Изменения

|definition = Правила вида <tex>A \to \varepsilon</tex> называются '''<tex>\varepsilon</tex>-правилами''' (англ. ''<tex>\varepsilon</tex>-rule'').

|definition = Назовем КС-грамматику Нетерминал <tex>G=(N,\Sigma, P, S)A</tex> грамматикой без называется '''<tex>\varepsilon</tex>-правил порождающим''' (или неукорачивающей), если либо<br/>:(1) <tex>P</tex> не содержит англ. ''<tex>\varepsilon</tex>-правилgenerating''), либо :(2) есть точно одно если <tex>A \varepsilon</tex>-правило <tex>S \to Rightarrow^* \varepsilon</tex> и <tex>S</tex> не встречается в правых частях остальных правил из <tex>P</tex>.

По данной произвольной КС== Алгоритм поиска &epsilon;-грамматике <tex>G</tex> часто бывает удобно строить новую порождающих нетерминалов =='''Вход:''' КС-грамматику грамматика <tex>G'\Gamma=\langle N,\Sigma, P, S \rangle</tex> без .<br/>'''Выход:''' множество <tex>\varepsilon</tex>-правил, эквивалентную исходнойпорождающих нетерминалов.==Алгоритм удаления &epsilon;-правил==:''Вход''. КС-грамматика <# Найти все <tex> G=(N,\Sigma, P, S)varepsilon</tex>-правила. Составить множество, состоящее из нетерминалов, входящих в левые части таких правил.:''Выход''. Эквивалентная КС-грамматика # Перебираем правила грамматики <tex> G'=(N',\Sigma, P', S') Gamma</tex> без . Если найдено правило <tex>A \varepsilonrightarrow C_1C_2 \ldots C_k</tex>-правил.:''Метод''. (1) Построить , для которого верно, что каждый <tex>N_e=\{A \mid A \in NC_i</tex> и принадлежит множеству, то добавить <tex>A \Rightarrow_{G}^{*}\varepsilon\}</tex>в множество. (# Если на шаге 2 множество изменилось, то повторить шаг 2) Построить <tex>P'</tex> так:.  Если === Доказательство корректности ==={{Теорема|statement = Описанный выше алгоритм находит все <tex>A \rightarrow varepsilon</tex>-порождающие нетерминалы грамматики <tex>\alpha_0 B_1 \alpha_1 B_2 \alpha_2 ... B_k \alpha_k \in PGamma</tex>.|proof = Для доказательства корректности алгоритма достаточно показать, что, k если множество <tex>\geqslant 0varepsilon</tex> и -порождающих нетерминалов на очередной итерации алгоритма не изменялось, то алгоритм нашел все <tex>B_i \in N_evarepsilon</tex> для -порождающие нетерминалы. Пусть после завершения алгоритма существуют нетерминалы такие, что они являются <tex>1 \leqslant i \leqslant kvarepsilon</tex>-порождающими, но ни один символ в цепочках не были найдены алгоритмом. Выберем из этих нетерминалов нетерминал <tex>a_j (0 \leqslant j \leqslant k) \notin N_eB</tex>, то включить в из которого выводится <tex>P'\varepsilon</tex> все правила вида за наименьшее число шагов. Тогда в грамматике есть правило <tex>A B \rightarrow C_1C_2 \alpha_0 X_1 \alpha_1 X_2 \alpha_2 ... X_k \alpha_kldots C_k</tex> , где каждый нетерминал <tex>X_i-C_i</tex> либо <tex{{---}} <tex>B_i\varepsilon</tex>, либо -порождающий. Каждый <tex>\varepsilonC_i</tex>, но не включать правило входит в множество <tex>A \rightarrow \varepsilon</tex> (это могло бы произойти в случае-порождающих нетерминалов, если все так как иначе вместо <tex>\alpha_iB</tex> равны необходимо было взять <tex>\varepsilonC_i</tex>). (3) Если Следовательно, на одной из итераций алгоритма <tex>S \in N_eB</tex>, включить уже добавился в множество <tex>P'\varepsilon</tex> правила -порождающих нетерминалов. Противоречие. Следовательно, алгоритм находит все <tex>S' \rightarrow \varepsilon \mid S</tex>-порождающие нетерминалы. где }} === Модификация с очередью ===Заведем несколько структур:*<tex>S'-\mathtt{isEpsilon[nonterm_i]} \ </tex> новый символ{{---}} для каждого нетерминала будем хранить пометку, и положить является он <tex>N'=N \cup \{ S' \}\varepsilon</tex>-порождающим или нет. В противном случае положить *<tex>N'=N\mathtt{concernedRules[nonterm_i]} \ </tex> и <tex>S'=S{{---}} для каждого нетерминала будем хранить список номеров тех правил, в правой части которых он встречается;*</tex>. (4) Положить \mathtt{counter[rule_i]} \ </tex> G'=(N'{{---}} для каждого правила будем хранить счетчик количества нетерминалов в правой части,которые еще не помечены <tex>\Sigma, P', S')varepsilon</tex>. -порождающими;*<tex>\Boxmathtt{Q} \ </tex>== Литература ==* Ахо Альфред{{---}} очередь нетерминалов, Джеффри Ульман. Теория Синтаксического Анализапомеченных <tex>\varepsilon</tex>-порождающими, Перевода и Компиляции. Том 1но еще не обработанных.