Изменения

== Основные Используемые определения == 

|definition = Правила вида <tex>A \to \varepsilon</tex> называются '''<tex>\varepsilon</tex>-правилами''' (англ. ''<tex>\varepsilon</tex>-rule'').

|definition = Назовем КС-грамматику Нетерминал <tex>G=(N,\Sigma, P, S)A</tex> грамматикой без называется '''<tex>\varepsilon</tex>-правил порождающим''' (или неукорачивающей), если либо<br/>:(1) <tex>P</tex> не содержит англ. ''<tex>\varepsilon</tex>-правилgenerating''), либо :(2) есть точно одно если <tex>A \varepsilon</tex>-правило <tex>S \to Rightarrow^* \varepsilon</tex> и <tex>S</tex> не встречается в правых частях остальных правил из <tex>P</tex>.

 == Алгоритм поиска &epsilon;-порождающих нетерминалов =='''Вход:''' КС-грамматика <tex> \Gamma=\langle N,\Sigma, P, S \rangle</tex>.<br/>'''Выход:''' множество <tex>\varepsilon</tex>-порождающих нетерминалов. # Найти все <tex>\varepsilon</tex>-правила. Составить множество, состоящее из нетерминалов, входящих в левые части таких правил.# Перебираем правила грамматики <tex>\Gamma</tex>. Если найдено правило <tex>A \rightarrow C_1C_2 \ldots C_k</tex>, для которого верно, что каждый <tex>C_i</tex> принадлежит множеству, то добавить <tex>A</tex> в множество.# Если на шаге 2 множество изменилось, то повторить шаг 2. === Доказательство корректности ==={{ОпределениеТеорема|definition statement = Нетерминал Описанный выше алгоритм находит все <tex>\varepsilon</tex>-порождающие нетерминалы грамматики <tex>\Gamma</tex>A.|proof = Для доказательства корректности алгоритма достаточно показать, что, если множество <tex>\varepsilon</tex>-порождающих нетерминалов на очередной итерации алгоритма не изменялось, то алгоритм нашел все <tex>\varepsilon</tex>-порождающие нетерминалы. Пусть после завершения алгоритма существуют нетерминалы такие, что они являются <tex>\varepsilon</tex>-порождающими, но не были найдены алгоритмом. Выберем из этих нетерминалов нетерминал <tex>B</tex>, из которого выводится <tex>\varepsilon</tex> за наименьшее число шагов. Тогда в грамматике есть правило <tex>B \rightarrow C_1C_2 \ldots C_k</tex>, где каждый нетерминал <tex>C_i</tex> {{---}} <tex>\varepsilon</tex>-порождающий. Каждый <tex>C_i</tex> называется входит в множество <tex>\varepsilon</tex>-порождающимпорождающих нетерминалов, если так как иначе вместо <tex>B</tex> необходимо было взять <tex>C_i</tex>. Следовательно, на одной из итераций алгоритма <tex>B</tex> уже добавился в множество <tex>A \Rightarrow^* varepsilon</tex>-порождающих нетерминалов. Противоречие. Следовательно, алгоритм находит все <tex>\varepsilon</tex>-порождающие нетерминалы.

