1632
правки
Изменения
м
== Определения ==
Опять получили <tex>k</tex> различных перестановок, отличающихся в одной элементарной транспозиции. Далее берем третью строку из == Псевдокод получения кода Грея для перестановок длиной <tex>n = k - 1</tex>, записываем в ее начало элемент <tex>k</tex> и двигаем его вправо, как для первой перестановки и т.д.=
Для каждой перестановки длиной Получаем код Грея рекурсивно, в базовом случае <tex>n = k - 1</tex> (всего их <tex>(k - 1)!</tex>) мы получили <tex>k</tex> новых перестановок. Итого <tex>k\cdot(k - 1)! = k!</tex> перестановок. Все они различны, т.к. для любых двух перестановок возвращаем список из нового кода Грея элемент <tex>k</tex> стоит на разных позициях,а если <tex>k</tex> стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной <tex>n = k - \{1</tex>. Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению, от разных перестановок {{---}\} имеют <tex>k</tex> на одной и той же позиции, но отличаются в одной элементарной транспозиции, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной <tex>n = k - 1</tex>). Таким образом мы получили <tex>k!</tex> различных перестановок длиной <tex>k</tex>, отличающихся в одной элементарной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной <tex>n</tex> получен.
Рассмотрим код Грея для длины <tex>n = 2</tex>:= Реализация в нерекурсивном виде. Алгоритм Джонсона-Троттера ==
* === Идея ===Сопоставим каждому элементу перестановки <tex>p[i]</tex> направление <tex>d[i]</tex>. Будем указывать направление при помощи стрелок '''←''' ("влево") или '''→'''("вправо"). Назовём элемент подвижным, если по направлению стрелки стоит элемент меньше его. Например, для <tex>p = \{1, 3, 2, 14, 5\},\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>* , подвижными являются элементы <tex>3</tex> и <tex>5</tex>. На каждой итерации алгоритма будем искать наибольший подвижный элемент и менять местами с элементом, который стоит по направлению стрелки. После чего поменяем направление стрелок на противоположное у всех элементов больших текущего. Изначально <tex>p = \{1, 2\dots ,n\},\;d = \{\leftarrow, \dots ,\leftarrow\}</tex>.
Тогда следуя алгоритму полученный код будет выглядеть так (подчёркнуты пары переставляемых элементов):=== Пример работы алгоритма для n = 3 ===*<tex> p = \{1, 2, \textbf{3}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{1, \textbf{3}, 2\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{3, 1, \textbf{2}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{\textbf{3}, 2, 1\}\;\;\;d = \{\to, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{2, \textbf{3}, 1\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{2, 1, 3\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \to\}</tex>
* === Псевдокод ===<code> <texfont color=darkgreen>\{\underline{3, 2}, //Элементы нумеруются начиная с 1\}</texfont color=darkgreen> '''list<list<int> >''' gray_code(n): '''list<int>''' perm = {{---1, ... , n}} берем первую перестановку и добавляем в начало тройку* '''list<texchar>\''' dir = {2←, \underline{3... , 1}\←} '''list<list</texint>> {{---}} двигаем до последней позиции''' result '''while''' ''true''* result.append(perm); <texfont color=darkgreen>\{\underline{2, 1}, 3\} //добавляем в ответ текущую перестановку</texfont color=darkgreen>* '''int''' id = -1; <texfont color=darkgreen>\{1, \underline{2, 3}\} //индекс наибольшего подвижного элемента </texfont color=darkgreen> {{ '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] -подвижный) '''and''' ((id == -1) '''or''' (perm[i] > perm[id])) id = i '''if''' (id == -}} берем следующую перестановку и записываем тройку в конец1) '''break''' <font color=darkgreen> //не нашли подвижного элемента</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] > perm[id]) * reverse(dir[i]) <texfont color=darkgreen>\{\underline{1, 3}, 2\} //меняем направление стрелки</texfont color=darkgreen> {{---}} двигаем в начало * swap(id) <texfont color=darkgreen>\{3 //меняем элемент perm[id], 1, 2\}dir[id] c элементом по направлению стелки</font color=darkgreen> '''return''' result </texcode>
Код Грея получен=== Доказательство корректности ===Очевидно, что требование о том, что каждая генерируемая перестановка отличается от предыдущей транспозицией двух соседних элементов выполнено исходя из самого алгоритма. Осталось доказать, что таким образом мы сгенерируем все перестановки.
