Изменения

{{Лемма| statement =<tex>\mathrm{BPP} =Формулировка\mathrm{coBPP}</tex>| proof =Рассмотрим <tex>L \in \mathrm{BPP}</tex>. Существует такая программа <tex>p</tex>, что <tex>P(p(x) =[x \in L]) \geqslant \frac{2}{3}</tex>. Покажем, что <tex>\overline{L} \in \mathrm{BPP}</tex>. Для этого рассмотрим следующую программу: <tex>p'''Теорема Лаутемана''(x):</tex> <tex>return (1 - p(x));</tex><tex>P(p' (Sipser–Lautemann theorem или Sipser–Gács–Lautemann theoremx) утверждает, что класс = [x \in \overline{L}]) = P(p(x) = [Класс x \in L]) \geqslant \frac{2}{3}</tex>. Таким образом <tex>\overline{L} \in \mathrm{BPP | }</tex>.#<tex>L \in \mathrm{BPP} \Rightarrow \overline{L} \in \mathrm{BPP} \Rightarrow L = \overline{\overline{L}} \in \mathrm{coBPP}</tex>. Получаем <tex>\mathrm{BPP]] содержится в классах [[Классы Sigma_i и Pi_i|} \subset \mathrm{coBPP}</tex>.#<mathtex>L \Sigma_2in \mathrm{coBPP} \Rightarrow \overline{L} \in \mathrm{BPP} \Rightarrow L = \overline{\overline{L}} \in \mathrm{BPP}</mathtex> и . Получаем <mathtex>\Pi_2mathrm{coBPP} \subset \mathrm{BPP}</mathtex>]] [[Полиномиальная иерархия | полиномиальной иерархии]].}}

==ДоказательствоТеорема=={{ Теорема| about = Лаутеман| statement = <tex>\mathrm{BPP} \subset \mathrm{\Sigma_2} \cap \mathrm{\Pi_2}</tex>| proof =

Из того, что класс <tex>\mathrm{BPP}</tex> замкнут относительно дополнения и <tex>\mathrm{co}\Sigma_2 } = \mathrm{\Pi_2}</tex> , следует, что достаточно доказать включение <tex>\mathrm{BPP} \subset \mathrm{\Sigma_2}</tex>.

<tex>\mathrm{BPP}</tex> можно определить, как множество таких языков <tex>L</tex>, что <tex>x \in L \Leftrightarrow \exists</tex> тогда и только тогда, когда существует «много» таких вероятностных лент <tex>y: R</tex>, что <tex>M(x,y)</tex>, где <tex>M</tex> — [[Вероятностные вычисления. Вероятностная машина Тьюринга | вероятностная машина Тьюринга]] для <tex>L</tex>. <tex>\mathrm{\Sigma_2}</tex> определяется, как — множество таких языков <tex>\{ L \mid </tex>, что <tex>x \in L \Leftrightarrow \exists </tex> тогда и только тогда, когда существует такой <tex>y \forall </tex>, что для любого <tex>z </tex> <tex>R(x, y, z)\}</tex>. Таким образом, необходимо уметь записывать «много» «существует много» с помощью квантора кванторов <tex>\exists</tex>, <tex>\forall</tex>.

Рассмотрим язык <tex>G</tex> — всех слов длины <tex>m</tex> над алфавитом <tex>= \{0, 1\}^t</tex>, для некоторого <tex>mt</tex>, значение которого будет получено позже. Определим операцию <tex>\oplus</tex> над славами словами из этого языка, как побитовое исключающее или.

Назовем <tex>X</tex>, содержащееся в <tex>G</tex> большим, если существует набор <tex>g_1, g_2, \dots g_kk</tex> (значение -большим, если существует такой набор <tex>\{g_i\}_{i=1}^{k} \subset G</tex> тоже будет получено позже) такой, что <tex>\bigcup_bigcup\limits_{i=1}^{k} g_i \oplus X = GU</tex>. Иначе будем называть <tex>X</tex> — <tex>k</tex>-маленьким.

Если <tex>k|X| < |G|\frac{2^t}{k}</tex>, то <tex>X</tex> точное является <tex>k</tex>-маленьким (так как <tex>k</tex> копий <tex>X</tex> не является большимсмогут покрыть <tex>G</tex>). Найдем достаточное условие, при котором <tex>X</tex> большойявляется <tex>k</tex>-большим.

Выберем случауно Воспользуемся утверждением, что если вероятность <tex>P(x \in A) > 0</tex>, то существует <tex>x</tex> из <tex>A</tex>. Для этого выберем случайно набор <tex>\{g_i\}_{i=1}^{k} \subset G</tex>.

Для некотрого <tex>y \in G</tex>:* <tex>P(y \in bigcup\limits_{i=1}^{k} g_i \oplus X\not = G) = P(\exists y \oplus not \in \bigcup\limits_{i=1}^{k} g_i \in oplus X) = P(\fracbigvee\limits_{|X|i=1}^{|G|2^t}</tex>,* <tex>P(y y_i \not \in g_i \oplus X) bigcup\limits_{j= 1 - \frac{|X|}^{|G|k}g_j \oplus X)</tex>* <tex>\leqslant 2^t P(y \not \in \bigwedge_bigcup\limits_{i=1}^{k} y \not \in g_i \oplus X) = \left(1 - \frac{|X|}{|G|}\right)2^k</tex>* <tex>t P(\exists y bigwedge\in G \bigwedge_limits_{i=1}^{k} y \oplus g_i \not \in g_i X) = 2^t \left(P(y \not \oplus in X) \right)^k = |G|2^t \left(1 - \frac{|X|}{|G|2^t}\right)^k</tex>.

