Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения — различия между версиями
(→Алгоритм) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 11 промежуточных версий 10 участников) | |||
Строка 5: | Строка 5: | ||
== Алгоритм == | == Алгоритм == | ||
+ | === Описание алгоритма === | ||
+ | Запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из произвольной вершины графа; обозначим её через <tex>root</tex>. Заметим следующий факт: | ||
+ | |||
+ | * Пусть мы находимся в обходе в глубину, просматривая сейчас все рёбра из вершины <tex>v</tex>. Тогда, если текущее ребро (<tex>v</tex>,<tex>to</tex>) таково, что из вершины <tex>to</tex> и из любого её потомка в дереве обхода в глубину нет обратного ребра в вершину <tex>v</tex> или какого-либо её предка, то эта вершина является точкой сочленения. В противном случае она ей не является. (В самом деле, мы этим условием проверяем, нет ли другого пути из <tex>v</tex> в <tex>to</tex>, кроме как спуск по ребру (<tex>v</tex>,<tex>to</tex>) дерева обхода в глубину.) | ||
+ | |||
+ | Теперь осталось научиться проверять этот факт для каждой вершины эффективно. Для этого воспользуемся "временами входа в вершину", вычисляемыми алгоритмом поиска в глубину. | ||
+ | |||
+ | [[Файл:Joint_point_2_rsz.png|280px|thumb|left| <font color=red>Красным</font> цветом обозначены точки сочленения<br><font color=blue>Синим</font> — ребра по которым идет DFS]] | ||
+ | Пусть <tex>tin[u]</tex> — время входа поиска в глубину в вершину <tex>u</tex>. Через <tex>up[u]</tex> обозначим минимум из времени захода в саму вершину <tex>tin[u]</tex>, времен захода в каждую из вершин <tex>p</tex>, являющуюся концом некоторого обратного ребра <tex>(u,p)</tex>, а также из всех значений <tex>up[v]</tex> для каждой вершины <tex>v</tex>, являющейся непосредственным сыном <tex>u</tex> в дереве поиска. | ||
+ | |||
+ | Тогда из вершины <tex>u</tex> или её потомка есть обратное ребро в её предка <tex>\Leftrightarrow \exists</tex> такой сын <tex>v</tex>, что <tex>up[v] < tin[u]</tex>. | ||
+ | |||
+ | Таким образом, если для текущей вершины <tex>u \ne root </tex> существует непосредственный сын <tex>v</tex>: <tex>up[v] \geqslant tin[u]</tex>, то вершина <tex>u</tex> является точкой сочленения, в противном случае она точкой сочленения не является. | ||
+ | |||
+ | <br clear="all"> | ||
=== Псевдокод === | === Псевдокод === | ||
− | '''function''' findCutPoints(G[n]: '''Graph'''):<font color=darkgreen> // функция принимает граф G с количеством вершин n и выполняет поиск точек сочленения | + | '''function''' findCutPoints(G[n]: '''Graph'''):<font color=darkgreen> // функция принимает граф G с количеством вершин n и выполняет поиск точек сочленения во всем графе </font> |
visited = array[n, ''false''] | visited = array[n, ''false''] | ||
Строка 14: | Строка 29: | ||
time = time + 1 | time = time + 1 | ||
up[v] = tin[v] = time | up[v] = tin[v] = time | ||
− | visited[v] = ''true'' | + | visited[v] = ''true'' |
+ | count = 0 | ||
'''for''' u: (v, u) '''in''' G | '''for''' u: (v, u) '''in''' G | ||
'''if''' u == p | '''if''' u == p | ||
Строка 22: | Строка 38: | ||
'''else''' | '''else''' | ||
dfs(u, v) | dfs(u, v) | ||
− | up[v] = min(up[v], | + | count = count + 1 |
− | '''if''' up[ | + | up[v] = min(up[v], up[u]) |
+ | '''if''' p != -1 '''and''' up[u] >= tin[v] | ||
v — cutpoint | v — cutpoint | ||
− | '''if''' | + | '''if''' p == -1 '''and''' count >= 2 |
v — cutpoint | v — cutpoint | ||
Строка 49: | Строка 66: | ||
