Изменения

===Пути===Научимся поддерживать эти операции для путей.# Нахождение минимума на пути от вершины до конца пути# Прибавление константы на пути ото вершины до корня# link. Чтобы не образовались деревья, нужно подвешивать путь строго к концу другого пути.# cut. По вершине обрезаем ребро. Получатся 2 независимых друг от друга пути. первые две операции - для поиска удлиняющего пути из S в T. Пусть нет операций link, cut. Все пути статичные, остаются 2 операции:# Минимум на суффиксе# Прибавление константы на суффиксе. Можно использовать дерево отрезков (<tex>O(\log(N))</tex>) Для cut и link можно использовать Декартовы деревья или Splay-деревья, операции также за <tex>O(\log(N))</tex>. Merge = link, split = cut. Совместим два концепта.Возьмем декартовы деревья и добавим к ним функциональность деревьев отрезков. Пусть есть массив 0..n, декартово дерево по неявному ключу для него. Давайте хранить в каждой вершине минимум в поддереве, вычисляется как минимум значений в поддеревьях и значения в вершине. Будем поддерживать при split и merge. Легко узнать минимум на суффиксе: делаем сплит по вершине, берем минимум в нем. Если не хотим портить исходное дерево, то можно либо сделать обратно merge или использовать персистентное дерево, создать новое и потом удалить, чтоб сэкономить память.Прибавление константы.Храним модификатор в вершине, который говорит что ко всем узлам в подтерев нужно прибавить константу. ЕГо можно аналогично поддерживать при split и merge. Как прибавляем на суффиксе? Делаем split по вершине, прибавляем модификатор, делаем merge. Как только в вершине что-то поменялось связанное с детьми, то в ней сразу же пересчитывается все идентификаторы. Научились делать делать для путей. Обе операции за log(n) ===Деревья===Проблема в том, что дерево не путь и его нельзя так просто свести к структурам данных, в силу нелинейности индексов. Но можно дерево нарезать на пути. Рассмотрим корневое дерево, на котором хотим выполнять операции. Забудем про (link), (cut). Только первые 2 операции.Существует подход, который позволяет сделать за log(n)^2. Heavy-Light Decomposition. Рассмотрим дерево, каждое ребро объявим легким и тяжелым по следующему критерию:Пусть есть дерево, у него есть размер - количество вершин в поддереве. Среди всех поддеревьев дерева выберем самое большое по размеру и ребро из него объявим тяжелым. Если одинаковые - любое выберем. В каждую вершину кроме листа будет входить ровно одно тяжелое ребро из самого большого поддерева. Тогда несложно заметить. Лемма. На пути от любой вершины до корня не больше log(N) легких ребер. Потому что каждый раз когда мы идем по легкому ребру, размер поддерева той вершины, в которой мы находимся, размер поддерева увеличивается хотя бы в два раза. Потому что если увеличился меньше, чем в два раза, значит здесь было больше половины потомков следующей вершины, значит это ребро было тяжелым. Значит легких ребер мало, а тяжелых много. Тяжелые ребра образуют разбиение дерева на пути. Чтобы решить наши задачи делаем так:# Начинаем в какой-то вершине, берем тот путь к которому она принадлежит (Тот фрагмент от вершины до конца тяжелого пути)# Делаем шаг по легкому пути# Берем снова часть тяжелого пути# и т.д, пока не дойдем до корня. Тогда запрос на суффиксе пути будет за log(N). Каждый раз, когда меняем путь - проходим по легкому пути. Т.к по лемме их не больше log(N), то суммарное время запроса log(n)^2. Если добавить link, cut, то тяжело поддерживать, какое ребро легкое какое тяжелое. Жд этого нужно аккуратно следить за деревьями. Потому что при подвешивании дерева, абсолютно любое ребро на пути от вершины до корня может стать легким или тяжелым. Это неудобно. Применим метод как в TANGO-деревьях. Когда есть запрос для какого-то пути, мы сначала перестроим пути так, чтоб путь от вершины до корня был полностью из жирных (solid) ребер.    =Алгоритм Голдберга-Таряна='''Алгоритм Голдберга-Тарьяна''' (англ . ''Goldberg-Tarjan'') {{- --}} алгоритм, решающий задачу нахождения максимального потока в транспортной сети за <tex>O(VE \log(VEV))</tex>.Можно считать модификацией алгоритма Диница.==Алгоритм=====Идея===Вспомним [[Схема алгоритма Диница|Алгоритм алгоритм Диница]]. Пусть есть сеть <tex>G^0_f </tex> {{---}} некоторый ориентированный ациклический граф, <tex>S</tex>, <tex>T </tex> {{---}} исток и сток соответственно. Схема Алгоритма алгоритма Диница :# При помощи [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]] находим путь из <tex>S </tex> в <tex>T</tex>.

Попытаемся ускорить процесс поиска пути из <tex>S </tex> в <tex>T</tex>. Для этого, для каждой вершины зафиксируем какое-либо, не более, чем одно, исходящее из нее ребро. Граф ацикличен, значит зафиксированные ребра будут образовывать лес корневых деревьев. Корнем каждого дерева будет вершина, у которой нет зафиксированного ребра.

# Вычислить минимум на пути от вершины до корня(1).# Прибавить константу к числам на пути от вершины до корня(2).# Отрезать поддерево по ребру. Отрезанное поддерево отделяется и существует независимо от исходного дерева(3).# Подвесить дерево. Пусть есть дерево с корнем А<tex>A</tex>, дерево с вершиной В<tex>B</tex>. Операция позволяет Создать ребро из <tex>A </tex> в <tex>B </tex> и тем самым подвесить дерево к вершине(4). Заметим, что именно эти операции поддерживает [[Link-Cut Tree|Link-Cut tree]] и умеет их выполнять за <tex>O(\log(N))</tex>.