* Джон Хопкрофт, Раджив МотваниСначала проставим <tex>\mathtt{false}</tex> в <tex>\mathtt{isEpsilon} \ </tex> для всех нетерминалов, Джеффри Ульман. Введение а в теорию автоматов, языков и вычислений<tex>\mathtt{counter} \ </tex> для каждого правила запишем количество нетерминалов справа от него.Те правила, для которых <tex>\mathtt{counter} \ </tex> сразу же оказался нулевым, добавим в <tex>\mathtt{Q}</tex> и объявим истинным соответствующий <tex>\mathtt{isEpsilon}</tex>, так как это <tex>\varepsilon</tex>-правила. Теперь будем доставать из очереди по одному нетерминалу, смотреть на список <tex>\mathtt{concernedRules} \ </tex> для него и уменьшать <tex>\mathtt{counter}</tex> для всех правил оттуда. Если <tex>\mathtt{counter} \ </tex> какого-то правила в этот момент обнулился, то нетерминал из левой части этого правила помечается <tex>\varepsilon</tex>-порождающим, если еще не был помечен до этого, и добавляется в <tex>\mathtt{Q}</tex>. Продолжаем, пока очередь не станет пустой. === Время работы алгоритма ===Базовый алгоритм работает за <tex>O(\left| \Gamma \right| ^ 2)</tex>. В алгоритме с модификацией нетерминал попадает в очередь ровно один раз, соответственно ровно один раз мы пройдемся по списку правил, в правой части которых он лежит. Суммарно получается <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex>. === Пример ===Рассмотрим грамматику, причем сразу пронумеруем правила:#<tex>S\rightarrow ABC</tex>#<tex>S\rightarrow DS </tex>#<tex>A\rightarrow \varepsilon</tex>#<tex>B\rightarrow AC</tex>#<tex>C\rightarrow \varepsilon</tex>#<tex>D\rightarrow d</tex> ''Поскольку правило 6 содержит справа терминалы, оно заведомо не будет влиять на ответ, поэтому мы не будем его учитывать.'' Построим массив списков <tex>\mathtt{concernedRules}</tex>.{| class="wikitable"| colspan=5 |<tex>\mathtt{concernedRules}</tex>|-!<tex>S</tex>!<tex>A</tex>!<tex>B</tex>!<tex>C</tex>!<tex>D</tex>|-|2|1, 4|1|1, 4|2|} {| class="wikitable" style="border:solid 2px gray"!style="border-right:solid 2px gray"|<tex>\mathtt{Q}</tex>!style="border-right:solid 2px gray" colspan=5| <tex>\mathtt{isEpsilon}</tex>!style="border-right:solid 2px gray" colspan=5| <tex>\mathtt{counter}</tex>!Комментарий|-!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\left \{ \right \}</tex> !style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2|Зададим начальные значения массивам <tex>\mathtt{counter} \ </tex> и <tex>\mathtt{isEpsilon}</tex>.|-|0|0|0|0|style="border-right:solid 2px gray"|0|3|2|0|2|style="border-right:solid 2px gray"|0|-|style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\left \{A,C \right \}</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2 |Заметим, что правила 3 и 5 являются <tex>\varepsilon</tex>-правилами. Пометим левые нетерминалы из этих правил и добавим их в очередь. После этого в <tex>\mathtt{Q}</tex> лежит <tex>A</tex> и <tex>C</tex>, а <tex>\mathtt{counter} \ </tex> остался без изменений.|-|0|1|0|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|3|2|0|2|style="border-right:solid 2px gray"|0|-|style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\left\{C \right\}</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2|Достанем из очереди <tex>A</tex>, декрементируем те счетчики, которые относятся к связанным с ним правилам. К очереди ничего не добавится.