#Пусть <tex>root</tex> — точка сочленения и у него есть только один сын. Тогда при удалении <tex>root</tex> остается дерево с корнем в его сыне, содержащее все остальные вершины графа, то есть оставшийся граф связен — противоречие с тем, что <tex>root</tex> — точка сочленения. | #Пусть <tex>root</tex> — точка сочленения и у него есть только один сын. Тогда при удалении <tex>root</tex> остается дерево с корнем в его сыне, содержащее все остальные вершины графа, то есть оставшийся граф связен — противоречие с тем, что <tex>root</tex> — точка сочленения. | ||
}} | }} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
<br clear="all"> | <br clear="all"> | ||
− | === | + | === Асимптотика === |
− | Оценим время работы алгоритма. Процедура <tex>\mathrm{dfs}</tex> вызывается от каждой вершины не более одного раза, а внутри процедуры рассматриваются все такие [[Основные определения теории графов|ребра]] <tex>\{e\ |\ \mathrm{begin(e)} = | + | Оценим время работы алгоритма. Процедура <tex>\mathrm{dfs}</tex> вызывается от каждой вершины не более одного раза, а внутри процедуры рассматриваются все такие [[Основные определения теории графов|ребра]] <tex>\{e\ |\ \mathrm{begin(e)} = v\}</tex>. Всего таких ребер для всех вершин в графе <tex>O(E)</tex>, следовательно, время работы алгоритма оценивается как <tex>O(V+E)</tex>. Такое же, как у [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]]. |
== См. также == | == См. также == |
Текущая версия на 19:28, 4 сентября 2022
Задача: |
Дан связный неориентированный граф . Найти все точки сочленения в за время |
Содержание
Алгоритм
Описание алгоритма
Запустим обход в глубину из произвольной вершины графа; обозначим её через . Заметим следующий факт:
- Пусть мы находимся в обходе в глубину, просматривая сейчас все рёбра из вершины . Тогда, если текущее ребро ( , ) таково, что из вершины и из любого её потомка в дереве обхода в глубину нет обратного ребра в вершину или какого-либо её предка, то эта вершина является точкой сочленения. В противном случае она ей не является. (В самом деле, мы этим условием проверяем, нет ли другого пути из в , кроме как спуск по ребру ( , ) дерева обхода в глубину.)
Теперь осталось научиться проверять этот факт для каждой вершины эффективно. Для этого воспользуемся "временами входа в вершину", вычисляемыми алгоритмом поиска в глубину.
Пусть
— время входа поиска в глубину в вершину . Через обозначим минимум из времени захода в саму вершину , времен захода в каждую из вершин , являющуюся концом некоторого обратного ребра , а также из всех значений для каждой вершины , являющейся непосредственным сыном в дереве поиска.Тогда из вершины
или её потомка есть обратное ребро в её предка такой сын , что .Таким образом, если для текущей вершины
существует непосредственный сын : , то вершина является точкой сочленения, в противном случае она точкой сочленения не является.
Псевдокод
function findCutPoints(G[n]: Graph): // функция принимает граф G с количеством вершин n и выполняет поиск точек сочленения во всем графе visited = array[n, false] function dfs(v: int, p: int): time = time + 1 up[v] = tin[v] = time visited[v] = true count = 0 for u: (v, u) in G if u == p continue if visited[u] up[v] = min(up[v], tin[u]) else dfs(u, v) count = count + 1 up[v] = min(up[v], up[u]) if p != -1 and up[u] >= tin[v] v — cutpoint if p == -1 and count >= 2 v — cutpoint for i = 1 to n if not visited[i] dfs(i, -1)
Доказательство корректности
Теорема: |
Пусть обхода в глубину, — корень .
— дерево
|
Доказательство: |
|
Асимптотика
Оценим время работы алгоритма. Процедура ребра . Всего таких ребер для всех вершин в графе , следовательно, время работы алгоритма оценивается как . Такое же, как у обхода в глубину.
вызывается от каждой вершины не более одного раза, а внутри процедуры рассматриваются все такиеСм. также
Источники информации
- Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — Лань, 2010. — 368 с. — ISBN 978-5-8114-1068-2
- MAXimal :: algo :: Поиск точек сочленения