине количество элементов в её левом поддереве, мы получим как раз ее ключ <tex>X</tex>. [[Файл:DDpoNK.png|Пример описанного дерева с демонстрацией определения ключа <tex>X</tex>]] ==Операции, поддерживающие структуру декартова дерева==Структура обычного декартова дерева поддерживается с помощью двух операций: <tex>\mathrm{split}</tex> {{---}} разбиение одного декартова дерева на два таких, что в одном ключ <tex>X</tex> меньше, чем заданное значение, а в другом {{---}} больше, и <tex>\mathrm{merge}</tex> {{---}} слияние двух деревьев, в одном из которых все ключи <tex>X</tex> меньше, чем во втором. С учетом отличий декартова дерева по неявному ключу от обычного, операции теперь будут описываться так: <tex>\mathrm{split(root, t)}</tex> {{---}} разбиение дерева на два так, что в левом окажется ровно <tex>t</tex> вершин, и <tex>\mathrm{merge(root1, root)}</tex> {{---}} слияние двух любых деревьев, соответственно. ===Split===Пусть процедура <tex>\mathrm{split}</tex> запущена в корне дерева с требованием отрезать от дерева <tex>k</tex> вершин. Также известно, что в левом поддереве вершины находится <tex>l</tex> вершин, а в правом <tex>r</tex>. Рассмотрим все возможные случаи: * <tex>l \geqslant k</tex>. В этом случае нужно рекурсивно запустить процедуру <tex>\mathrm{split}</tex> от левого сына с тем же параметром <tex>k</tex>. При этом новым левым сыном корня станет правая часть ответа рекурсивной процедуры, а правой частью ответа станет корень.* <tex>l < k</tex> Случай симметричен предыдущему. Рекурсивно запустим процедуру <tex>\mathrm{split}</tex> от правого сына с параметром <tex>k - l - 1</tex>. При этом новым правым сыном корня станет левая часть ответа рекурсивной процедуры, а левой частью ответа станет корень. Псевдокод:  ''' <tex>\langle</tex>Treap, Treap<tex>\rangle</tex>''' split('''Treap''' t, '''int''' k) '''if''' t == <tex> \varnothing </tex> '''return''' <tex>\langle</tex><tex> \varnothing </tex>, <tex> \varnothing </tex><tex>\rangle</tex> '''int''' l = t.left.size '''if''' l <tex>\small{\geqslant}</tex> k <tex>\langle</tex>t1, t2<tex>\rangle</tex> = split(t.left, k) t.left = t2 update(t) '''return''' <tex>\langle</tex>t1, t<tex>\rangle</tex> '''else''' <tex>\langle</tex>t1, t2<tex>\rangle</tex> = split(t.right, k - l - 1) t.right = t1 update(t) '''return''' <tex>\langle</tex>t, t2<tex>\rangle</tex> ===Merge===Посмотрим любую из [[Декартово дерево правит миром#Операция merge|реализаций]] процедуры <tex>\mathrm{merge}</tex>. За логарифмЗаметим, что в ней программа ни разу не обращается к ключу <tex>X</tex>.|Неизвестный автор}Поэтому реализация процедуры <tex>\mathrm{merge}</tex> для декартова дерева по неявному ключу вообще не будет отличаться от реализации той же процедуры в обычном декартовом дереве. ===Поддержание корректности значений C===Единственное действие, обеспечивающее корректность этих значений заключается в том, что после любого действия с детьми вершины нужно записать в ее поле <tex>C</tex> сумму этих значений в ее новых детях, увеличенную на единицу.

==Постановка задачи==Псевдокод:Возьмем структуру данных '''[[Саморасширяющийся массив|вектор]]void'''. В её стандартной реализации мы умеем добавить элемент в конец, узнать значение элемента и изменить элемент по номеру, и удалить последний элемент. Расширим круг задач: теперь мы хотим добавлять элемент в любое место (с соответствующим изменением нумерации элементов) и удалять любой элемент update(с тем же самым уточнением). Теперь нам нужно придумать структуру, называемую '''Декартово дерево по неявному ключуTreap''', или же '''rope'''(''англt) t.size = 1 + t.left.size + t.'''веревка''''')right.size

==Основная идеяПрименение описанного дерева==НапомнимТаким образом, '''[[Декартово описана структура, от которой можно отрезать слева часть произвольной длины и слить две любые части в одну в нужном порядке. Теперь мы имеем возможность:* вставить элемент в любое место (отрежем нужное количество элементов слева, сольем левое дерево]]''' с деревом из одного добавленного элемента и результат {{---}} это структура данныхс правым деревом), объединяющая в себе бинарное дерево поиска * переставить любой кусок массива куда угодно (сделаем нужные разрезы и бинарную кучу. Для решения задачи, поставленной слияния в предыдущей главеправильном порядке), попробуем слегка модифицировать эту структуру* совершать групповые операции с элементами. Если конкретнееВспомним реализацию таких операций в дереве отрезков и поймем, что ничего не помешает нам сделать то оставим в нем только один ключ - ключ <tex>Y</tex>же самое с описанным деревом. Вместо второго ключа будем использовать следующую величину: '''количество В групповые операции включается, естественно, и взятие функции от отрезка,* сделав на одном исходном массиве два дерева из элементов в нашей структуреразной четности, находящихся левее нашего элемента'''. Если прощеможно решить задачу про смену мест четных и нечетных на отрезке, то будем считать ключом порядковый номер нашего элемента в дереве* используя идеи декартова дерева по неявному ключу, уменьшенный на единицуможно реализовать такую структуру данных как [[Rope|Rope]]. == См. также ==* [[Splay-дерево]]

Заметим, что при этом сохранится структура ==Источники информации==* [[Дерево_поиска,_наивная_реализация|двоичного дерева поиска]] по этому ключу(тhttp://habrahabr.е. наше модифицированное декартово дерево так и останется декартовым деревом). Однако, с этим подходом появляется проблема: наши операции добавления и удаления элемента могут поменять нумерацию, и при наивной реализации на изменение всех ключей потребуется <tex>O(n)<ru/post/tex> времени, где <tex>n<102364/tex> Habrahabr {{---}} количество элементов в деревеДекартово дерево по неявному ключу]* [http://e-maxx.ru/algo/treap#7 MAXimal :: algo :: Неявные декартовы деревья]

Как же нам быть? Основная идея заключается в том, что такой ключ <tex>X</tex> сам по себе нигде не хранится. Вместо него будем хранить вспомогательную величину[[Категория: '''количество вершин в поддереве нашей вершины'''(включая Деревья поиска]][[Категория: Дискретная математика и саму нашу вершину). Обратим внимание, что все операции с обычным декартовым деревом делались сверху. Также заметим, что если по пути до некой вершины просуммируем все такие величины в левых поддеревьях, в которые мы не пошли, увеличенные на единицу, то придя в саму вершину, мы получим как раз ее ключ <tex>X</tex>.алгоритмы]][[Категория: Структуры данных]]