1632
правки
Изменения
м
== Определения ==* <tex>\{\underline{k, a_1}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, \underline{k, a_2}, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, \underline{k, a_3}, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \underline{k, \dots}, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k, a_{k-1}}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, k\}</tex>
{{Определение|definition='''Коды Получим <tex>k</tex> различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую перестановку из кода Грея для перестановок''' длины <tex>k - 1</tex> и припишем в конце число <tex>k</tex>. Эта перестановка отличается на одну элементарную транспозицию (последние элементы совпадают, а префиксы длины <tex>k - 1</tex> отличаются на элементарную транспозицию). Пусть она имеет следующий вид: <tex>\{b_1, b_2,b_3, \dots, b_{k---1}\} упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.<br/tex>
'''Элементарная транспозиция''' {{---}} транспозиция двух соседних элементов.}}Элемент <tex>k</tex> записываем в конец и начинаем "двигать" его влево:
== Примеры кодов Грея для перестановок ==* <tex>\{b_1, b_2, b_3, \dots, \underline{b_{k-1}, k}\}</tex>* <tex>\{b_1, b_2, b_3, \underline{\dots, k}, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{b_1, b_2, \underline{b_3, k}, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{b_1, \underline{b_2, k}, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{\underline{b_2, k}, b_1, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>* <tex>\{k, b_1, b_2, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>
{| border="1" cellpadding="3" | $n = 2$ || $\{1Продолжаем аналогично. Для каждой перестановки дописываем <tex>k</tex> в один конец (поочерёдно), 2\}$ || $\{2и с помощью элементарных транспозиций двигаем в другой конец, 1\}$ |- | $n = 3$ || $\{1, 2, 3\}$ || $\{1, 3, 2\}$ || $\{3, 1, 2\}$ || $\{3, 2, 1\}$ || $\{2, 3, 1\}$ || $\{2, 1, 3\}$ |}при этом добавляя каждую промежуточную перестановку в список.
Будем строить код == Примеры кодов Грея для длины $перестановок =='''Перестановки для n = k$2'''{| style="background-color:#CCC;margin:0. Предположим, что нам известен код Грея для перестановок длиной $k 5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка|-|style="background- color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1$. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид</tex>|style="background-color:#FFF;padding: $2px 30px"| <tex>\{a_1, a_2, a_32, 1\} </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\dots, a_{k-1, 2\}\</tex>|}$
Сначала запишем $k$ в начало этой перестановки, после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями '''Перестановки для n = 3''' (подчёркнуты пары переставляемых элементов){| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка!style="background-color:#EEE"| Пояснение|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{3, 2}, 1\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем первую перестановку и добавляем в начало тройку|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2, \underline{3, 1}\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем до последней позиции |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>3</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{2, 1}, 3\}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>4</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1, \underline{2, 3}\}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем следующую перестановку и записываем тройку в конец |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>5</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{1, 3}, 2\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем в начало|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>6</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{3, 1, 2\} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| |}
* $\{\underline{k, a_1}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}$* $\{a_1, \underline{k, a_2}, a_3, \dots, a_{k-1}\}$* $\{a_1, a_2, \underline{k, a_3}, \dots, a_{k-1}\}$* $\{a_1, a_2, a_3, \underline{k, \dots}, a_{k-1}\}$* $\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k, a_{k-1}}\}$* $\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, k\}$== Псевдокод получения кода Грея ==