== Псевдокод получения Грея ==Будем использовать обозначения:*<tex>\overset{\text {$\to$}}{a}</tex> {{---}} элемент с заданным направлением(компонента).*<tex>P[i]</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex>.*<tex>P[i]\backslash\{a\}\;</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex> без элемента <tex>a</tex>.
Получаем код Грея рекурсивно, в базовом случае ({{Утверждение|id=approval1|statement=Число <tex>n = 1</tex>) возвращаем список из одной в перестановке не является подвижным элементом тогда и только тогда, когда первая компонента перестановки есть <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> или последняя компонента есть <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}</tex>.}}
gray_code(n):
if n == 1:
return = [{1}]
else:
result = []
perms = gray_code(n - 1)
backward = false
for perm in perms:
if backward:
current = concat(perm, {n})
result.append(current)
for (i = n; i > 1; i--):
swap(current[i - 1], current[i])
result.append(current)
else:
current = concat({n}, perm)
result.append(current)
for (i = 1; i < n; i++):
swap(current[i], current[i + 1])
result.append(current)
backward = !backward
return result
* [[Коды Грея]]
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition='''Коды Грея для перестановокЭлементарная транспозиция''' {{---}} упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией(англ.<br> '''Элементарная транспозиция'Adjacent transposition'' ) {{---}} транспозиция перестановка местами двух соседних элементов.}} == Примеры кодов '''Коды Грея для перестановок == ''' (англ. ''Gray code for permutation'') {| border="1" cellpadding="3" | <tex>n = 2</tex> || <tex>\{1, 2\}</tex> || <tex>\{2, 1\}</tex> |- | <tex>n = 3</tex> || <tex>\{1, 2, 3\--}</tex> || <tex>\{1, 3, 2\}</tex> || <tex>\{3упорядочение перестановок, 1, 2\}</tex> || <tex>\{3, 2, 1\}</tex> || <tex>\{2, 3, 1\}</tex> || <tex>\{2, 1, 3\}</tex> |}при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.
== Построение кода Грея для перестановок ==
Будем строить код Грея для длины <tex>n = k</tex>. Предположим, что нам известен [[Коды Грея | код Грея ]] для перестановок длиной <tex>k - 1</tex>. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>
Сначала запишем число <tex>k</tex> в начало этой перестановки, после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов).
* <tex>\{\underline{k, a_1}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>
* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, k\}</tex>
Получим <tex>k</tex> различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую строку перестановку из кода Грея для перестановок длиной длины <tex>n = k - 1</tex>, которая будет выглядеть так и припишем в конце число <tex>k</tex>. Эта перестановка отличается на одну элементарную транспозицию (т.к. мы получилипоследние элементы совпадают, что элемент стоящий а префиксы длины <tex>k - 1</tex> отличаются на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо, то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторымэлементарную транспозицию). Пусть она имеет следующий вид:
<tex>\{a_2b_1, a_1b_2, a_3b_3, \dots, a_b_{k-1}\}</tex>
Элемент <tex>k</tex> записываем в конец и начинаем "двигать" его влево:
* <tex>\{a_2b_1, a_1b_2, a_3b_3, \dots, \underline{a_b_{k-1}, k}\}</tex>* <tex>\{a_2b_1, a_1b_2, a_3b_3, \underline{\dots, k}, a_b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_2b_1, a_1b_2, \underline{a_3b_3, k}, \dots, a_b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_2b_1, \underline{a_1b_2, k}, a_3b_3, \dots, a_b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{\underline{a_2b_2, k}, a_1b_1, a_3b_3, \dots, a_b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{k, a_2b_1, a_1b_2, a_3b_3, \dots, a_b_{k-1}\}</tex> Продолжаем аналогично. Для каждой перестановки дописываем <tex>k</tex> в один конец (поочерёдно), и с помощью элементарных транспозиций двигаем в другой конец, при этом добавляя каждую промежуточную перестановку в список. Таким образом получаем для каждой перестановки длиной <tex>k - 1</tex> (всего <tex>(k - 1)!</tex> штук) по <tex>k</tex> новых перестановок, в сумме <tex>k\cdot(k - 1)! = k!</tex> перестановок. Все они различны, так как для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент <tex>k</tex> стоит на разных позициях,а если <tex>k</tex> стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной <tex>k - 1</tex>. Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции. Итого, мы получили список из <tex>k!</tex> различных перестановок длиной <tex>k</tex>, причём соседние отличаются в одной элементарной транспозиции. == Примеры кодов Грея для перестановок =='''Перестановки для n = 2'''{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2, 1\} </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1, 2\} </tex>|} '''Перестановки для n = 3''' (подчёркнуты пары переставляемых элементов){| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка!style="background-color:#EEE"| Пояснение|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{3, 2}, 1\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем первую перестановку и добавляем в начало тройку|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2, \underline{3, 1}\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем до последней позиции |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>3</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{2, 1}, 3\}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>4</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1, \underline{2, 3}\}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем следующую перестановку и записываем тройку в конец |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>5</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{1, 3}, 2\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем в начало|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>6</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{3, 1, 2\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| |}
'''list<list<int>>''' gray_code(n): '''if''' n == Пример применения алгоритма 1 '''return''' [{1}] <font color=darkgreen> //возращаем список из одной перестановки</font color=darkgreen> '''else''' '''list<list<int>>''' result = [] <font color=darkgreen> //пустой список</font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' perms = gray_code(n - 1) <font color=darkgreen> //perms {{---}} перестановки из n - 1 элемента</font color=darkgreen> '''bool''' backward = ''false'' <font color=darkgreen> //переменная которая говорит с какой стороны заполнять перестановку</font color=darkgreen> '''for''' perm '''in''' perms <font color=darkgreen> //perm {{---}} текущая перестановка</font color=darkgreen> '''if''' backward '''list<int>''' current = concat(perm, {n})<font color=darkgreen> //дописываем {n} в конец perm</font color=darkgreen> result.append(current)<font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = n '''downto''' 2 swap(current[i - 1], current[i])<font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''else''' '''list<int>''' current = concat({n}, perm) <font color=darkgreen> //дописываем {n} в начало perm</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n - 1 swap(current[i], current[i + 1]) <font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> backward = '''not''' backward <font color=darkgreen> //меняем состояние backward</font color=darkgreen> '''return''' result <font color=darkgreen> //возвращаем ответ в виде списка</font color=darkgreen>
{{Лемма
|id=lemma1
|statement=Если в перестановке <tex>P[i]</tex> есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то также определены перестановки <tex>P[i + 1] ... P[i + n]</tex>. Причём, <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.
|proof=Заметим, что если в перестановке есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то после транспозиции его с соседним элементом(по направлению стрелки), нам нужно будет заменить направление стрелок у всех элементов больше <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента из перестановки, то направление стрелки у него тоже изменится. По нашему утверждению, либо в новой перестановке окажется компонента <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}</tex> на первой позиции, либо компонента <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> на последней позиции. В обоих случаях <tex>n</tex> окажется подвижным элементом в следующих <tex>n</tex> перестановках. Так как в следующих <tex>n</tex> перестановках подвижным элементом будет только <tex>n</tex>, то <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.
}}
Теперь докажем основную лемму.
