Изменения

не трогать, пилю! -[[L_2-теория рядов Фурье|<<]][[Участник:DgerasimovТеорема Джексона|Дмитрий Герасимов>>]] 12:44, 24 июня 2012 (GST){{В разработке}}

<tex> \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex>

<tex> |a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le |a_n| + |b_n| </tex>

Если <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (|a_n| + |b_n|) </tex> сходится, то тригонометрический ряд также будет абсолютно сходящимся.

Рассмотрим, например, <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin (\pi n! x), x_k = \frac{\pi}{k!}</tex>, тогда при <tex> n \ge k, : \sin(\pi n! x_k) = \sin(\pi n (n - 1) \dots (k + 1)) = 0</tex>, то есть , ряд абсолютно сходится. Однако, <tex> b_{n!} = 1</tex>, и ряд из коэффициентов расходится. \

<tex> a_n \cos nx + b_n \sin nx = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \cos (nx + \phi_nvarphi_n)</tex>

<tex> \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \le |a_n| + |b_n| \le \sqrt 2 \sqrt{a_n^2 + b_n^2}</tex>, следовательно, ряды <tex> \sum\limits_1^{\infty} (|a_n| + |b_n|) </tex> и <tex> \sum\limits_1^{\infty} \sqrt{a_n^2 + b_n^2}) </tex> равносходятся.

Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, то есть следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимсяна всей числовой оси.

<tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n |\cos (nx + \varphi_n)| </tex> — сходится для любого <tex> x </tex> в <tex> A</tex> по условию теоремы, где <tex> \lambda A > 0</tex>.

Пусть <tex> \alpha(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \cos^2(nx + \varphi_n) </tex>. <tex> \alpha(x) </tex> измерима и конечна на <tex> A </tex>, так как <tex> r_n \cos^2(nx + \varphi_n) \le r_n |\cos(nx + \varphi_n)|</tex>.

Тогда <tex> \exists A_0 \subset A: \lambda A_0 > 0, \alpha(x) </tex> — ограничена на <tex> A_0 </tex>. <tex> A = \sumbigcup\limits_{n=1}^{\infty} r_n A(0 \le \cos^2alpha(nx + x) \varphi_nle n) — измеримо и конечно на , \lambda A > 0 \Rightarrow \lambda A_n \to \lambda A\Rightarrow \exists n_0 : \lambda A_{n_0} > 0 </tex>, обозначим такой <tex>A_{n_0} </tex> за <tex> A_0 </tex>.

Тогда \exists A_0 \subset A: \lambda На <tex> A_0 </tex> <tex> 0, \alpha(x) </tex> — ограничено на A_0суммируема, по [[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега#Теорема Леви|теореме Б. Леви]], ряд можно почленно интегрировать.

A <tex> \int\limits_{A_0} \alpha(x) dx = \cupsum\limits_{n = 1}^{\infty} A(0 r_n \int\le limits_{A_0} \alphacos^2(x) nx + \le varphi_{n, x}), = \lambda A > 0 sum\Rightarrow limits_{n=1}^{\lambda A_n infty} r_n \to int\lambda A limits_{A_0} \rightarrow frac{1 + \exists n_0 : cos(2nx + 2\lambda A_varphi_{n, x})}{n_02} = </tex> 0

На A_0 \alpha — суммируема, по теореме Б. Леви ряд можно почленно интегрировать.  \int\limits_{A_0} \alpha(x) dx = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \int\limits_{A_0} \cos^2(nx + \varphi_{n, x}) = {{TODO|t=какого фига зависимость \phi от x появилась?}} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \int\limits_{A_0} \frac{1 + \cos(2nx + 2\varphi_{n, x}) =  <tex> = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac12 r_n \left( \lambda A_0 + \int\limits_{A_0} \cos(2\varphi_{n,x}) \cos (2nx) - \int\limits_{A_0} \sin(2\varphi_{n,x}) \sin (2nx) \right)</tex>. Оба интеграла стремятся к нулю по [[лемме Римана-Лебега]], следовательно, разность этих интегралов с некоторого номера больше <tex> - \frac12 \lambda A_0 </tex> , а значит, <tex> n</tex>-е слагаемое ряда больше <tex> \frac12 r_n \rfac12 frac12 \lambda A_0</tex>. Значит, из сходимости исходного ряда по признаку сравнения следует сходимость <tex> \sum\limits_1limits_{n=1}^{\infty} r_n</tex>.

Таким образом, отождествили сходимость рядов <tex> \sum\limits_1limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> и <tex> \sum\limits_1limits_{n=1}^{\infty} (|a_n| + |b_n|)</tex>.

Запишем условие абсолютной сходимости на языке [[наилучших приближений]].

<tex> f \in L_2, \sum\limits_1limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty</tex>

<tex> E_n^2(f)_2 = \pi \sum\limits_{k=n+1)}^{\infty} (a_k^2 (f) + b_k^2 (f))</tex>. ДокажемДля абсолютной сходимости достаточно доказать, что \sum \sqrt{a_k^2 + b_k^2) < + \infty в условиях теоремы tex> \sum\limits_{nk=1}^{\infty} \sum\limits{k = n}^{\infty} \frac{\sqrt{a_k^2 (f) + b_k^2 (f)}}{k} = < + \infty </tex> в условиях теоремы.

<tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} =</tex> <tex> \sum\limitslimits_{n = 1}^{\infty} \sum\limits_{k= n}^{\infty} \frac{\sqrt{a_k^2 (f) + b_k^2 (f)}}{k} \le </tex> (используем [[Неравенства Гёльдера, Минковского#Теорема Гёльдера|неравенство Коши для сумм]])<tex> \le \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2) \right)^{\frac12} \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty} \frac1{k^2} \right)^{\frac12} </tex>

\le \sum\limits_{n=1}^{\infty} <tex> \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2) \right)^{\frac12} \sum\limits_</tex> равно <tex> E_{k=n-1}^{\infty} \left( \frac1{k^2} \rightf)^{\frac12}_2 </tex>

Выражение под первой суммой равно E_{n-1}<tex> \left(f)_{L_2}, вторая сумма \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k^2} \right)^{\frac12} \le \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k}\frac1{k-1} \right)^{\frac12} \le \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k-1} - \frac1k \right)^{\frac12} \xrightarrow[k le \to \infty]frac{1} ({\frac1n)^sqrt{\frac12n-1}}</tex>

Таким образом, получили, что < tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} \le \sqrt{a_1^2 + b_1^2} + \sum\limits_{n=12}^{\infty} \frac{E_ncE_{n-1}(f)_{L_2}}{\sqrt {n-1}} < + \infty</tex>, таким образом, ряд из <tex> r_n </tex> сходится.