Получим $k$ различных перестановокПолучаем код Грея рекурсивно, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую строку из кода Грея для перестановок длиной $в базовом случае <tex>n = k - 1$, которая будет выглядеть так (т.к. мы получили, что элемент стоящий на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо см</tex> возвращаем список из одной перестановки <tex>\{1\}</tex>. (1), (2), то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):
Элемент $a_{k}$ записываем == Реализация в конец и начинаем "двигать" его влево:нерекурсивном виде. Алгоритм Джонсона-Троттера ==
*{a<sub>2</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>, a<sub>k</sub>} (4)=== Идея ===*{aСопоставим каждому элементу перестановки <subtex>2</sub>, a<sub>1p[i]</subtex>, aнаправление <subtex>3d[i]</subtex>, ..., Будем указывать направление при помощи стрелок '''a<sub>k</sub>←''', ("влево") или '''a<sub>k - 1</sub>→'''}*..........("вправо").Назовём элемент подвижным, если по направлению стрелки стоит элемент меньше его...............*{a<sub>2</sub>Например, aдля <subtex>p = \{1</sub>, a<sub>3</sub>, '''a<sub>k</sub>'''2, ...4, a<sub>k - 1</sub>5\}*,\;d = \{a<sub>2</sub>\leftarrow, a<sub>1</sub>\to, '''a<sub>k</sub>'''\leftarrow, '''a<sub>3</sub>'''\to, ..., a<sub>k - 1</sub>\leftarrow\}*{a<sub>2</subtex>, '''aподвижными являются элементы <subtex>k</sub>''', '''a<sub>13</subtex>''', aи <subtex>35</subtex>. На каждой итерации алгоритма будем искать наибольший подвижный элемент и менять местами с элементом, который стоит по направлению стрелки.После чего поменяем направление стрелок на противоположное у всех элементов больших текущего.., aИзначально <subtex>k - p = \{1</sub>, \dots ,n\}*,\;d = \{'''a<sub>k</sub>'''\leftarrow, '''a<sub>2</sub>'''\dots , a<sub>1\leftarrow\}</subtex>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>}
Опять получили $k$ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Далее берем третью строку из кода Грея === Пример работы алгоритма для перестановок длиной $n = k - 3 ===*<tex> p = \{1, 2, \textbf{3}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{1, \textbf{3}, 2\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{3, 1$, записываем в ее начало элемент $a_\textbf{k2}$ и двигаем его вправо\}\;\;\;d = \{\leftarrow, как для первой перестановки и т.д.\leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{\textbf{3}, 2, 1\}\;\;\;d = \{\to, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{2, \textbf{3}, 1\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{2, 1, 3\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \to\}</tex>
Для каждой перестановки длиной $n = k - == Псевдокод ===<code> <font color=darkgreen>//Элементы нумеруются начиная с 1$ </font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' gray_code(всего их $(k - n): '''list<int>''' perm = {1)!$) мы получили $k$ новых перестановок, ... Итого $k\cdot(k - 1)! , n} '''list<char>''' dir = k!$ перестановок{←, . Все они различны, т.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент $a_{k}$ стоит на разных позициях,а если $a_{k←}$ стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной $n '''list<list<int>>''' result '''while''' ''true'' result.append(perm); <font color=darkgreen> //добавляем в ответ текущую перестановку</font color=darkgreen> '''int''' id = k - 1$ ; <font color=darkgreen> //индекс наибольшего подвижного элемента </font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] - подвижный) '''and''' (см. (3id == -1), '''or''' (4perm[i] > perm[id])). Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной транспозиции id = i '''if''' (образованные от одной перестановки различны благодаря построению, от разных перестановок {{id == ---}} имеют $a_{k}$ на одной и той же позиции, но отличаются в одной транспозиции, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной $n 1) '''break''' <font color=darkgreen> //не нашли подвижного элемента</font color=darkgreen> '''for''' i = k - 1$, см '''to''' n '''if''' (3perm[i] > perm[id]), reverse(4dir[i])<font color=darkgreen> //меняем направление стрелки</font color=darkgreen> swap(id). Таким образом мы получили $k!$ различных перестановок длиной $k$<font color=darkgreen> //меняем элемент perm[id], отличающихся в одной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной $n$ получен.dir[id] c элементом по направлению стелки</font color=darkgreen> '''return''' result </code>
Рассмотрим код Грея для длины Будем использовать обозначения:*<tex>\overset{\text {$n = 2\to$:}}{a}</tex> {{---}} элемент с заданным направлением(компонента).*<tex>P[i]</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex>.*<tex>P[i]\backslash\{a\}\;</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex> без элемента <tex>a</tex>.
