Вопросы к экзамену по функциональному анализу за 5 семестр

1. Определение МП, замыкание в МП.
2. Принцип вложенных шаров в полном МП.
3. Теорема Бэра о категориях.
4. Критерий компактности Хаусдорфа в МП.
5. Пространство [math]R^{\infty}[/math] : метрика, покоординатная сходимость.
6. Норма в линейном множестве, определение предела по норме, арифметика предела.
7. Эквивалентность норм в конечномерном НП.
8. Замкнутость конечномерного линейного подмножества НП.
9. Лемма Рисса о почти перпендикуляре, пример ее применения.
10. Банаховы пространства на примерах [math]C [0,1][/math] и [math]L_p(E)[/math].
11. Определение скалярного произведения, равенство параллелограмма, неравенство Шварца.
12. Наилучшее приближение в НП в случае конечномерного подпространства.
13. Наилучшее приближение в унитарном пространстве, неравенство Бесселя.
14. Определение Гильбертова пространства, сепарабельность и полнота.
15. Теорема Рисса-Фишера, равенство Парсеваля.
16. Наилучшее приближение в [math]H[/math] для случая выпуклого,замкнутого множества, [math]H = H_1 \oplus H_2[/math].
17. Счетно-нормированные пространства, метризуемость.
18. Условие нормируемости СНТП.
19. Функционал Минковского.
20. Топология векторных пространств.
21. Теорема Колмогорова о нормируемости ТВП.
22. Коразмерность ядра линейного функционала.
23. Непрерывный линейный функционал и его норма.
24. Связь между непрерывностью линейного функционала и замкнутостью его ядра.
25. Продолжение по непрерывности линейного функционала со всюду плотного линейного подмножества НП.
26. Теорема Хана-Банаха для НП (сепарабельный случай).
27. Два следствия из теоремы Хана-Банаха.
28. Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в [math]H[/math].
29. Непрерывный линейный оператор и его норма.
30. Продолжение линейного оператора по непрерывности.
31. Полнота пространства [math]L(X,Y)[/math].
32. Теорема Банаха-Штейнгауза.
33. Условие замкнутости множества значений линейного оператора на базе априорной оценки решения операторного уравнения.
34. Условие непрерывной обратимости лин. оператора.
35. Теорема Банаха о непрерывной обратимости [math]I-C[/math].
36. Лемма о множествах [math]X_n = {\|Ax\| \lt n \|x\|}[/math].
37. Теорема Банаха об обратном операторе.
38. Теорема о замкнутом графике.
39. Теорема об открытом отображении.
40. Теорема о резольвентном множестве.
41. Теорема о спектральном радиусе.
42. Аналитичность резольвенты.
43. Непустота спектра ограниченного оператора.