1632
правки
Изменения
м
Для этого достаточно доказать, что
<tex>A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w</tex> тогда и только тогда, когда <tex>A \underset{G}{\Rightarrow}^*w</tex> и <tex>w \ne \varepsilon</tex> (*).
<tex>\Rightarrow)</tex><br\>Пусть <tex>A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w</tex>. Несомненно, <tex>w \ne \varepsilon</tex>, поскольку <tex>G'</tex> - грамматика без <tex>\varepsilon</tex>-правил.<br/>Докажем индукцией по длине порожденияДля доказательства корректности алгоритма достаточно показать, что <tex>A \underset{G}{\Rightarrow}^*w</tex>.<br/> Обозначим длину порождения за <tex>p</tex>.:'''Базис'''. <tex>p = 1</tex><br/>В этом случае в <tex>G'</tex> есть правило <tex>A \rightarrow w</tex>. Согласно конструкции <tex>G'</tex> в <tex>G</tex> есть правило <tex>A \rightarrow \alpha</tex>, причем <tex>\alpha-</tex> это <tex>w</tex>, символы которой, возможно, перемежаются если множество <tex>\varepsilon</tex>-порождающими нетерминалами. Тогда в <tex>G</tex> есть порождения <tex>A \underset{G}{\Rightarrow} \alpha \underset{G}{\Rightarrow}^*w</tex>, где на шагах после первого, из всех порождающих нетерминалов в цепочке <tex>\alpha</tex> выводиться <tex>\varepsilon</tex>.<br/>:'''Предположение'''. Пусть из <tex>A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w</tex> следует, что <tex>A \underset{G}{\Rightarrow}^*w</tex> и <tex>w \ne \varepsilon</tex> верно для <tex>p < n</tex>.<br/>:'''Переход'''. <tex>p = n</tex><br/>Пусть в порождении <tex>n</tex> шагов, <tex>n > 1</tex>. Тогда оно имеет вид <tex>A\underset{G'}{\Rightarrow}X_1 X_2...X_k\underset{G'}{\Rightarrow}w^*</tex>, где <tex>X_i \in N \cup \Sigma </tex>. Первое использованное правило должно быть построено по правилу <tex>A \rightarrow Y_1 Y_2...Y_m</tex>, где цепочка <tex>Y_1 Y_2...Y_m</tex> совпадает с цепочкой <tex>X_1 X_2...X_k</tex>, цепочка <tex>Y_1 Y_2...Y_m</tex>, возможно, перемежаются <tex>\varepsilon</tex>-порождающими нетерминалами.<br/>Цепочку <tex>w</tex> можно разбить на <tex>w_1 w_2...w_k</tex>, где <tex>X_i \underset{G'}{\Rightarrow}^*w_i</tex>. Если <tex>X_i</tex> есть терминалочередной итерации алгоритма не изменялось, то <tex>w_i = X_i</tex>, a если нетерминал, то порождение <tex>X_i \underset{G'}{\Rightarrow}^*w_i</tex> содержит менее <tex>n</tex> шагов.<br/> По предположению <tex>X_i \underset{G}{\Rightarrow}^*w_i</tex>.<br/>Теперь построим соответствующее порождение в <tex>G</tex>.<br/>:<tex>A \underset {G}{\Rightarrow} Y_1 Y_2...Y_m \underset{G}{\Rightarrow}^* X_1 X_2...X_k \underset{G}{\Rightarrow}^* w_1 w_2...w_k = w</tex><br/>Ч.т.д.<br/>алгоритм нашел все <tex>\Leftarrow)</tex><br/>Пусть <tex>A \underset{G}{\Rightarrow}^*w</tex> и <tex>w \ne \varepsilon</tex>.<br/> Докажем индукцией по длине порождения, что <tex>A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w</tex>.<br/> Обозначим длину порождения за <tex>p</tex>.<br/>:'''Базис'''. <tex>p = 1</tex><br/><tex>A \rightarrow w</tex> является правилом в <tex>G</tex>. Поскольку <tex>w \ne \varepsilon</tex>, это же правило будет и в <tex>G'</tex>, поэтому <tex>A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w</tex>.:'''Предположение'''. Пусть из <tex>A \underset{G}{\Rightarrow}^*w</tex> и <tex>w \ne \varepsilon следует, что A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w </tex> верно для <tex>p < n</tex>.