{1, 2}
Тогда следуя алгоритму полученный код будет выглядеть так (жирным выделены элементы, которые поменялись):
* {3{Лемма|id=lemma1 |statement=Если в перестановке <tex>P[i]</tex> есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, 2то также определены перестановки <tex>P[i + 1] ... P[i + n]</tex>. Причём, <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{---n\}} берем первую перестановку и добавляем </tex>.|proof=Заметим, что если в начало тройку* {'''2'''перестановке есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то после транспозиции его с соседним элементом(по направлению стрелки), нам нужно будет заменить направление стрелок у всех элементов больше <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента из перестановки, '''3'''то направление стрелки у него тоже изменится. По нашему утверждению, 1} либо в новой перестановке окажется компонента <tex>\overset{\text {---$\to$}} двигаем до последней позиции* {2, '''1''', '''3'''n}* {'''1'''</tex> на первой позиции, '''2''', 3} либо компонента <tex>\overset{\text {---$\leftarrow$}}{n} берем следующую перестановку и записываем тройку </tex> на последней позиции. В обоих случаях <tex>n</tex> окажется подвижным элементом в конец* следующих <tex>n</tex> перестановках. Так как в следующих <tex>n</tex> перестановках подвижным элементом будет только <tex>n</tex>, то <tex>P[i + 1]\backslash\{1, '''3''', '''n\} = P[i + 2''']\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{{---n\}</tex>.} двигаем в начало* {'''3''', '''1''', 2}
Код Грея полученТеперь докажем основную лемму.{{Лемма|id=lemma2|statement=Алгоритм Джонсона-Троттера строит все перестановки из <tex>n</tex> элементов, причём каждая перестановка отличаются от предыдущей транспозицией двух соседних элементов.|proof=Доказывать будем по индукции. Для <tex>n = 1\; - </tex> очевидно. Предположим, что для <tex>n - 1</tex> алгоритм строит перестановки корректно. Докажем, что алгоритм будет корректно строить перестановки и для <tex>n</tex> элементов. Разобьём все <tex>n!</tex> перестановок на блоки по <tex>n</tex> (подряд). В силу вышедоказанной леммы в каждом блоке <tex>P[i]\backslash\{n\} = P[i + 1]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>, если <tex>i\; - </tex> начало группы. Значит, в каждой группе какая-то перестановка из <tex>n - 1</tex> элемента дополняется до перестановки из <tex>n</tex> всеми возможными способами. Теперь докажем, что на переход между блоками элемент <tex>n</tex> никак не влияет. Заметим, что при переходе между блоками <tex>n</tex> является неподвижным элементом. В силу нашего утверждения <tex>n</tex> стоит либо на первой, либо на последней позиции. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента, то никакой подвижный элемент не может указывать на <tex>n</tex>. В силу этих фактов <tex>n</tex> никак не повлияет на переход между блоками.Из этого можно сделать вывод, что при переходе между блоками перестановки строятся так же, как и перестановки из <tex>n - 1</tex> элемента, а каждая такая перестановка дополняется до перестановки из <tex>n</tex> элементов всеми возможными способами.Корректность алгоритма доказана. }}
Пусть ===Сравнение с рекурсивным алгоритмом===Главным приемуществом алгоритма Джонсона-Троттера является то, что нам известен код Грея для длины $не нужно хранить все предыдущие перестановки (из <tex>n - 1$</tex> элемента), а только текущую. Следовательно, записанный в массив prev_perm[i]этот алгоритм потребляет только <tex>O(jn)</tex> памяти. Также, где $i$ из- номер перестановки, $j$ - номер элемента этой перестановки (номерация начинается с единицы)за нерекурсивности этот алгоритм работает быстрее.
t := false; {булевская переменная отвечающая за порядок перебора true: от начала к концу false: от конца к началу} for i := 1 to (n - 1)! do {перебираем все прошлые перестановки} if t = true thenИнтересный факт=== begin insert(prev_perm[i], t); Существует более общая формулировке задачи {{вставляем в конец, если t = true} writeln(prev_perm[i]); for j := 1 to n - 1 do {для каждой перестановки делаем n - 1 транспозиций-} begin swap(prev_perm[i](j), pred_perest[i](j + 1)); {меняем j и j + 1 элементы местами} t := false; writeln(prev_perm[i]); end; end else begin insert(prev_perm[i]для двух соседних перестановок должно выполняться, t); {вставляем что позиции одинаковых чисел в началоних отличаются не более, если t = false}чем на единицу. writeln(prev_perm[i]); for j := Для этой формулировки верно, что для любой перестановки <tex>u</tex> число различных перестановок <tex>v</tex>, которые могут стоять после <tex>u</tex>, равно <tex>n - 1 downto 1 do begin swap(prev_perm[i](j), prev_perm[i](j + 1)); {меняем j и j + 1 элементы местами} t := true; writeln(prev_perm[i]); end;</tex> числу Фибоначчи. end;Этот факт был открыт студентом нашего университета.
* [[Коды Грея]]
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение|definition ='''Элементарная транспозиция''' (англ. ''Adjacent transposition'') {{---}} перестановка местами двух соседних элементов.}} '''Коды Грея для перестановок''' (англ. ''Gray code for permutation'') {{---}} упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.== Построение кода Грея для перестановок == Будем строить код Грея для длины <wikitextex>n = k</tex>. Предположим, что нам известен [[Коды Грея | код Грея]] для перестановок длиной <tex>k - 1</tex>. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex> Сначала запишем число <tex>k</tex> в начало этой перестановки, после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов).
