1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
{{Утверждение
|statement=Подгруппа <tex>H</tex> группы <tex>G</tex> нормальна тогда и только тогда, когда для любых <tex>x \in G</tex> выполнено <tex>xHx^{-1}=H</tex>.
|proof=<tex>xHx^{-1} \subset H</tex> по определению <tex>H</tex> (это разве правда? 0_о). Подставив в предыдущее выражение <tex>x^{-1}</tex> вместо <tex>x</tex>, видим, что <tex>x^{-1}Hx \subset H</tex>. Следовательно, <tex>H = x(x^{-1}Hx)x^{-1} \subset xHx^{-1}</tex>.
Итого, <tex>xHx^{-1}=H</tex>. В другую сторону — прямо из определения.
=== Примеры ===
* Подгруппа <tex>H =\{(1)</tex>, <tex>(2</tex> <tex>3)\}</tex> группы <tex>S_3</tex> [[Симметрическая группа|группы перестановок]] множества из трех элементов не является абелевойнормальной.
[[Категория: Теория групп]]