{{Лемма
|id=lemma2
|statement=Алгоритм Джонсона-Троттера строит все перестановки из <tex>n</tex> элементов, причём каждая перестановка отличаются от предыдущей транспозицией двух соседних элементов.
|proof=Доказывать будем по индукции. Для <tex>n = 1\; - </tex> очевидно. Предположим, что для <tex>n - 1</tex> алгоритм строит перестановки корректно. Докажем, что алгоритм будет корректно строить перестановки и для <tex>n</tex> элементов. Разобьём все <tex>n!</tex> перестановок на блоки по <tex>n</tex> (подряд). В силу вышедоказанной леммы в каждом блоке <tex>P[i]\backslash\{n\} = P[i + 1]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>, если <tex>i\; - </tex> начало группы. Значит, в каждой группе какая-то перестановка из <tex>n - 1</tex> элемента дополняется до перестановки из <tex>n</tex> всеми возможными способами. Теперь докажем, что на переход между блоками элемент <tex>n</tex> никак не влияет. Заметим, что при переходе между блоками <tex>n</tex> является неподвижным элементом. В силу нашего утверждения <tex>n</tex> стоит либо на первой, либо на последней позиции. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента, то никакой подвижный элемент не может указывать на <tex>n</tex>. В силу этих фактов <tex>n</tex> никак не повлияет на переход между блоками.
Из этого можно сделать вывод, что при переходе между блоками перестановки строятся так же, как и перестановки из <tex>n - 1</tex> элемента, а каждая такая перестановка дополняется до перестановки из <tex>n</tex> элементов всеми возможными способами.
Корректность алгоритма доказана.
}}
===Асимптотика===
Поговорим об асиптотике. Снова разобьём наши перестановки на блоки по <tex>n</tex> элементов. Немного модифицируем алгоритм. Заметим, что в каждом блоке нам нужно искать максимальный элемент только один раз. В остальных случаях этим элементом будет <tex>n</tex>. Следовательно, менять направление стрелок нужно тоже только один раз(в остальных случаях менять направления не нужно, так как <tex>n</tex> - подвижный элемент, а менять направление стрелок нужно только у бóльших элементов). Следовательно, блок выполняется за <tex>O(n) + O(n) + O(n) = O(n)</tex>. Всего блоков <tex> -\:(n - 1)!</tex>. Общая асимптотика <tex>O(n) \cdot (n - 1)! = O(n!)</tex>.
===Сравнение с рекурсивным алгоритмом===
Главным приемуществом алгоритма Джонсона-Троттера является то, что нам не нужно хранить все предыдущие перестановки (из <tex>n - 1</tex> элемента), а только текущую. Следовательно, этот алгоритм потребляет только <tex>O(n)</tex> памяти. Также, из-за нерекурсивности этот алгоритм работает быстрее.
===Интересный факт===
Существует более общая формулировке задачи {{---}} для двух соседних перестановок должно выполняться, что позиции одинаковых чисел в них отличаются не более, чем на единицу.
Для этой формулировки верно, что для любой перестановки <tex>u</tex> число различных перестановок <tex>v</tex>, которые могут стоять после <tex>u</tex>, равно <tex>n + 1</tex> числу Фибоначчи.
Этот факт был открыт студентом нашего университета.
== Сведение задачи построения кода Грея для перестановок к графам ==
Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть [[Основные_определения_теории_графов | граф]], вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам <tex>f</tex> и <tex>g</tex>, соединены ребром, если <tex>g</tex> образуется из <tex>f</tex> однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.
== См. также ==
* [[Комбинаторные объекты]]
* [[NP-полнота_задач_о_гамильтоновом_цикле_и_пути_в_графах | Гамильтонов путь]] == Литература Источники информации ==* Романовский, И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург , 2003 . - стр. 39-41- ISBN 5-94157-330-8* Федоряева Т.И. Комбинаторные алгоритмы - Новосибирск, 2011. - стр. 36-46 - ISBN 978-5-4437-0019-9* Ананий Левитин, Алгоритмы. Введение в разработку и анализ - Москва. Санкт-Петербург. Киев, 2006. - стр. 226 - 229 - ISBN 5-8459-0987-2[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Комбинаторика ]]