<br/>:'''Переход'''. <tex>p = n</tex><br/>Пусть в порождении <tex>n</tex> шагов, <tex>n > 1</tex>. Тогда оно имеет вид <tex>A\underset{G}{\Rightarrow}Y_1 Y_2...Y_m\underset{G}{\Rightarrow}^*w</tex>, где <tex>Y_i \in N \cup \Sigma </tex>. Цепочку <tex>w</tex> можно разбить на <tex>w_1 w_2...w_m</tex>, где <tex>Y_i \underset{G'}{\Rightarrow}^*w_i</tex>.<br/>Пусть <tex>X_1, X_2, ... X_k</tex> будут теми из <tex>Y_j</tex> (в порядке записи), для которых <tex>w_i \ne \varepsilon</tex>. <tex>k \ge 1</tex>, поскольку <tex>w \ne \varepsilon</tex>.<br/> Таким образом <tex>A \rightarrow X_1 X_2 ... X_k</tex> является правилом в <tex>G'</tex> по построению <tex>G'</tex>. Утверждаем, что <tex> X_1 X_2...X_k \underset{G}{\Rightarrow}^*w</tex>, поскольку только <tex>Y_j</tex>, которых нет среди <tex>X_1, X_2, ... X_k</tex>, использованы для порождения <tex>\varepsilon</tex> и не вносят ничего в порождение <tex>w</tex>.Так как каждое из порождений <tex>Y_j \underset{G}{\Rightarrow}^*w_j</tex> содержит менее <tex>n</tex> шагов, к ним можно применить предположение индукции и заключить, что если <tex>w_j \ne \varepsilon</tex>, то <tex>Y_j \underset{G'}{\Rightarrow}^*w_j</tex>.<br/>Таким образом <tex>A \underset{G'}{\rightarrow} X_1 X_2 ... X_k \underset{G'}{\Rightarrow}^* w</tex>.<br/>Ч.т.д-порождающие нетерминалы.
Подставив Пусть после завершения алгоритма существуют нетерминалы такие, что они являются <tex>\varepsilon</tex>-порождающими, но не были найдены алгоритмом. Выберем из этих нетерминалов нетерминал <tex>SB</tex> вместо , из которого выводится <tex>A\varepsilon</tex> за наименьшее число шагов. Тогда в утверждение (*)грамматике есть правило <tex>B \rightarrow C_1C_2 \ldots C_k</tex>, видим, что где каждый нетерминал <tex>C_i</tex> {{---}} <tex>w \in L(G)varepsilon</tex> для -порождающий. Каждый <tex>C_i</tex> входит в множество <tex>w \ne varepsilon</tex>-порождающих нетерминалов, так как иначе вместо <tex>B</tex> необходимо было взять <tex>C_i</tex>. Следовательно, на одной из итераций алгоритма <tex>B</tex> уже добавился в множество <tex>\varepsilon</tex> тогда и только тогда-порождающих нетерминалов. Противоречие. Следовательно, когда алгоритм находит все <tex>w \in L(G')varepsilon</tex>-порождающие нетерминалы.
# Пусть == Алгоритм удаления ε-правил из грамматики =='''Вход:''' КС-грамматика <tex>N_{\varepsilon}Gamma=\langle N,\Sigma, P, S \rangle</tex> — множество <tex>\varepsilon.<br/tex>'''Выход:''' КС-порождающих нетерминалов. Добавить все нетерминалы, из которых непосредственно можно вывести грамматика <tex>\varepsilonGamma'=\langle N,\Sigma, P', S' \rangle</tex>, в множество без <tex>N_{\varepsilon}</tex>.# Если найдено -правил (может присутствовать правило <tex>A S \rightarrow C_1C_2...C_k</tex>, для которого верно, что каждый <tex>C_i</tex> — <tex>\varepsilon</tex>-порождающий нетерминал, то добавить но в этом случае <tex>AS</tex> не встречается в множество правых частях правил); <tex>N_{L(\varepsilon}</tex>.# Если на шаге 2 множество <tex>N_{Gamma') = L(\varepsilon}Gamma)</tex> изменилось, то повторить шаг 2.
