Вопросы к экзамену по функциональному анализу за 5 семестр — различия между версиями
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
|||
(не показаны 3 промежуточные версии 3 участников) | |||
Строка 14: | Строка 14: | ||
# Определение Гильбертова пространства, сепарабельность и полнота. | # Определение Гильбертова пространства, сепарабельность и полнота. | ||
# Теорема Рисса-Фишера, равенство Парсеваля. | # Теорема Рисса-Фишера, равенство Парсеваля. | ||
− | # Наилучшее приближение в <tex>H</tex> для случая выпуклого,замкнутого множества, <tex>H = H_1 | + | # Наилучшее приближение в <tex>H</tex> для случая выпуклого,замкнутого множества, <tex>H = H_1 \oplus H_2</tex>. |
# Счетно-нормированные пространства, метризуемость. | # Счетно-нормированные пространства, метризуемость. | ||
# Условие нормируемости СНТП. | # Условие нормируемости СНТП. | ||
Строка 34: | Строка 34: | ||
# Условие непрерывной обратимости лин. оператора. | # Условие непрерывной обратимости лин. оператора. | ||
# Теорема Банаха о непрерывной обратимости <tex>I-C</tex>. | # Теорема Банаха о непрерывной обратимости <tex>I-C</tex>. | ||
− | # Лемма о множествах <tex>X_n = { | + | # Лемма о множествах <tex>X_n = {\|Ax\| < n \|x\|}</tex>. |
# Теорема Банаха об обратном операторе. | # Теорема Банаха об обратном операторе. | ||
# Теорема о замкнутом графике. | # Теорема о замкнутом графике. |
Текущая версия на 19:29, 4 сентября 2022
- Определение МП, замыкание в МП.
- Принцип вложенных шаров в полном МП.
- Теорема Бэра о категориях.
- Критерий компактности Хаусдорфа в МП.
- Пространство : метрика, покоординатная сходимость.
- Норма в линейном множестве, определение предела по норме, арифметика предела.
- Эквивалентность норм в конечномерном НП.
- Замкнутость конечномерного линейного подмножества НП.
- Лемма Рисса о почти перпендикуляре, пример ее применения.
- Банаховы пространства на примерах и .
- Определение скалярного произведения, равенство параллелограмма, неравенство Шварца.
- Наилучшее приближение в НП в случае конечномерного подпространства.
- Наилучшее приближение в унитарном пространстве, неравенство Бесселя.
- Определение Гильбертова пространства, сепарабельность и полнота.
- Теорема Рисса-Фишера, равенство Парсеваля.
- Наилучшее приближение в для случая выпуклого,замкнутого множества, .
- Счетно-нормированные пространства, метризуемость.
- Условие нормируемости СНТП.
- Функционал Минковского.
- Топология векторных пространств.
- Теорема Колмогорова о нормируемости ТВП.
- Коразмерность ядра линейного функционала.
- Непрерывный линейный функционал и его норма.
- Связь между непрерывностью линейного функционала и замкнутостью его ядра.
- Продолжение по непрерывности линейного функционала со всюду плотного линейного подмножества НП.
- Теорема Хана-Банаха для НП (сепарабельный случай).
- Два следствия из теоремы Хана-Банаха.
- Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в .
- Непрерывный линейный оператор и его норма.
- Продолжение линейного оператора по непрерывности.
- Полнота пространства .
- Теорема Банаха-Штейнгауза.
- Условие замкнутости множества значений линейного оператора на базе априорной оценки решения операторного уравнения.
- Условие непрерывной обратимости лин. оператора.
- Теорема Банаха о непрерывной обратимости .
- Лемма о множествах .
- Теорема Банаха об обратном операторе.
- Теорема о замкнутом графике.
- Теорема об открытом отображении.
- Теорема о резольвентном множестве.
- Теорема о спектральном радиусе.
- Аналитичность резольвенты.
- Непустота спектра ограниченного оператора.