== Алгоритм удаления &epsilon;-правил из грамматики =Модификация с очередью ==== Поиск &epsilonЗаведем несколько структур:*<tex>\mathtt{isEpsilon[nonterm_i]} \ </tex> {{---}} для каждого нетерминала будем хранить пометку, является он <tex>\varepsilon</tex>-порождающим или нет.*<tex>\mathtt{concernedRules[nonterm_i]} \ </tex> {{---}} для каждого нетерминала будем хранить список номеров тех правил, в правой части которых он встречается;*<tex>\mathtt{counter[rule_i]} \ </tex> {{-порождающих --}} для каждого правила будем хранить счетчик количества нетерминалов ===в правой части, которые еще не помечены <tex>\varepsilon</tex>-порождающими;:1) Если *<tex>A \rightarrow mathtt{Q} \ </tex> {{---}} очередь нетерминалов, помеченных <tex>\varepsilon</tex> — правило грамматики -порождающими, но еще не обработанных. Сначала проставим <tex>\mathtt{false}</tex> в <tex>\mathtt{isEpsilon} \ </tex> для всех нетерминалов, а в <tex>\mathtt{counter} \ </tex> для каждого правила запишем количество нетерминалов справа от него. Те правила, для которых <tex>G\mathtt{counter} \ </tex>сразу же оказался нулевым, то добавим в <tex>\mathtt{Q}</tex> и объявим истинным соответствующий <tex>A\mathtt{isEpsilon}</tex> —, так как это <tex>\varepsilon</tex>-порождающий правила. Теперь будем доставать из очереди по одному нетерминалу, смотреть на список <tex>\mathtt{concernedRules} \ </tex> для него и уменьшать <tex>\mathtt{counter}</tex> для всех правил оттуда. Если <tex>\mathtt{counter} \ </tex> какого-то правила в этот момент обнулился, то нетерминализ левой части этого правила помечается <tex>\varepsilon</tex>-порождающим, если еще не был помечен до этого, и добавляется в <tex>\mathtt{Q}</tex>.Продолжаем, пока очередь не станет пустой. === Время работы алгоритма ===:Базовый алгоритм работает за <tex>O(\left| \Gamma \right| ^ 2) Если </tex>B \rightarrow C_1C_2.В алгоритме с модификацией нетерминал попадает в очередь ровно один раз, соответственно ровно один раз мы пройдемся по списку правил, в правой части которых он лежит..C_kСуммарно получается <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex> — правило грамматики . === Пример ===Рассмотрим грамматику, причем сразу пронумеруем правила:#<tex>GS\rightarrow ABC</tex>, где каждый #<tex>C_iS\rightarrow DS </tex> — #<tex>A\rightarrow \varepsilon</tex>-порождающий нетерминал, то #<tex>B\rightarrow AC</tex> — #<tex>C\rightarrow \varepsilon</tex>-порождающий нетерминал#<tex>D\rightarrow d</tex> ''Поскольку правило 6 содержит справа терминалы, оно заведомо не будет влиять на ответ, поэтому мы не будем его учитывать.''