Если <tex>|G|2^t\left(1 - \frac{|X|}{|G|2^t}\right)^k < 1</tex>, то существует такой набор <tex>\{g_i\}_{i=1}^{k} \subset G</tex>, что для любого <tex>y</tex> <tex>\bigwedge_bigcup\limits_{i=1}^{k} y \not \in g_i \oplus X= G</tex>, а из этого следует, что то есть <tex>X</tex> большой— <tex>k</tex>-большое.

Рассмотрим язык <tex>L \in \mathrm{BPP}</tex>. Тогда существует вероятностная машина Тьюринга <tex>m</tex>, такая что <tex>P(m(x) = [x \in L]) \geqslant \frac{2}{3}</tex>. Пусть <tex>m</tex> использует <tex>r(n)</tex> бит случайной ленты. По аналогии c [[Классы BPP и PP|доказательством]] <tex>\mathrm{BPP} = \mathrm{BPP_{strong}}</tex>, построим машину <tex>M</tex>, которая запускает <tex>m</tex> достаточное число раз, чтобы получить вероятность ошибки <tex>\frac{1}{2^{p(n)}}</tex>, где <tex>p(n)</tex> это некоторый полином, который будет определён позднее. Будет достаточно <tex>c p(n)^2</tex> запусков. Соответственно, <tex>M</tex> использует <tex>t(n) = c r(n) p(n)^2</tex> бит случайной ленты, <tex>P(M(x) = [x \in L]) \geqslant 1 - \frac{1}{2^{p(n)}}</tex>.

Зафиксируем <tex>X_x x</tex>. Возьмем <tex>G = \{y 0, 1\mid }^{t(n)}</tex>. Рассмотрим множество <tex>A_x = \{r \in G \bigm| M(x,yr) = 1\}</tex>. Подберем теперь <tex>p(n)</tex> и <tex>k</tex> так, чтобы <tex>x \in L \Leftrightarrow A_x</tex> — <tex>k</tex>-большое.

Если <tex>x \in L \Rightarrow </tex>, то <tex>P(M(x) = 1) = \frac{|X_xA_x|}{2^{t(n)}} \geqslant 1 - \frac{1}{2^{p(n)}} \Rightarrow |GA_x|\geqslant 2^{t(n)} \left( 1 - \frac{1}{2^{p(n)}} \right)</tex>. Значит <tex>2^{t(n)} \geqslant left( 1 - \varepsilonfrac{|A_x|}{2^{t(n)}} \right)^k \leqslant 2^{t(n) - kp(n)}</tex>. Чтобы в этом случае <tex>A_x</tex> было бы <tex>k</tex>-большим потребуем <tex>2^{t(n) - kp(n)} < 1</tex>.

Если <tex>x \not \in L </tex>, то <tex>P(M(x) = 1) = \frac{|A_x|}{2^{t(n)}} \Rightarrow leqslant \frac{1}{2^{p(n)}} \Rightarrow |X_xA_x|\leqslant 2^{t(n) - p(n)}</tex>. Чтобы в этом случае <tex>A_x</tex> было бы <tex>k</tex>-маленьким потребуем <tex>2^{|t(n) - p(n)} < \frac{2^{t(n)}}{k}</tex>. Выберем <tex>p(n)</tex> так, чтобы <tex>\frac{t(n)}{p(n)} < 2^{p(n)}</tex> (то есть <tex>c r(n) p(n) < 2^{p(n)}</tex>) и <tex>k = \lceil \frac{t(n)}{p(n)} \rceil + 1 = c r(n) p(n) + 1</tex>. Получаем <tex>\frac{t(n)}{p(n)} < k < 2^{p(n)}</tex>, то есть <tex>x \in L \Leftrightarrow A_x</tex> — <tex>k</tex>-большое. Таким образом, <tex>x \in L \Leftrightarrow \exists \{g_i\}_{i=1}^{k} \subset G</tex> : <tex>\forall y \in G|</tex> <tex>\left( \bigvee\limits_{i=1}^{k} y \in g_i \oplus A_x \right) </tex>. Заметив, что <tex>y \in g_i \oplus A_x \Leftrightarrow y \oplus g_i \in A_x \Leftrightarrow M(x, y \oplus g_i)</tex>, получаем <tex>L \in \Sigma_2</tex>, <tex>\mathrm{BPP} \subset \mathrm{\Sigma_2}</tex> и <tex>\mathrm{BPP} \subset \mathrm{\Sigma_2} \leqslant cap \mathrm{\varepsilonPi_2}</tex>.}} == См. также ==*[[Вероятностные вычисления. Вероятностная машина Тьюринга]]*[[Классы PH, Σ и Π]]*[[Классы BPPweak и BPPstrong]] == Литература ==* ''Sanjeev Arora, Boaz Barak''. [http://www.cs.princeton.edu/theory/complexity Computational Complexity: A Modern Approach]  [[Категория: Теория сложности]]