Изменения

Здесь будем рассматривать <tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma(f, x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</tex>

Есть функции, для которых ряд расходится в каждой точкеПусть <tex>F(x) = \int\limits_0^x \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dt</tex>.

Докажем, что <tex>F(x) = \intin \limits_0^x \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dtbigvee </tex>:

{{Утверждение|statement=<tex>|F(x_{k+1}) - F(x_k)| \stackrel{\le}{x_k in \le x_{k+1}} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a_0}2\right| dtbigvee</tex>|proof=

Создадим разбиение нашего промежуткаНужно доказать <tex>2\pi</tex>-периодичность <tex>F</tex> и ограниченность её вариации. Тогда вариация

{{Утверждение|statement=Ограниченность вариации|proof=<tex>\bigvee\limits_|F(x_{k+1}) -\pi}^\pi F(F, x_k)| \tau) stackrel{x_k </tex><tex>\le \sum\limits_x_{k=0+1}}^{p-1\le} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a}2 \right| dt</tex><tex>= \int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| dt < +\infty</tex>

Значит, Создадим разбиение нашего промежутка: <tex>\bigvee\limits_{-\pi}^= x_0 < \dots < x_p = \pi(F) \le \int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| \le +\infty</tex>. Тогда вариация

Итак<tex>\bigvee\limits_{-\pi}^\pi (F, на \tau) </tex>Q<tex>\le \sum\limits_{k=0}^{p-1} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a}2 \right| dt = </tex> <tex>\int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| dt < +\infty</tex> имеет ограниченную вариацию.

ПроверимТак как это выполняется для любого разбиения, <tex>\bigvee\limits_{-\pi}^\pi(F) \le \int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| < +\infty</tex>. Итак, что <tex>F</tex> {{---}} имеет ограниченную вариацию на <tex>2\piQ</tex>-периодична. }}

<tex>= \int\limits_{-\pi}^\pi f - \pi a_0</tex> = [по определению <tex>a_0</tex>] <tex>\pi a_0 - \pi a_0 = 0</tex>

Итак, <tex>F \in \bigvee</tex>. Значит,по [[теорема Жордана|теореме Жордана]], в каждой точке ряд Фурье этой функции сходится, <tex>\sigma(fF, x) = \frac{F(x - 0) +F(x+0)}2</tex>

Теперь вычислим коэффициенты Фурье <tex>F</tex>. <tex>a_0(F)</tex> считать пока не будем. <tex>a_n(F) = \frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi F(x) \cos nx dx = \frac1\pi \int\limits_{-\pi}^\pi F(x) dТакже предположим (\sin nx) </tex><tex>= \frac1{\pi n} (F(x) \sin x)^\pi_{-\pi} - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin x dF(x) = 0 - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin x dF(x)</tex> Сошлёмся на пока неизвестный факт(далее его установимдокажем это позже), что <tex>F</tex> для почти всех <tex>x</tex> дифференцируема по верхнему пределу интегрирования , и значение производной равно <tex>f(x)</tex>.

<tex>a_n(F) = \frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi F(x) \cos nx dx = \frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi F(x) d(\sin nx) = </tex><tex> \frac1{\pi n} (F(x) \sin x) \bigl |^\pi_{-\pi} - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) ) = </tex><tex> \frac1{\pi n} (0 - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin x dF(x)) = -\frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) = </tex><tex> -\frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx dx = -\frac{b_n(f) \pi}{\pi n} = -\frac{b_n (f)}{n } </tex>{{TODO|t=подозрительно}}

Значит, <tex>a_n(F) = \frac{-b_n(f)}{n}</tex>. Аналогично, <tex>b_n(F) = \pi frac{a_n(f)}{n}</tex>. В силу сказанного выше,

Рассмотрим ряд <tex>\sum\limits_{n=12}^\infty \frac{\sin nx}{\ln n}</tex>. Очевидно, <tex>\frac1{\ln n} \to 0</tex>.

При <tex>x = 0</tex> ряд сходится. При <tex>x \ne 0</tex>, <tex>\left|\sum\limits_{n=02}^\infty \sin nx \right| \le \frac{M(x)}{\sin x/2}</tex>, то есть, ограничен.

По признаку Абеля-Дирихле, ряд сходится. Мы имеем ряд, сходящийся в каждой точке (, но не может сходиться равномернона Q, так как, иначе, он был бы рядом Фурье. Пусть он сходится равномерно на <tex>Q</tex>. Тогда он сходится к непрерывной функции. Функция, непрерывная и <tex>2\pi</tex>-периодическая, следовательно, лежит в <tex>L_1</tex>. Значит, это {{---}} ряд Фурье этой функции (по определению). Но это не ряд Фурье. Противоречие.

Предположим, что это ряд Фурье. Тогда <tex>b_n(f) = \int frac1{\ln n}</tex> и ряд <tex>\sum \frac1{n\ln n}</tex> должен был бы сходиться. Но по интегральному признаку Коши:<tex>\sum \frac1{n\ln n}\sim \int \frac{dx}{x\ln x} = \ln \ln x \big|^\infty = +\infty</tex>.

Тогда ряд <tex>\sum \frac1{n\ln n}</tex> должен был бы сходиться. Но <tex>\sum \frac1{n\ln n} ~ \int \frac{dx}{n\ln n} = \ln \ln x \big|^\infty_0 = +\infty</tex>. Значит, это не ряд Фурье.

Вернёмся ещё раз к формуле <tex>F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limitslimits_{n=1}^\infty \left(\frac{-b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx\right)</tex>. Рассмотрим <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n (f) \sin nx</tex>, при <tex>(n \ge 1)</tex>, и <tex>A_0(f, x) = \frac{a_0}{2}</tex>.

<tex>\int\limits_0^x A_n(f, xt) dx + dt = \frac{a_n(f)}n \sin nx nt \big|^x_0 - \frac{b_n(f)}n \cos nx nt \big|^x_0</tex>

<tex>= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n + \sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n\sin nx \right)</tex><tex>= \int\limits_0^x \left(f(x) - \frac{a_0}2 \right) dt </tex><tex>= \int\limits_0^x f(t) dt - \int\limits_0^x A_0(f, t) dt</tex>

Получаем, <tex>= \int\limits_0^x \left(f(t) - \frac{a_0}2 \right) dt = \sumint\limits_{n=0}limits_0^\infty x f(t) dt - \int\limits_0^x A_nA_0(f, t) dt</tex>.

Ряд Фурье всегда можно интегрироватьПолучаем, несмотря на то<tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, что сам ряд может расходиться в каждой точке. Но ряд из интегралов обязательно сойдётсяt) dt</tex>.

{{Теорема|author=ЛузинРяд Фурье всегда можно интегрировать, Данжуа|statement={{TODO|t=???}}|proof={{TODO|t=????}}}}несмотря на то, что сам ряд может расходиться в каждой точке. Но ряд из интегралов обязательно сойдётся.