Индукция Сначала докажем, что, если не выполнять шаг 5 алгоритма, то получится грамматика <tex>\Gamma' : L(\Gamma') = L(\Gamma) \setminus \lbrace \varepsilon \rbrace </tex>.<br/>Для этого достаточно доказать, что<tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w</tex> тогда и только тогда, когда <tex>A \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex> и <tex>w \ne \varepsilon</tex> (*). <tex>\Rightarrow</tex>Пусть <tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w</tex> и <tex>w \ne \varepsilon</tex>.<br/>Докажем индукцией по длине кратчайшего порождения в грамматике <tex>\Gamma'</tex>, что <tex>A \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex>.<br/> '''База'''. <tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow} w</tex>.<br/>В этом случае в <tex>\Gamma'</tex> есть правило <tex>A \rightarrow w</tex>. По построению <tex>\Gamma'</tex> в <tex>\Gamma</tex> есть правило <tex>A \rightarrow \alpha</tex>, причем <tex>\alpha</tex> — цепочка <tex>w</tex>, элементы которой, возможно, перемежаются <tex>\varepsilon</tex>-порождающими нетерминалами. Тогда в <tex>\Gamma</tex> есть порождения <tex>A \underset{\Gamma}{\Rightarrow} \alpha \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex>.<br/>'''Предположение индукции'''. Пусть из <tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^* w \ne \varepsilon</tex> менее, чем за <tex>n</tex> шагов, следует, что <tex>A \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex>.<br/>'''Переход'''.Пусть в порождении <tex>n</tex> шагов, <tex>n > 1</tex>. Тогда оно имеет вид <tex>A\underset{\Gamma'}{\Rightarrow}X_1 X_2 \ldots X_k \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w</tex>, где <tex>X_i \in N \cup \Sigma </tex>. Первое использованное правило должно быть построено по правилу грамматики <tex>\Gamma</tex> <tex>A \rightarrow Y_1 Y_2 \ldots Y_m</tex>, где последовательность <tex>Y_1 Y_2 \ldots Y_m</tex> совпадает с последовательностью <tex>X_1 X_2 \ldots X_k</tex>, символы которой, возможно, перемежаются <tex>\varepsilon</tex>-порождающими нетерминалами.<br/>Цепочку <tex>w</tex> можно разбить на <tex>w_1 w_2 \ldots w_k</tex>, где <tex>X_i \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w_i</tex>. Если <tex>X_i</tex> — терминал, то <tex>w_i = X_i</tex>, a если нетерминал, то порождение <tex>X_i \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w_i</tex> содержит менее <tex>n</tex> шагов. По предположению <tex>X_i \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w_i</tex>, значит <tex>A \underset {\Gamma}{\Rightarrow} Y_1 Y_2 \ldots Y_m \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^* X_1 X_2 \ldots X_k \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^* w_1 w_2 \ldots w_k = w</tex>.
'''Переход.''' Пусть Подставив <tex>A \Rightarrow^* \varepsilonS</tex> за вместо <tex>nA</tex> шагов. Тогда первый шаг порождения в утверждение (*), видим, что <tex>A w \in L(\rightarrow C_1C_2...C_kGamma)</tex>, где для <tex>C_i w \Rightarrow^* ne \varepsilon</tex> за менеетогда и только тогда, чем когда <tex>nw \in L(\Gamma')</tex> шагов. По индукционному предположению каждый нетерминал Так как после выполнения шага 5 алгоритма в <tex>C_i\Gamma'</tex> обнаруживается как могло добавиться только пустое слово <tex>\varepsilon</tex>, то язык, задаваемый КС-порождающий. Тогда нетерминал грамматикой <tex>A\Gamma'</tex> — , совпадает с языком, задаваемым КС-грамматикой <tex>\varepsilonGamma</tex>-порождающий.
rollbackEdits.php mass rollback
== Используемые определения ==
{{Определение
|definition = Правила вида <tex>A \to \varepsilon</tex> называются '''<tex>\varepsilon</tex>-правилами'''(англ. ''<tex>\varepsilon</tex>-rule'').