Пусть <tex>A \overset{*}underset{\underset{GGamma}{\Rightarrow}}^*w</tex>&nbsp; и&nbsp; <tex>w \ne \varepsilon</tex>.<br/> Докажем индукцией по длине порожденияв грамматике <tex>\Gamma</tex>, что <tex>A \overset{*}underset{\underset{GGamma'}{\Rightarrow}}^*w</tex>.<br/> Обозначим длину порождения за <tex>p</tex>.<br/>:'''БазисБаза'''. <tex>p = 1A \underset{\Gamma}{\Rightarrow} w</tex>.<br/>Правило <tex>A \rightarrow w</tex> является правилом присутствует в <tex>G\Gamma</tex>. Поскольку <tex>w \ne \varepsilon</tex>, эта это же правило будет и в <tex>G\Gamma'</tex>, поэтому <tex>A \overset{*}underset{\underset{GGamma'}{\Rightarrow}}^*w</tex>.<br/>:'''Предположениеиндукции'''. Пусть из <tex>[A \overset{*}underset{\underset{GGamma}{\Rightarrow}}^*w\ne \varepsilon</tex>&nbsp; и&nbsp; менее, чем за <tex>n</tex> шагов, следует, что <tex>w \ne \varepsilon] \Rightarrow [A \overset{*}underset{\underset{GGamma'}{\Rightarrow}}^*w (A \ne S')]</tex>&nbsp; верно для <tex>p < n</tex>.<br/>:'''Переход'''. <tex>p = n</tex><br/>Пусть в порождении <tex>n</tex> шагов, <tex>n > 1</tex>. Тогда оно имеет вид <tex>A\underset{G\Gamma}{\Rightarrow}Y_1 Y_2...\ldots Y_m\overset{*}underset{\underset{GGamma}{\Rightarrow}}^*w</tex>, где <tex>Y_i \in N \cup \Sigma </tex>. Цепочку <tex>w</tex> можно разбить на <tex>w_1 w_2...\ldots w_m</tex>, где <tex>Y_i \overset{*}underset{\underset{G'Gamma}{\Rightarrow}}^*w_i</tex>.<br/>Пусть <tex>X_1Y_{i_1}, X_2Y_{i_2}, ... X_k\ldots, Y_{i_p}</tex> будут теми — подпоследовательность, состоящая из всех элементов, таких, что <tex>Y_jw_{i_k} \ne \varepsilon</tex>(в порядке записи), для которых то есть <tex>w_i Y_{i_1} Y_{i_2} \ldots Y_{i_p} \underset{\ne Gamma}{\varepsilonRightarrow}^*w</tex>. <tex>k p \ge geqslant 1</tex>, поскольку <tex>w \ne \varepsilon</tex>.<br/> Таким образом Значит, <tex>A \rightarrow X_1 X_2 ... X_kY_{i_1} Y_{i_2} \ldots Y_{i_p}</tex> является правилом в <tex>G\Gamma'</tex> по построению <tex>G\Gamma'</tex>. Утверждаем, что <tex> X_1 X_2...X_k \overset{*}{\underset{G}{\Rightarrow}}w</tex>, поскольку только <tex>Y_j</tex>, которых нет среди <tex>X_1, X_2, ... X_k</tex>, использованы для порождения <tex>\varepsilon</tex> и не вносят ничего в порождение <tex>w<br/tex>.Так как каждое из порождений <tex>Y_j Y_i \overset{*}underset{\underset{GGamma}{\Rightarrow}}w_j^*w_i</tex> содержит менее <tex>n</tex> шагов, к ним можно применить предположение индукции и заключить, что , если <tex>w_j w_i \ne \varepsilon</tex>, то <tex>Y_j Y_i \overset{*}underset{\underset{GGamma'}{\Rightarrow}}w_j^*w_i</tex>.<br/>Таким образом , <tex>A \underset{G\Gamma'}{\rightarrowRightarrow} Y_{i_1} Y_{i_2} X_1 X_2 ... X_k \oversetldots Y_{*i_p}{\underset{G\Gamma'}{\Rightarrow}} ^* w</tex>. Подставив <tex>S</tex> вместо <tex>A</tex> в утверждение (*), видим, что <tex>w \in L(\Gamma)</tex> для <tex>w \ne \varepsilon</tex> тогда и только тогда, когда <tex>w \in L(\Gamma')<br/tex>Ч.т.дТак как после выполнения шага 5 алгоритма в <tex>\Gamma'</tex> могло добавиться только пустое слово <tex>\varepsilon</tex>, то язык, задаваемый КС-грамматикой <tex>\Gamma'</tex>, совпадает с языком, задаваемым КС-грамматикой <tex>\Gamma</tex>.

Теперь можно доказать корректностьВ ней <tex>A</tex>, <tex>B</tex> и <tex>C</tex> являются <tex>\varepsilon</tex>-порождающими нетерминалами.# Переберём для каждого правила все возможные сочетания &epsilon;-порождающих нетерминалов и добавим новые правила:{{Утверждение|statement=Алгоритм корректен: #* <tex>L(G)=L(G')S\rightarrow Ad|ABd|ACd|Bd|BCd|Cd|d</tex>|proof=Подставив для <tex>S\rightarrow ABCd</tex> вместо #* <tex>B \rightarrow A|C</tex> в утверждении выше, видим, что для <tex>w B \in L(G)rightarrow AC</tex> для # Удалим праила <tex>w A\ne rightarrow \varepsilon</tex> тогда и только тогда, когда <tex>w C\in L(G')rightarrow \varepsilon</tex>. В результате мы получим новую грамматику без <tex>\varepsilon<br/tex> Очевидно, что -правил: :<tex>S\varepsilon \in L(G)rightarrow Ad|ABd|ACd|ABCd|Bd|BCd|Cd|d</tex> тогда и только тогда, когда :<tex>A\varepsilon \in L(G')rightarrow a</tex>.:<tex>B\rightarrow A|AC|C<br/tex> Таким образом, :<tex>L(G)=L(G')C\rightarrow c</tex> == См. также ==* [[Контекстно-свободные_грамматики,_вывод,_лево-_и_правосторонний_вывод,_дерево_разбора|Контекстно-свободные грамматики]]* [[Нормальная_форма_Хомского|Нормальная форма Хомского]] == Источники информации ==* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' '''Введение в теорию автоматов, языков и вычислений''', 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 273: ISBN 5-8459-0261-4 (рус. )}}* [http://en.wikipedia.org/wiki/Chomsky_normal_form Wikipedia — Chomsky normal form]