|-|0|1|0|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|2|2|0|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|-|style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\left\{B \right\}</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2|Достанем из очереди <tex>C</tex>. После проведения действий из алгоритма в очередь добавится <tex>B</tex>.|-|0|1|1|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|1|2|0|0|style="border-right:solid 2px gray"|0|-|style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\left\{S \right\}</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2|Достанем из очереди <tex>B</tex>. После действий алгоритма в очередь добавится <tex>S</tex>.|-|1|1|1|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|0|2|0|0|style="border-right:solid 2px gray"|0|-|style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\left\{ \right\}</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2|Достанем из очереди <tex>S</tex>. Ничего не добавится в очередь и она останется пустой. Алгоритм закончил свое выполнение. Итого в множество <tex>\varepsilon</tex>-правил входят все нетерминалы, кроме <tex>D</tex>.|-|1|1|1|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|0|1|0|0|style="border-right:solid 2px gray"|0|} Если применять алгоритм без модификации с очередью, то действия будут следующие:# Возьмём множество состоящее из <tex>\varepsilon</tex>-порождающих нетерминалов <tex>\lbrace A, C \rbrace</tex>.# Добавим <tex>B</tex> в множество, так как правая часть правила <tex>B\rightarrow AC</tex> состоит только из нетерминалов из множества.# Повторим второй пункт для правила <tex>S\rightarrow ABC</tex> и получим множество <tex>\lbrace A, B, C, S \rbrace</tex>.# Больше нет нерассмотренных правил, содержащих справа только нетерминалы из множества. Таким образом <tex>\varepsilon</tex>-порождающими нетерминалами являются <tex>A</tex>, <tex>B</tex>, <tex>C</tex> и <tex>S</tex>. == Алгоритм удаления &epsilon;-правил из грамматики =='''Вход:''' КС-грамматика <tex> \Gamma=\langle N,\Sigma, P, S \rangle</tex>.<br/>'''Выход:''' КС-грамматика <tex> \Gamma'=\langle N,\Sigma, P', S' \rangle</tex> без <tex>\varepsilon</tex>-правил (может присутствовать правило <tex>S \rightarrow \varepsilon</tex>, но в этом случае <tex>S</tex> не встречается в правых частях правил); <tex>L(\Gamma') = L(\Gamma)</tex>. # Добавить все правила из <tex>P</tex> в <tex>P'</tex>.# Найти все <tex>\varepsilon</tex>-порождаюшие нетерминалы.# Для каждого правила вида <tex>A \rightarrow \alpha_0 B_1 \alpha_1 B_2 \alpha_2 \ldots B_k \alpha_k \ </tex> (где <tex>\alpha_i</tex> — последовательности из терминалов и нетерминалов, <tex>B_j</tex> — <tex>\varepsilon</tex>-порождающие нетерминалы) добавить в <tex>P'</tex> все возможные варианты правил, в которых либо присутствует, либо удалён каждый из нетерминалов <tex>B_j\; (1 \leqslant j \leqslant k)</tex>.# Удалить все <tex>\varepsilon</tex>-правила из <tex>P'</tex>.# Если в исходной грамматике <tex>\Gamma</tex> выводилось <tex>\varepsilon</tex>, то необходимо добавить новый нетерминал <tex>S'</tex>, сделать его стартовым, добавить правило <tex>S' \rightarrow S|\varepsilon</tex>. === Доказательство корректности ==={{Теорема|statement = Если грамматика <tex>\Gamma'</tex> была построена с помощью описанного выше алгоритма по грамматике <tex>\Gamma</tex>, то <tex>L(\Gamma') = L(\Gamma)</tex>.|proof =Сначала докажем, что, если не выполнять шаг 5 алгоритма, то получится грамматика <tex>\Gamma' : L(\Gamma') = L(\Gamma) \setminus \lbrace \varepsilon \rbrace </tex>.<br/>Для этого достаточно доказать, что<tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w</tex> тогда и только тогда, когда <tex>A \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex> и <tex>w \ne \varepsilon</tex> (*). <tex>\Rightarrow</tex>Пусть <tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w</tex>&nbsp; и&nbsp; <tex>w \ne \varepsilon</tex>.