}}
{{Определение
|definition = Нетерминал <tex>A</tex> называется '''<tex>\varepsilon</tex>-порождающим'''(англ. ''<tex>\varepsilon</tex>-generating''), если <tex>A \Rightarrow^* \varepsilon</tex>.
}}
== Алгоритм удаления поиска ε-правил из грамматики порождающих нетерминалов =='''Вход:''' КС -грамматика <tex> G\Gamma=\langle N,\Sigma, P, S \rangle</tex>.<br/>'''Выход:''' КС грамматика множество <tex> G'=\langle N,\Sigma, P', S \rangle : L(G') = L(G) \setminus \lbrace \varepsilon \rbrace</tex>-порождающих нетерминалов.
# [[#.D0.90.D0.BB.D0.B3.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.BC_.D0.BF.D0.BE.D0.B8.D1.81.D0.BA.D0.B0_.CE.B5-.D0.BF.D0.BE.D1.80.D0.BE.D0.B6.D0.B4.D0.B0.D1.8E.D1.89.D0.B8.D1.85_.D0.BD.D0.B5.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.BC.D0.B8.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D0.BE.D0.B2 | Найти все <tex>\varepsilon</tex>-порождаюшие нетерминалы]].# Рассмотрим правила вида (*) <tex>A \rightarrow \alpha_0 B_1 \alpha_1 B_2 \alpha_2 ... B_k \alpha_k</tex>Составить множество, где <tex>\alpha_i</tex> — последовательности состоящее из терминалов и нетерминалов, <tex>B_j</tex> — <tex>\varepsilon</tex>-порождающие нетерминалы. Добавить все возможные правила вида (*), входящих в которых либо присутствует, либо отсутствует <tex>B_j\; (1 \le j \le k)</tex>левые части таких правил.# Удалить все Перебираем правила грамматики <tex>\varepsilon</tex>-правила из <tex>PGamma</tex>.# Если в исходной грамматике найдено правило <tex>GA \rightarrow C_1C_2 \ldots C_k</tex> выводилось пустое слово , для которого верно, что каждый <tex>\varepsilonC_i</tex>принадлежит множеству, то необходимо добавить новый нетерминал <tex>S'A</tex>в множество.# Если на шаге 2 множество изменилось, сделать его стартовым, добавить правила <tex>S' \rightarrow S|\varepsilon</tex>то повторить шаг 2.
=== Доказательство корректности ===
{{Теорема
|statement = Если грамматика <tex>G'</tex> была построена с помощью описанного Описанный выше алгоритма по грамматике алгоритм находит все <tex>G\varepsilon</tex>, то -порождающие нетерминалы грамматики <tex>L(G') = L(G) \setminus \lbrace\varepsilon \rbraceGamma</tex>.
