Изменения

{{Определение| definition ='''Система (лес, объединение) непересекающихся множеств''' (СНМ, disjoint set forest, DSF, disjoint set union, DSU) {{--- }} иерархическая структура данных, поддерживающая позволяющая эффективно работать с множествами. __TOC__== Описание ==Структура хранит набор объектов (например, чисел от <tex> 0 </tex> до <tex> n - 1 </tex>) в виде непересекающихся множеств. У каждого множества есть конкретный представитель. Определены две операции :* <texmath> \mathrm{union(x, y) } </texmath> {{ - объединения множеств-- }} объединяет множества, содержащих содержащие <tex> x </tex> и <tex> y, и </tex> * <math> \mathrm{find(kx) } </texmath> {{ -- поиск - }} возвращает представителя множества, которому принадлежит элемент kв котором находится <tex> x </tex>Для любого элемента множества представитель всегда одинаковый.Поэтому чтобы проверить принадлежность элементов <tex> x </tex> и <tex> y </tex> одному множеству достаточно сравнить <math> \mathrm{find (x)}</math> и <math> \mathrm{find(y)}</math>.

=== С помощью массива "цветов" === <!--'''Оценка работы:'''{| class="wikitable" border="1" |<tex>init</tex> |<tex>find</tex> |<tex>union</tex>

Введем массив <tex>color</tex--> Пусть в массиве s хранятся номера множеств, в <tex>colors[i]</tex> будет храниться цвет номер множества, к которому принадлежит <tex>i</tex>. Этот номер отождествляет множество, <math> \mathrm{find} </math> возвращает именно его. Тогда <texmath>\mathrm{find} </texmath>, очевидно, будет работать за <tex>O(1)</tex>. Чтобы объединить множества <tex> x </tex> и <tex> y </tex>, надо изменить все <tex> s[i] </tex>, равные номеру множества <tex> x </tex>, на номер <tex> y </tex>. Тогда <math> \mathrm{union} </math> работает за <tex>O(n)</tex>.  '''int''' s[n] '''func''' init(): '''for''' i = 0 '''to''' n - 1 s[i] = i <font color=green> // сначала каждый элемент лежит в своем множестве </font>

Чтобы объединить множества <tex>x</tex> и <tex>y</tex>, надо изменить все <tex>color '''int''' find(k): '''return''' s[ik]</tex>, равные цвету <tex>x</tex>, на цвет <tex>y</tex>. Тогда <tex>union</tex> работает за <tex>O(n)</tex>.

Псевдокод: int color[n] init(): for i = 0 to n - 1: color[i] = i //сначала каждый элемент лежит в своем множестве find(k): return color[k] '''func''' union(x, y): '''if color''' s[x] == colors[y]: '''return''' '''else:''' t = colors[y] '''for ''' i = 0 '''to ''' n - 1: '''if color''' s[i] == t: colors[i] = colors[x]

<!--'''Оценка работы:'''{| class="wikitable" border="1" |<tex>init</tex> |<tex>find</tex> |<tex>union</tex>

|}--> Пусть каждое Будем хранить множество хранится в виде списка. Вначале создается n списков, в котором каждый элемент является представителем своего множества. Для каждого элемента списка будем хранить храним ссылку на следующий элемент(next) и ссылку указатель на <tex> head </tex>, который является представителем. Для того чтобы найти представителя, нужно перейти по ссылке на хвост<tex> head </tex>. Значит <math> \mathrm{find} </math> работает за <tex> O(tail1)</tex>. Тогда для  Для объединения множеств надо будет просто перекинуть ссылку next потребуется объединить два списка и обновить ссылки на начало другого множества<tex> head </tex>. Таким образом, <texmath> \mathrm{union } </texmath> работает за <tex> O(1n) </tex>.Чтобы объединить два списка, нужно хранить ссылку на <tex> tail </tex>. Ее можно хранить в голове списка.  '''struct''' SetItem '''int''' data '''SetItem''' head '''SetItem''' next '''SetItem''' tail

Для того, чтобы найти элемент в одном из множеств, надо идти по next 'ам, пока он не указывает на Null - тогда мы нашли элемент-представитель. Таким образом, <tex> find </tex> работает за <tex> O(''SetItem''' s[n) </tex>.]

Псевдокод: s[n] '''func''' init(): '''for ''' i = 0 '''to ''' n - 1: s[i].set data = i s[i].next head = Nulls[i]

find(x)://подразумевается, что x - ссылка на один из элементов while x.next != Null: x = x.parent return x.set union(x, y)://здесь важно, что x и y - представители множеств if x == y: return else: ys[i].next = x.tail x.tail = y.tailnull

Два списка до операции union '''int''' find('''SetItem''' x): <font color=green> // подразумевается, что <tex> x </tex> {{ --- }} ссылка на один из элементов </font>[[Файл:1 '''return''' x.head.GIF]]data

Два списка после операции '''func''' union('''SetItem''' x, '''SetItem''' y):<font color=green> // <tex> x </tex> и <tex> y </tex> {{ --- }} элементы множеств</font> x = x.head y = y.head '''if''' x == y '''return''' x.tail.next = y <font color=green> // соединим списки </font> x.tail = y.tail <font color=green> // сделаем корректную ссылку на <tex> tail </tex> в <tex> head</tex></font> '''while''' y <tex> \neq </tex> null <font color=green> // скорректируем ссылки на <tex> head </tex> у элементов множества <tex> y </tex> </font> y.head = x y = y.next [[Файл:2DSU_list_example.GIFpng|800px|center|Пример объединения двух множеств (union)]]

* [[СНМ(списки с весовой эвристикой)]]* [[СНМ(реализация с помощью леса корневых деревьев)]]

== Источники информации ==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BD%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B8%D1%85%D1%81%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2 Википедия {{---}} Система непересекающихся множеств]* [http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/104772/ Система непересекающихся множеств и её применения]