<br/>Докажем индукцией по длине порождения в грамматике <tex>\Gamma'</tex>, что <tex>A \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex>.<br/> '''База'''. <tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow} w</tex>.<br/>В этом случае в <tex>\Gamma'</tex> есть правило <tex>A \rightarrow w</tex>. По построению <tex>\Gamma'</tex> в <tex>\Gamma</tex> есть правило <tex>A \rightarrow \alpha</tex>, причем <tex>\alpha</tex> — цепочка <tex>w</tex>, элементы которой, возможно, перемежаются <tex>\varepsilon</tex>-порождающими нетерминалами. Тогда в <tex>\Gamma</tex> есть порождения <tex>A \underset{\Gamma}{\Rightarrow} \alpha \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex>.<br/>'''Предположение индукции'''. Пусть из <tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w \ne \varepsilon</tex> менее, чем за <tex>n</tex> шагов, следует, что <tex>A \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex>.<br/>'''Переход'''.Пусть в порождении <tex>n</tex> шагов, <tex>n > 1</tex>. Тогда оно имеет вид <tex>A\underset{\Gamma'}{\Rightarrow}X_1 X_2 \ldots X_k \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w</tex>, где <tex>X_i \in N \cup \Sigma </tex>. Первое использованное правило должно быть построено по правилу грамматики <tex>\Gamma</tex> <tex>A \rightarrow Y_1 Y_2 \ldots Y_m</tex>, где последовательность <tex>Y_1 Y_2 \ldots Y_m</tex> совпадает с последовательностью <tex>X_1 X_2 \ldots X_k</tex>, символы которой, возможно, перемежаются <tex>\varepsilon</tex>-порождающими нетерминалами.<br/>Цепочку <tex>w</tex> можно разбить на <tex>w_1 w_2 \ldots w_k</tex>, где <tex>X_i \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w_i</tex>. Если <tex>X_i</tex> — терминал, то <tex>w_i = X_i</tex>, a если нетерминал, то порождение <tex>X_i \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w_i</tex> содержит менее <tex>n</tex> шагов. По предположению <tex>X_i \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w_i</tex>, значит <tex>A \underset {\Gamma}{\Rightarrow} Y_1 Y_2 \ldots Y_m \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^* X_1 X_2 \ldots X_k \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^* w_1 w_2 \ldots w_k = w</tex>. <tex>\Leftarrow</tex><br/>Пусть <tex>A \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex>&nbsp; и&nbsp; <tex>w \ne \varepsilon</tex>.<br/> Докажем индукцией по длине порождения в грамматике <tex>\Gamma</tex>, что <tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w</tex>.<br/> '''База'''. <tex>A \underset{\Gamma}{\Rightarrow} w</tex>.<br/>Правило <tex>A \rightarrow w</tex> присутствует в <tex>\Gamma</tex>. Поскольку <tex>w \ne \varepsilon</tex>, это же правило будет и в <tex>\Gamma'</tex>, поэтому <tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w</tex>.<br/>'''Предположение индукции'''. Пусть из <tex>A \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w \ne \varepsilon</tex> менее, чем за <tex>n</tex> шагов, следует, что <tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w </tex>.<br/>'''Переход'''. Пусть в порождении <tex>n</tex> шагов, <tex>n > 1</tex>. Тогда оно имеет вид <tex>A\underset{\Gamma}{\Rightarrow}Y_1 Y_2 \ldots Y_m \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex>, где <tex>Y_i \in N \cup \Sigma </tex>. Цепочку <tex>w</tex> можно разбить на <tex>w_1 w_2 \ldots w_m</tex>, где <tex>Y_i \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w_i</tex>.<br/>Пусть <tex>Y_{i_1}, Y_{i_2}, \ldots, Y_{i_p}</tex> — подпоследовательность, состоящая из всех элементов, таких, что <tex>w_{i_k} \ne \varepsilon</tex>, то есть <tex>Y_{i_1} Y_{i_2} \ldots Y_{i_p} \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex>. <tex>p \geqslant 1</tex>, поскольку <tex>w \ne \varepsilon</tex>. Значит, <tex>A \rightarrow Y_{i_1} Y_{i_2} \ldots Y_{i_p}</tex> является правилом в <tex>\Gamma'</tex> по построению <tex>\Gamma'</tex>.