|proof =
}}
== Алгоритм поиска &epsilon= Модификация с очередью ===Заведем несколько структур:*<tex>\mathtt{isEpsilon[nonterm_i]} \ </tex> {{---}} для каждого нетерминала будем хранить пометку, является он <tex>\varepsilon</tex>-порождающим или нет.*<tex>\mathtt{concernedRules[nonterm_i]} \ </tex> {{---}} для каждого нетерминала будем хранить список номеров тех правил, в правой части которых он встречается;*<tex>\mathtt{counter[rule_i]} \ </tex> {{---}} для каждого правила будем хранить счетчик количества нетерминалов в правой части, которые еще не помечены <tex>\varepsilon</tex>-порождающими;*<tex>\mathtt{Q} \ </tex> {{---порождающих }} очередь нетерминалов, помеченных <tex>\varepsilon</tex>-порождающими, но еще не обработанных. Сначала проставим <tex>\mathtt{false}</tex> в <tex>\mathtt{isEpsilon} \ </tex> для всех нетерминалов, а в <tex>\mathtt{counter} \ </tex> для каждого правила запишем количество нетерминалов справа от него. Те правила, для которых <tex>\mathtt{counter} \ </tex> сразу же оказался нулевым, добавим в <tex>\mathtt{Q}</tex> и объявим истинным соответствующий <tex>\mathtt{isEpsilon}</tex>, так как это <tex>\varepsilon</tex>-правила. Теперь будем доставать из очереди по одному нетерминалу, смотреть на список <tex>\mathtt{concernedRules} \ </tex> для него и уменьшать <tex>\mathtt{counter}</tex> для всех правил оттуда. Если <tex>\mathtt{counter} \ </tex> какого-то правила в этот момент обнулился, то нетерминал из левой части этого правила помечается <tex>\varepsilon</tex>-порождающим, если еще не был помечен до этого, и добавляется в <tex>\mathtt{Q}</tex>. Продолжаем, пока очередь не станет пустой. === Время работы алгоритма ===Базовый алгоритм работает за <tex>O(\left| \Gamma \right| ^ 2)</tex>. В алгоритме с модификацией нетерминал попадает в очередь ровно один раз, соответственно ровно один раз мы пройдемся по списку правил, в правой части которых он лежит. Суммарно получается <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex>. === Пример ===Рассмотрим грамматику, причем сразу пронумеруем правила:#<tex>S\rightarrow ABC</tex>#<tex>S\rightarrow DS </tex>#<tex>A\rightarrow \varepsilon</tex>#<tex>B\rightarrow AC</tex>#<tex>C\rightarrow \varepsilon</tex>#<tex>D\rightarrow d</tex> ''Поскольку правило 6 содержит справа терминалы, оно заведомо не будет влиять на ответ, поэтому мы не будем его учитывать.'Вход:''' КС грамматика Построим массив списков <tex>\mathtt{concernedRules}</tex> G.{| class="wikitable"| colspan=5 |<tex>\langle Nmathtt{concernedRules}</tex>|-!<tex>S</tex>!<tex>A</tex>!<tex>B</tex>!<tex>C</tex>!<tex>D</tex>|-|2|1, 4|1|1,4|2|} {| class="wikitable" style="border:solid 2px gray"!style="border-right:solid 2px gray"|<tex>\Sigmamathtt{Q}</tex>!style="border-right:solid 2px gray" colspan=5| <tex>\mathtt{isEpsilon}</tex>!style="border-right:solid 2px gray" colspan=5| <tex>\mathtt{counter}</tex>!Комментарий|-!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\left \{ \right \}</tex> !style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2|Зададим начальные значения массивам <tex>\mathtt{counter} \ </tex> и <tex>\mathtt{isEpsilon}</tex>.|-|0|0|0|0|style="border-right:solid 2px gray"|0|3|2|0|2|style="border-right:solid 2px gray"|0|-|style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\left \{A, PC \right \}</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2 |Заметим, что правила 3 и 5 являются <tex>\varepsilon</tex>-правилами. Пометим левые нетерминалы из этих правил и добавим их в очередь. После этого в <tex>\mathtt{Q}</tex> лежит <tex>A</tex> и <tex>C</tex>, а <tex>\mathtt{counter} \ </tex> остался без изменений.|-|0|1|0|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|3|2|0|2|style="border-right:solid 2px gray"|0|-|style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\left\{C \right\}</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S </tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2|Достанем из очереди <tex>A</tex>, декрементируем те счетчики, которые относятся к связанным с ним правилам. К очереди ничего не добавится.|-|0|1|0|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|2|2|0|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|-|style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\left\{B \right\rangle}</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2|Достанем из очереди <tex>C</tex>.После проведения действий из алгоритма в очередь добавится <tex>B</tex>.|-|0|1|1|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|1|2|0|0|style="border-right:solid 2px gray"|0|-|style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\left\{S \right\}<br/tex>'''Выход!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2|Достанем из очереди <tex>B</tex>. После действий алгоритма в очередь добавится <tex>S</tex>.|-|1|1|1|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|0|2|0|0|style="border-right:solid 2px gray"|0|-|style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\left\{ \right\}</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2|Достанем из очереди <tex>S</tex>. Ничего не добавится в очередь и она останется пустой. Алгоритм закончил свое выполнение. Итого в множество <tex>\varepsilon</tex>-правил входят все нетерминалы, кроме <tex>D</tex>.|-|1|1|1|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|0|1|0|0|style="border-right:solid 2px gray"|0|} Если применять алгоритм без модификации с очередью, то действия будут следующие:''' # Возьмём множество состоящее из <tex>\varepsilon</tex>-порождающих нетерминалов<tex>\lbrace A, C \rbrace</tex>.# Добавим <tex>B</tex> в множество, так как правая часть правила <tex>B\rightarrow AC</tex> состоит только из нетерминалов из множества.# Повторим второй пункт для правила <tex>S\rightarrow ABC</tex> и получим множество <tex>\lbrace A, B, C, S \rbrace</tex>.# Больше нет нерассмотренных правил, содержащих справа только нетерминалы из множества. Таким образом <tex>\varepsilon</tex>-порождающими нетерминалами являются <tex>A</tex>, <tex>B</tex>, <tex>C</tex> и <tex>S</tex>.
