Изменения

Следующие утверждения для <tex>2 \Rightarrow 3:</tex> Пусть в графе содержится цикл длины <tex>k \neq 3</tex>. Это не может быть цикл длины <tex>2</tex> (противоречит определению турнира ). Обозначим его вершины в порядке обхода <tex>v_1, v_2, \ldots, v_k, k \geqslant 4</tex>. Заметим, что т.к. нет циклов длины <tex>3</tex>, выполнена транзитивность (в противном случае существовали бы ребра <tex>(u, v), (v, w), (w, u)</tex>T). Докажем по индукции, что существует ребро <tex>(v_1, v_{k - 1}).</tex> с  '''База индукции''' <tex>nk = 3</tex> вершинами эквивалентны:<tex>(v_1, v_2) , (v_2, v_3) \in E \Rightarrow (v_1, v_3) \in E </tex> (по транзитивности).  *'''Переход индукции''' Пусть доказано для всех <tex>i < k - 1</tex>, что <tex>T(v_1, v_i) \in E</tex>, также известно, что <tex>(v_i, v_{i+1}) \in E</tex> транзитивен,тогда по транзитивности <tex>(v_1, v_{i+1}) \in E</tex>.*Таким образом, в транзитивном турнире содержится цикл длины <tex>3</tex> — противоречие (см. предыдущий пункт). <tex>3 \Rightarrow 4: </tex> Обозначим множество значений степеней исхода как <tex>Deg^{+}(T)</tex> ацикличен. Докажем индукцией по <tex>n</tex>. '''База индукции''' <tex>n = 1</tex>: верно,т.к. есть одна вершина степени <tex>0</tex> *'''Переход индукции''' Пусть доказано для <tex>n - 1</tex>T. В ациклическом графе существует сток <tex>t, deg^{+}t = 0</tex> не содержит циклов длины . Рассмотрим граф <tex>3T-t</tex>. <tex>Deg^{+}(T - t) = \{0,* множества1, \ldots, составленные n - 2\}</tex> . Т.к. из каждой <tex>v \in V \setminus \{t\}</tex> ведет одно ребро в <tex>t</tex>, <tex> Deg^{+}(T)=\{deg^{+}t\} \cup \{x + 1 \mid x \in Deg^{+}(T -t)\} = \{0, 1, \ldots, n -1\}</tex> или . Для степеней захода можно доказать аналогично, рассмотрев исток вместо стока. <tex>4 \Rightarrow 5: </tex> По [[Теорема Редеи-Камиона|теореме Редеи-Камиона]], в любом турнире есть гамильтонов путь, докажем индукцией по <tex>n</tex>, что этот путь единственный. '''База индукции''' <tex>n = 1</tex>: верно, путь из одной вершины. '''Переход индукции''' Рассмотрим вершину <tex>s: deg^{+-}(s) = 0</tex> для каждой вершины . Она будет первой в гамильтоновом пути (иначе мы в нее не зайдем). Рассмотрим граф <tex>T- s</tex>. Т.к. <tex>s</tex> была соединена со всеми его вершинами, есть их степени меньше на <tex>1</tex> соответствующих степеней в исходном турнире, значит <tex>Deg^{-}(T-s)=\{ 0, 1, \ldots, n - 2\}</tex>, следовательно в <tex>T-s</tex> существует единственный гамильтонов путь <tex>v_1, v_2,\ldots v_{n -1}</tex> (по предположению).Пусть существуют <tex>2</tex> гамильтонова пути, начинающиеся на <tex>s</tex>, но тогда существуют 2 пути в <tex>T-s</tex> {{---}} противоречие. <tex>5 \Rightarrow 1: </tex> Пусть <tex>P=v_1, v_2, \ldots, v_n</tex> — единственный гамильтонов путь.Пусть найдется <tex>m</tex> — наименьший индекс такой, что в вершину <tex>v_m</tex> идет ребро из вершины с большим индексом, а <tex>v_k</tex> — вершина с наибольшим индексом, из которой ребро ведет в <tex>v_m</tex>. Возможно несколько случаев:# <tex> m \neq 1, k \neq n : </tex> Из <tex>v_{m - 1\} </tex>ведет ребро в <tex>v_{m+1}</tex> (по минимальности <tex>m</tex>),*а из <tex>v_m</tex> ведет ребро в <tex>v_{k +1}</tex> (по максимальности <tex>Tk</tex> содержит ровно ). Тогда будет существовать еще один гамильтонов путь<tex>P_1 = v_1, \ldots, v_{m-1}, v_{m+1}, \ldots, v_{k}, v_m, v_{k+1}, \ldots, v_n</tex>.# <tex> m \neq 1, k = n: </tex> <tex>P_1 = v_1, \ldots, v_{m-1}, v_{m+1}, \ldots, v_{n}, v_m</tex>.# <tex> m = 1, k \neq n:</tex> <tex>P_1 = v_2, \ldots, v_{k}, v_1, v_{k+1}</tex>#<tex> m = 1, k = n:</tex> <tex>P_1 = v_2, \ldots, v_n, v_1</tex>'''Замечание''' Может достигаться равенство <tex>m + 1 = n</tex>, в этом случае нужно исключить из пути <tex>2</tex> последовательных вхождения <tex>v_n</tex>. Во всех случаях получаем противоречие с единственностью гамильтонова пути, значит не существует такого <tex>m</tex>, т.е <tex>(v_i, v_j) \in E \Leftrightarrow i < j</tex>. Значит <tex>\forall i, j, k: 1 \leqslant i, j, k \leqslant n</tex> <tex> (v_i, v_j) \in E \land (v_j, v_k) \in E \Rightarrow i < j \land j < k \Rightarrow (v_i, v_k) \in E </tex>.}}

{{Утверждение|statement = Конденсация любого турнира является транзитивным турниром. |proof = Рассмотрим <tex>2</tex> компоненты сильной связности <tex>U, V</tex>, найдутся <tex>u \in U, v \in V: (u, v) \in E</tex>, либо <tex>(v, u) \in E </tex>, значит в конденсации есть либо ребро <tex>(U,V)</tex>, либо <tex>(V,U)</tex>. Т.к. мы рассмотрели произвольную пару вершин конденсации турнира, она является турниром. Конденсация любого орграфа ациклична, а по доказанной [[#theorem1|теореме]], это означает, что она транзитивна. }}Таким образом, даже если турнир не является транзитивным, сильно связанные компоненты турнира могут быть полностью [[Отношение порядка|вполне упорядочены]]. В самом деле, по [[#theorem1|теореме]], в турнире существует гамильтонов путь, значит вершины могут быть упорядоченыпо своим позициям в этом пути.