<br/>Так как каждое из порождений <tex>Y_i \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w_i</tex> содержит менее <tex>n</tex> шагов, к ним можно применить предположение индукции и заключить, что, если <tex>w_i \ne \varepsilon</tex>, то <tex>Y_i \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w_i</tex>.<br/>Таким образом, <tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow} Y_{i_1} Y_{i_2} \ldots Y_{i_p} \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^* w</tex>. Подставив <tex>S</tex> вместо <tex>A</tex> в утверждение (*), видим, что <tex>w \in L(\Gamma)</tex> для <tex>w \ne \varepsilon</tex> тогда и только тогда, когда <tex>w \in L(\Gamma')</tex>. Так как после выполнения шага 5 алгоритма в <tex>\Gamma'</tex> могло добавиться только пустое слово <tex>\varepsilon</tex>, то язык, задаваемый КС-грамматикой <tex>\Gamma'</tex>, совпадает с языком, задаваемым КС-грамматикой <tex>\Gamma</tex>.}} === Время работы алгоритма ===Рассмотрим грамматику <tex>\Gamma</tex>::<tex>S\rightarrow T_1 T_2 T_3 \ldots T_n</tex>:<tex>T_1\rightarrow t_1|\varepsilon</tex>:<tex>T_2\rightarrow t_2|\varepsilon</tex>:<tex>\ldots\</tex>:<tex>T_n\rightarrow t_n|\varepsilon</tex> <tex>\left| \Gamma \right| = O(n)</tex>. Из нетерминала <tex>S</tex> можно вывести <tex>2^n</tex> сочетаний нетерминалов <tex>T_i</tex>. Таким образом в худшем случае алгоритм работает за <tex>O(2^{\left| \Gamma \right|})</tex>.<br>Рассмотрим теперь грамматику с устраненными [[Удаление_длинных_правил_из_грамматики|длинными правилами]]. После применения данного алгоритма, который работает за <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex>, в грамматике станет на <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex> больше правил, но при этом все они будут размером <tex>O(1)</tex>. Итого по-прежнему <tex>\left| \Gamma \right| = O(n)</tex>. Однако алгоритм удаления <tex>\varepsilon</tex>-правил будет работать за <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex>, поскольку для каждого правила можно будет добавить только <tex>O(1)</tex> сочетаний нетерминалов. === Пример ===Рассмотрим грамматику::<tex>S\rightarrow ABCd</tex>:<tex>A\rightarrow a|\varepsilon</tex>:<tex>B\rightarrow AC</tex>:<tex>C\rightarrow c|\varepsilon</tex> В ней <tex>A</tex>, <tex>B</tex> и <tex>C</tex> являются <tex>\varepsilon</tex>-порождающими нетерминалами.# Переберём для каждого правила все возможные сочетания &epsilon;-порождающих нетерминалов и добавим новые правила:#* <tex>S\rightarrow Ad|ABd|ACd|Bd|BCd|Cd|d</tex> для <tex>S \rightarrow ABCd</tex>#* <tex>B \rightarrow A|C</tex> для <tex>B \rightarrow AC</tex># Удалим праила <tex>A\rightarrow \varepsilon</tex> и <tex>C\rightarrow \varepsilon</tex> В результате мы получим новую грамматику без <tex>\varepsilon</tex>-правил: :<tex>S\rightarrow Ad|ABd|ACd|ABCd|Bd|BCd|Cd|d</tex>:<tex>A\rightarrow a</tex>:<tex>B\rightarrow A|AC|C</tex>:<tex>C\rightarrow c</tex> == См. также ==* [[Контекстно-свободные_грамматики,_вывод,_лево-_и_правосторонний_вывод,_дерево_разбора|Контекстно-свободные грамматики]]* [[Нормальная_форма_Хомского|Нормальная форма Хомского]] == Источники информации ==* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' '''Введение в теорию автоматов, языков и вычислений''', 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 273: ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)* [http://en.wikipedia.org/wiki/Chomsky_normal_form Wikipedia — Chomsky normal form] [[Категория: Теория формальных языков]][[Категория: Контекстно-свободные грамматики]][[Категория: Нормальные формы КС-грамматик]]