# Добавить все правила из <tex>P</tex> в <tex>P'</tex>.
# Найти все <tex>\varepsilon</tex>-порождаюшие нетерминалы.
# Для каждого правила вида <tex>A \rightarrow \alpha_0 B_1 \alpha_1 B_2 \alpha_2 \ldots B_k \alpha_k \ </tex> (где <tex>\alpha_i</tex> — последовательности из терминалов и нетерминалов, <tex>B_j</tex> — <tex>\varepsilon</tex>-порождающие нетерминалы) добавить в <tex>P'</tex> все возможные варианты правил, в которых либо присутствует, либо удалён каждый из нетерминалов <tex>B_j\; (1 \leqslant j \leqslant k)</tex>.
# Удалить все <tex>\varepsilon</tex>-правила из <tex>P'</tex>.
# Если в исходной грамматике <tex>\Gamma</tex> выводилось <tex>\varepsilon</tex>, то необходимо добавить новый нетерминал <tex>S'</tex>, сделать его стартовым, добавить правило <tex>S' \rightarrow S|\varepsilon</tex>.
=== Доказательство корректности ===
{{Теорема
|statement = Нетерминал <tex>A</tex> является Если грамматика <tex>\varepsilonGamma'</tex>-порождающим тогда и только тогда, если выполнено одно из следующих условий:# в была построена с помощью описанного выше алгоритма по грамматике <tex>G</tex> есть правило <tex>A \rightarrow \varepsilonGamma</tex>;# в грамматике <tex>G</tex> есть правило , то <tex>A L(\rightarrow C_1C_2...C_k</tex>, где каждый <tex>C_i</tex> — <tex>Gamma') = L(\varepsilonGamma)</tex>-порождающий нетерминал.
|proof =
<tex>\Leftarrow</tex><br/>Пусть <tex>A \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex> и <tex>w \ne \varepsilon</tex>.<br/> Докажем индукцией по длине порождения в грамматике <tex>\Gamma</tex>, что <tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w</tex>.<br/> '''База'''. <tex>A \underset{\Gamma}{\Rightarrow} w</tex>.<br/>Правило <tex>A \rightarrow w</tex> присутствует в <tex>\Gamma</tex>. Поскольку <tex>w \ne \varepsilon</tex>, это же правило будет и в <tex>\Gamma'</tex>, поэтому <tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w</tex>.<br/>'''Предположение индукции'''. Пусть из <tex>A \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w \ne \varepsilon</tex> менее, чем за <tex>n</tex> шагов, следует, что <tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w </tex>.<br/>'''Переход''' . Пусть в порождении <tex>n</tex> шагов, <tex>n > 1</tex>. Тогда оно имеет вид <tex>A \underset{\Gamma}{\Rightarrow }Y_1 Y_2 \ldots Y_m \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex>, где <tex>Y_i \in N \cup \Sigma </tex>. Цепочку <tex>w</tex> можно разбить на <tex>w_1 w_2 \ldots w_m</tex>, где <tex>Y_i \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w_i</tex>.<br/>Пусть <tex>Y_{i_1}, Y_{i_2}, \ldots, Y_{i_p}</tex> — подпоследовательность, состоящая из всех элементов, таких, что <tex>w_{i_k} \ne \varepsilon</tex>, то есть в грамматике имеется правило <tex>A Y_{i_1} Y_{i_2} \ldots Y_{i_p} \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex>. <tex>p \geqslant 1</tex>, поскольку <tex>w \rightarrowne \varepsilon</tex>. СледовательноЗначит, <tex>A\rightarrow Y_{i_1} Y_{i_2} \ldots Y_{i_p}</tex> является правилом в <tex>\Gamma'</tex> по построению <tex>\Gamma'</tex>.<br/>Так как каждое из порождений <tex>Y_i \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w_i</tex> — содержит менее <tex>n</tex> шагов, к ним можно применить предположение индукции и заключить, что, если <tex>w_i \ne \varepsilon</tex>-порождающий нетерминал, то <tex>Y_i \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w_i</tex>.<br/>Таким образом, <tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow} Y_{i_1} Y_{i_2} \ldots Y_{i_p} \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^* w</tex>.
