Изменения

Пусть <tex>T=\langle V, E\rangle</tex> — турнир, <tex>\vert | V \vert | = n</tex>. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

<tex>1 \Rightarrow 2:</tex> Пусть существует цикл длины <tex>3: (u, v), (v, w), (w, u). </tex> Однако по транзитивности должно существовать ребро <tex>(u, w)</tex>, т.е. между <tex>u, w</tex> есть <tex>2</tex> противонаправенных противоположно направленных ребра, что невозможно по определению турнира.

<tex>3 \Rightarrow 4: </tex> Обозначим множество значений степеней исхода как <tex>Deg^{+}(T)</tex>. Докажем индукцией по <tex>n</tex>.

'''Переход индукции''' Пусть доказано для <tex>n - 1</tex>. В ациклическом графе существует сток <tex>t, deg^{+}(t) = 0</tex>. Рассмотрим граф <tex>T-t</tex>. <tex>Deg^{+}(T - t) = \{0, 1, \ldots, n - 2\}</tex> . Т.к. из каждой <tex>v \in V \setminus \{t\}</tex> ведет одно ребро в <tex>t</tex>, <tex> Deg^{+}(T)=\{deg^{+}(t)\} \cup \{x + 1 \mid x \in Deg^{+}(T -t)\} = \{0, 1, \ldots, n - 1\}</tex>, что и требовалось. Для степеней захода можно доказать аналогично, рассмотрев исток вместо стока.

<tex>4 \Rightarrow 5: </tex> По [[Теорема Редеи-Камиона|теореме Редеи-Камиона]], в любом турнире есть гамильтонов путь, докажем единственность индукцией по <tex>n</tex>, что этот путь единственный.

'''Переход индукции''' Рассмотрим вершину <tex>s: deg^{-}(s) = 0</tex>. Она будет первой в гамильтоновом пути(иначе мы в нее не зайдем). Рассмотрим граф <tex>T - s</tex>. Т.к. <tex>s</tex> была соединена со всеми его вершинами, их степени меньше на <tex>1</tex> соответствующих степеней в нем исходном турнире, значит <tex>Deg^{-}(T-s)=\{0,1, \ldots, n - 2\}</tex>, следовательно в <tex>T-s</tex> существует единственный гамильтонов путь <tex>v_1, v_2, \ldots v_{n -1}</tex> (по предположению). Пусть существуют <tex>2</tex> гамильтонова пути, значит и начинающиеся на <tex>s</tex>, но тогда существуют 2 пути в <tex>T-s</tex> он будет единственным{{---}} противоречие.

<tex>5 \Rightarrow 1: </tex> Пусть <tex>P=\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}</tex> — единственный гамильтонов путь. Пусть найдется <tex>m</tex> — наименьший индекс такой, что в вершину <tex>v_m</tex> идет ребро из вершины с большим индексом, а <tex>v_k</tex> — вершина с наибольшим индексом, из которой ребро ведет в <tex>v_m</tex>. Возможно несколько случаев:# <tex> m \neq 1, k \neq n: </tex> Из <tex>v_{m -1}</tex> ведет ребро в <tex>v_{m+1}</tex> (по минимальности <tex>m</tex>), а из <tex>v_m</tex> ведет ребро в <tex>v_{k +1}</tex> (по максимальности <tex>k</tex>). Тогда будет существовать еще один гамильтонов путь <tex>P_1 = \{v_1, \ldots, v_{m-1}, v_{m+1}, \ldots, v_{k}, v_m, v_{k+1}, \ldots, v_n\}</tex>.# <tex> m \neq 1, k = n: </tex> <tex>P_1 = \{v_1, \ldots, v_{m-1}, v_{m+1}, \ldots, v_{n}, v_m\}</tex>.# <tex> m = 1, k \neq n:</tex> <tex>P_1 = \{v_2, \ldots, v_{k}, v_1, v_{k+1}\}</tex>#<tex> m = 1, k = n:</tex> <tex>P_1 = \{v_2, \ldots, v_n, v_1\}</tex>

Во всех случаях получаем противоречие с единственностью гамильтонова пути, значит не существует такого <tex>m</tex>, т.е <tex>(v_i, v_j) \in E \Leftrightarrow i < j</tex>. Значит <tex>\forall i, j, k: 1 \leqslant i, j, k \leqslant n, </tex> <tex> (v_i, v_j) \in E \land (v_j, v_k) \in E \Rightarrow i < j \land j < k \Rightarrow (v_i, v_k) \in E </tex>.

{{Утверждение|statement = Конденсация любого турнира является транзитивным турниром. |proof = Рассмотрим <tex>2</tex> компоненты сильной связности <tex>U, V</tex>, найдутся <tex>u \in U, v \in V: (u, v) \in E</tex>, либо <tex>(v, u) \in E </tex>, значит в конденсации есть либо ребро <tex>(U,V)</tex>, либо <tex>(V,U)</tex>. Т.к. мы рассмотрели произвольную пару вершин конденсации турнира, она является турниром. Конденсация любого орграфа ациклична, а по доказанной [[#theorem1|теореме]], это означает, что она транзитивна. }}Таким образом, даже если турнир не является транзитивным, сильно связанные компоненты турнира могут быть полностью [[Отношение порядка|вполне упорядочены]]. В самом деле, по [[#theorem1|теореме]], в турнире существует гамильтонов путь, значит вершины могут быть упорядоченыпо своим позициям в этом пути.