Заметим, что именно эти операции поддерживает Linking-Cutting Tree и умеет их выполнять за ===Поиск пути===Научимся находить путь из <tex>S</tex> в <tex>O(\log(N))T</tex>в описанной выше сети при помощи леса корневых деревьев. Будем отдельно хранить дерево с потоками и дерево с пропускными способностями.

Пусть есть лес корневых деревьев, требуется найти путь ===Улучшение пути===Путь из вершины <tex>S </tex> в вершину <tex>T</tex> найден, теперь научимся улучшать путь.Нужно обновить значения пропускных способностей и потоков через вершины этого пути. Тогда:Будем отдельно хранить дерево * При помощи <tex>(1)</tex> запроса можно найти узкое место (ребро с потоками минимальной остаточной пропускной способностью) на этом пути и дерево с пропускными способностямиего пропускную способность.* При помощи <tex>(2)</tex> запроса можно вычесть из всех ребер на этом пути пропускную способность узкого места, а также, прибавить ее к потоку.

Пусть U - корень деревапосле <tex>(2)</tex> запроса появилось нулевое ребро. Запрос минимума от <tex>S</tex> до корня будет возвращать <tex>0</tex>. Поэтому, такие ребра нужно отрезать, выполнив <tex>(4)</tex> запрос по этому ребру. Стоит заметить, что нулевых ребер может получиться несколько, в котором лежит Sслучае нескольких минимумов.

Предположим, что S, T лежат Объединим вышесказанное в разных деревьяхалгоритм Голдберга-Тарьяна. Просмотрим все ненасыщенные исходящие ребраПусть дана сеть. Будем рассматривать их также, как и Требуется в Алгоритме Диницаэтой сети найти поток <tex>f(S, с глобальным итератором. Т.е начинать просмотр будем с последнего подошедшего ребра. Если ребро не подошло - больше его не рассматриваемT) </tex> максимальной величины.

Пусть просматриваем какое-то ненасыщенное ребро* Начало.* '''Шаг 1'''. Для каждого ребра <tex>(u, v)</tex> данной сети <tex>G</tex> зададим <tex>f(u, ведущее v) = 0</tex>.* '''Шаг 2'''. Если есть путь из <tex>S</tex> в некоторую вершину V<tex>T</tex> {{---}} переходим к '''шагу 3'''.* '''Шаг 3'''. Подвесим корень U через это ребро к вершине V Выполняем <tex>(Операция 31)</tex> запрос, узкое место и пропускную способность. В U записываем числоЕсли пропускная способность положительна, равное остаточной переходим к '''шагу 4''', иначе к '''шагу 5'''.* '''Шаг 4'''. ''Улучшение пути''. Обновляем значения потока и пропускной способности при помощи <tex>(2)</tex> запроса.* '''Шаг 5'''. ''Удаление нулевых ребер''. Обрезаем нулевые ребрапри помощи <tex>(3)</tex> запроса. Переходим к '''шагу 2'''.* Конец.

Будем повторять==Время работы==[[Link-Cut Tree|Link-Cut tree]] выполняет все вышеописанные запросы за <tex>O(\log(N))</tex>, пока S и T не окажутся в одном деревеоценим время работы алгоритма.

==Улучшение пути==Путь из S в T найденОчевидно, что просмотров ребер суммарно <tex>O(E)</tex>, теперь научимся улучшать путь. Нужно обновить значения пропускных способностей как и потоков через вершины этого путив алгоритме Диница. ТогдаПереход к следующему ребру происходит в следующих случаях:# При помощи (1) запроса можно найти узкое место на этом пути и его пропускную способностьПросматриваемое ребро насыщено.# Дерево разрезается по нулевому ребру.# При помощи (2) запроса можно вычесть из всех ребер на этом пути пропускную способность узкого места, а также, прибавить ее к потокуРебро не лежит в сети кратчайших путей.

Пусть после На каждый просмотр тратится не <tex>O(21) запроса появилось нулевое </tex> а <tex>O(\log(V))</tex>, потому что перед тем, как посмотреть на следующее реброделается запрос. Запрос минимума от S до корня будет возвращать 0. Поэтому, такие ребра нужно отрезать, выполнив Значит время работы этой части {{---}} <tex>O(E \log(4V) запрос по этому ребру)</tex>.

Объединим вышесказанное Тогда имеем ассимптотику <tex>O(E\log(V) + V \log(V)) = O((V + E) \log(V))</tex>. И, суммарно, если подставить в Алгоритм Голдберга-Тарянаалгоритм Диница будем иметь ассимптотику <tex>O(VE \log(V)) </tex>.

==Время работыСм. также ==Linking* [[Алгоритм Форда-Cutting Tree выполняет все вышеописанные запросы за O(log(N))Фалкерсона, оценим время работы алгоритма.реализация с помощью поиска в глубину|Алгоритм Форда-Фалкерсона, реализация с помощью поиска в глубину]]* [[Алоритм Эдмондса-Карпа|Алоритм Эдмондса-Карпа]]* [[Алгоритм масштабирования потока|Алгоритм масштабирования потока]]* [[Метод проталкивания предпотока|Метод проталкивания предпотока]]

Просмотров ребра суммарно О(Е), аналогично алгоритму Диница== Источники информации ==*[https://www. Переход к следующему, когда смотрим на ребро и оно насыщено, когда ребро разрезаем, когда смотрим на ребро и оно не лежит в сети кратчайших путейlektorium.На каждый просмотр тратится не О(1) а О(log), потому что делаем запрос перед тем как посмотреть на следующее реброtv/lecture/14408 Lektorium {{---}} Лекция А. Значит O(E log(V))С.Станкевича]