Таким образом получаем для каждой перестановки длиной <tex>k - 1</tex> (всего <tex>(k - 1)!</tex> штук) по <tex>k</tex> новых перестановок, в сумме <tex>k\cdot(k - 1)! == Построение k!</tex> перестановок. Все они различны, так как для любых двух перестановок из нового кода Грея для элемент <tex>k</tex> стоит на разных позициях,а если <tex>k</tex> стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной <tex>k - 1</tex>. Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции. Итого, мы получили список из <tex>k!</tex> различных перестановок ==длиной <tex>k</tex>, причём соседние отличаются в одной элементарной транспозиции.
'''list<list<int>>''' gray_code(n): '''if''' n == 1 '''return''' [{1}] <font color=darkgreen> //возращаем список из одной перестановки</font color=darkgreen> '''aelse''' '''list<list<int>>''' result = [] <subfont color=darkgreen>2 //пустой список</subfont color=darkgreen> ''', list<list<int>>'''aperms = gray_code(n - 1) <subfont color=darkgreen> //perms {{---}} перестановки из n - 1элемента</font color=darkgreen> '''bool''' backward = ''false'' <font color=darkgreen> //переменная которая говорит с какой стороны заполнять перестановку</font color=darkgreen> '''for''' perm '''in''' perms <font color=darkgreen> //perm {{---}} текущая перестановка</subfont color=darkgreen> '''if''' backward '''list<int>''' current = concat(perm, a{n})<subfont color=darkgreen>3 //дописываем {n} в конец perm</subfont color=darkgreen> result.append(current)<font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = n '''downto''' 2 swap(current[i - 1], current[i])<font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''else''' '''list<int>''' current = concat({n}, perm) <font color=darkgreen> //дописываем {n} в начало perm</font color=darkgreen> result.., aappend(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current<sub/font color=darkgreen>k '''for''' i = 1 '''to''' n - 1 swap(current[i], current[i + 1]) <font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</subfont color=darkgreen> backward = '''not''' backward <font color=darkgreen> //меняем состояние backward</font color=darkgreen> '''return''' result <font color=darkgreen> //возвращаем ответ в виде списка</font color=darkgreen>}
== Пример применения алгоритма = Доказательство корректности ===Очевидно, что требование о том, что каждая генерируемая перестановка отличается от предыдущей транспозицией двух соседних элементов выполнено исходя из самого алгоритма. Осталось доказать, что таким образом мы сгенерируем все перестановки.
{2{Утверждение|id=approval1|statement=Число <tex>n</tex> в перестановке не является подвижным элементом тогда и только тогда, 1когда первая компонента перестановки есть <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> или последняя компонента есть <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}</tex>.}}
== Псевдокод получения следующего кода Грея =Асимптотика===Поговорим об асиптотике. Снова разобьём наши перестановки на блоки по <tex>n</tex> элементов. Немного модифицируем алгоритм. Заметим, что в каждом блоке нам нужно искать максимальный элемент только один раз. В остальных случаях этим элементом будет <tex>n</tex>. Следовательно, менять направление стрелок нужно тоже только один раз(в остальных случаях менять направления не нужно, так как <tex>n</tex> - подвижный элемент, а менять направление стрелок нужно только у бóльших элементов). Следовательно, блок выполняется за <tex>O(n) + O(n) + O(n) = O(n)</tex>. Всего блоков <tex> -\:(n - 1)!</tex>. Общая асимптотика <tex>O(n) \cdot (n - 1)! = O(n!)</tex>.
== Сведение задачи построения кода Грея для перестановок к графам ==
Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть [[Основные_определения_теории_графов | граф]], вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам $<tex>f$ </tex> и $<tex>g$</tex>, соединены ребром, если $<tex>g$ </tex> образуется из $<tex>f$ </tex> однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.
== См. также ==
* [[Комбинаторные объекты]]
* [[NP-полнота_задач_о_гамильтоновом_цикле_и_пути_в_графах | Гамильтонов путь]] == Литература Источники информации ==* Романовский, И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург , 2003 . - стр. 39-41- ISBN 5-94157-330-8* Федоряева Т.И. Комбинаторные алгоритмы - Новосибирск, 2011. - стр. 36-46 - ISBN 978-5-4437-0019-9* Ананий Левитин, Алгоритмы. Введение в разработку и анализ - Москва. Санкт-Петербург. Киев, 2006. - стр. 226 - 229 - ISBN 5-8459-0987-2[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Комбинаторика ]]