}}
=== Время работы алгоритма ===
Рассмотрим грамматику <tex>\Gamma</tex>:
:<tex>S\rightarrow T_1 T_2 T_3 \ldots T_n</tex>
:<tex>T_1\rightarrow t_1|\varepsilon</tex>
:<tex>T_2\rightarrow t_2|\varepsilon</tex>
:<tex>\ldots\</tex>
:<tex>T_n\rightarrow t_n|\varepsilon</tex>
<tex>\left| \Gamma \right| = O(n)</tex>. Из нетерминала <tex>S</tex> можно вывести <tex>2^n</tex> сочетаний нетерминалов <tex>T_i</tex>. Таким образом в худшем случае алгоритм работает за <tex>O(2^{\left| \Gamma \right|})</tex>.<br>
Рассмотрим теперь грамматику с устраненными [[Удаление_длинных_правил_из_грамматики|длинными правилами]]. После применения данного алгоритма, который работает за <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex>, в грамматике станет на <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex> больше правил, но при этом все они будут размером <tex>O(1)</tex>. Итого по-прежнему <tex>\left| \Gamma \right| = O(n)</tex>. Однако алгоритм удаления <tex>\varepsilon</tex>-правил будет работать за <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex>, поскольку для каждого правила можно будет добавить только <tex>O(1)</tex> сочетаний нетерминалов.
=== Пример ===
Рассмотрим грамматику:
:<tex>S\rightarrow ABCd</tex>
:<tex>A\rightarrow a|\varepsilon</tex>
:<tex>B\rightarrow AC</tex>
:<tex>C\rightarrow c|\varepsilon</tex>
В ней <tex>A</tex>, <tex>B</tex> и <tex>C</tex> являются <tex>\varepsilon</tex>-порождающими нетерминалами.
# Переберём для каждого правила все возможные сочетания ε-порождающих нетерминалов и добавим новые правила:
#* <tex>S\rightarrow Ad|ABd|ACd|Bd|BCd|Cd|d</tex> для <tex>S \rightarrow ABCd</tex>
#* <tex>B \rightarrow A|C</tex> для <tex>B \rightarrow AC</tex>
# Удалим праила <tex>A\rightarrow \varepsilon</tex> и <tex>C\rightarrow \varepsilon</tex>
В результате мы получим новую грамматику без <tex>\varepsilon</tex>-правил:
:<tex>S\rightarrow Ad|ABd|ACd|ABCd|Bd|BCd|Cd|d</tex>
:<tex>A\rightarrow a</tex>
:<tex>B\rightarrow A|AC|C</tex>
:<tex>C\rightarrow c</tex>
== Литература См. также ==* [[Контекстно-свободные_грамматики,_вывод,_лево-_и_правосторонний_вывод,_дерево_разбора|Контекстно-свободные грамматики]]* [[Нормальная_форма_Хомского|Нормальная форма Хомского]] == Источники информации ==
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' '''Введение в теорию автоматов, языков и вычислений''', 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 273: ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Chomsky_normal_form Wikipedia — Chomsky normal form]
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
[[Категория: Нормальные формы КС-грамматик]]
