Изменения

{{Лемма|statement =Если <tex>\Sigma_i = Теорема о коллапсе полиномиальной иерархии при совпадении \Sigma_{i+1}</tex>, то <mathtex>\Sigma_iPi_i = \Pi_{i+1}</mathtex> и .|proof = <mathtex>L \in \Pi_{i+1} \Leftrightarrow \overline{L} \in \Sigma_{i+1}\Leftrightarrow \overline{L} \in \Sigma_i \Leftrightarrow L \in \Pi_i</mathtex> ==.}}

|statement = Если существует <tex>i \colon \Sigma_i = \Sigma_{i+1}</tex>, то <tex>\Sigma_i = \mathrm{PH}</tex>.|proof = Из Для доказательства теоремы достаточно показать, что если такое <tex>i</tex> существует, то <tex>\forall j > i</tex> верно, что <tex>\Sigma_i = \Sigma_j</tex>.<br/>Докажем по индукции.<br/>'''База'''. <tex>\Sigma_i = \Sigma_{i+1}</tex> очевидным образом следует из условия.<br/>'''Индукционный переход'''. Докажем, что если <tex>\Sigma_n = \Sigma_{n+1}</tex>, то <tex>\Sigma_{n+1} = \Sigma_{n+2}</tex>.<br/>Рассмотрим язык <tex>L \in \Sigma_{n+2}</tex>. <tex>L = \{x \bigm| \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{n+2} R_L^{n+2}(x, y_1 \ldots y_{n+2})\}</tex>. Обозначим <tex>\forall y_2 \ldots Q y_{n+2} R_L^{n+2}(x, y_1 \ldots y_{n+2}) = f(x, y_1)</tex>.Тогда получим язык <tex>L_f = \{\langle x, y_1\rangle \Pi_i bigm| f(x, y_1) = 1\}</tex>.<br/>Заметим, что <tex>L_f \in \Pi_{in+1}</tex> и из вышедоказанной леммы следует, что <tex>L_f \in \Pi_n</tex>.<br/>Из определения сложностного класса <tex>\Pi_n</tex> получаем, что <tex>\exists R_{L_f}^{n} \colon \langle x, y_1 \rangle \in L_f \Leftrightarrow \forall y_2 \exists y_3 \ldots Q y_{n+1} R_{L_f}^{n}(\langle x, y_1\rangle, y_2 \ldots y_{n+1})</tex>. Следовательно, <tex>x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{n+1} R_L^{n+1}(x, y_1, y_2 \ldots y_{n+1})</tex>. <tex>R_L^{n+1}(x, y_1, y_2 \ldots y_{n+1})</tex> '''return''' <tex>R_{L_f}^n(\langle x, y_1\rangle, y_2 \ldots y_{n+1})</tex>То есть язык <tex>L \in \Sigma_{n+1}</tex>.}}

Докажем== Теорема о коллапсе полиномиальной иерархии при совпадении <tex>\Sigma_i</tex> и <tex>\Pi_i</tex> =={{Теорема|statement = Если существует <tex>i > 0\colon \Sigma_i = \Pi_i</tex>, что если то <tex>\Sigma_n Sigma_i = \Sigma_mathrm{n+1PH}</tex>.|proof = Для доказательства покажем, то что <tex>\Sigma_n Sigma_i = \Sigma_{ni+21}</tex>, и воспользуемся предыдущей теоремой.

Рассмотрим язык <tex>L \in \Sigma_{ni+21}</tex>.<br>Если <tex>L =\{x \in L </tex>, значит, <tex>bigm| \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{ni+1} R_L^{i+21} R(x, y_1 \ldots y_{ni+21})\}</tex>. Обозначим часть формулы (исключая <tex>\exists y_1</tex>) <tex>\forall y_2 \exists y_3 \ldots Q y_{ni+21} R_L^{i+1} R(x, y_1 \ldots y_{ni+21}) = f(x, y_1)</tex>. Тогда формула преобразуется в <tex>\exists y_1 f(x, y_1)Получим язык </tex>.<br>Тогда получим <tex>x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \colon \langle x, y_1\rangle \in L_f = \{\langle x, y_1\rangle \colon bigm| f(x, y_1) = 1\}</tex>. Значит, <tex>L_f \in \Pi_{n+1}</tex>.<br>Тогда раз <tex>L_f \Sigma_i = in \Sigma_{i+1}Pi_i</tex>, то и из условия теоремы <tex>L_f \Pi_i = in \Pi_{i+1}Sigma_i</tex>, то <tex>L_f \in \Pi_n.<br/tex> По определению сложностного класса <tex>\Sigma_i \; \exists R_1 R_{L_f}^i \colon \langle x, y_1 \rangle \in L_f \Leftrightarrow \forall exists y_2 \exists forall y_3 \ldots Q y_{ni+1} R_1R_{L_f}^i(\overline{langle x, y_1}\rangle, y_2 \ldots y_{ni+1})</tex>, где переменные <tex>x</tex> и <tex>y_1</tex> представляют собой одну переменную. Получается, что Тогда <tex>x \in L \Leftrightarrow \exists \langle y_1 , y_2 \rangle \forall y_2 y_3 \ldots Q y_{ni+1} R_1R_L^i(\overline{x, \langle y_1}, y_2 \rangle \ldots y_{ni+1})</tex>, откуда следует . <br/> <tex>L R_L^i(x, \langle y_1, y_2\in rangle, y_3 \Sigma_ldots, y_{ni+21} )</tex> '''return''' <tex>R_{L_f}^i(\Rightarrow L langle x, y_1\in rangle, y_2, y_3 \Sigma_ldots y_{ni+1})</tex>Значит, что и требовалось доказать<tex>L \in \Sigma_i</tex>.

== Теорема о коллапсе полиномиальной иерархии при совпадении <math>\Sigma_i</math> и <math>\Pi_i</math> Литература == === Утверждение теоремы ===Если <tex>\Sigma_i = \Pi_i</tex>* S.Arora, то <tex>\Sigma_i = PH</tex>B.Barak. === Доказательство ===Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремыThe polynomial hierarchy and alternations. Мы снова будем удалять квантор из формулы и получим, что если можно удалить один кванторCambridge University, то можно удалить их всеJanuary 2007. Докажем, что <tex>\Sigma_{i+1} = \Sigma_i<[http:/tex>. <tex>x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{i+1} R(x, y_1 \ldots y_{i+1})</tex>www.<br>Обозначим через <tex>g(x, y_1)</tex> часть этой формулы без первого квантора, то есть <tex>g(x, y_1) = \forall y_2 \exists y_3 \ldots Q y_{i+1} R(x, y_1 \ldots y_{i+1})</tex>cs. Рассмотрим язык <tex>L_g = \{ \langle x, y_1 \rangle | g(x, y_1) = 1\}</tex>princeton.<br>Получим <tex>L_g \in \Pi_i = \Sigma_i<edu/tex>. <tex>\exists R_2 \langle x, y_1 \rangle \in L_g \Leftrightarrow \exists y_2 \forall y_3 \ldots Q y_{i+1} R_2(x, y_1, y_2 \ldots y_{i+1})<theory/tex>. <tex>x \in L \Leftrightarrow \exists \langle y_1, y_2 \rangle \forall y_3 \ldots Q y_{i+1} R_2(x, \overline{y_1, y_2} \ldots y_{i+1})<complexity/tex>phchap.pdf]