1632
правки
Изменения
м
Пусть <tex>A:X \rightarrow X</tex> — автоморфизм. Тогда <tex>A^{-1}: X \rightarrow X</tex> называется '''обратным оператором''' к <tex>A</tex>, если <tex>A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = J</tex>.
== Критерий существования ==
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение|definition= Обратный оператор Пусть <tex>\mathcal{A}:X \rightarrow X</tex> — автоморфизм. Тогда <tex>\mathcal{A}^{-1}: X \rightarrow X</tex> называется '''обратным оператором''' к <tex>\mathcal{A}</tex>, если <tex>\mathcal{A} \cdot \mathcal{A}^{-1} =\mathcal{A}^{-1} \cdot \mathcal{A} = J</tex>.}}
{{Теорема|about=Критерий существования <tex>\mathcal{A}^{-1}</tex>|statement = Определение Для <tex>\exists \mathcal{A}^{-1}</tex> нужно и достаточно, чтобы в некотором базисе <tex>\left\{ e \right\}_{i =1}^{n}\ det A \ne 0</tex>|proof=Доказывается в конспекте [[Обратная матрица]]}}
{{Теорема
|about= Критерий существования <tex>\mathcal{A}^{-1}</tex>|statement= для Для <tex>\exists \mathcal {9A} A^{-1}</tex> нужно и достаточно, чтобы в некотором базисе одного из двух условий:# <mathtex>Ker\mathcal{eA}_= \{i = 10_{x}^{n\}</mathtex> # <tex> det Im\mathcal{A \ne 0} = X</tex>.
|proof=
Первое и второе утверждение равносильны в силу равенства <tex>\dim Ker\mathcal{A} + \dim Im\mathcal{A} = \dim X</tex>
<tex>Ker\mathcal{A} = \{0_{x}\} \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^i \xi^k = 0</tex> имеет только тривиальное решение <tex>\Rightarrow det A \ne 0 \Leftrightarrow \exists A^{-1} \Leftrightarrow \exists \mathcal{A}^{-1}</tex>
}}
== Ссылки ==
* [[Обратная матрица]]
* [[Ядро и образ линейного оператора]]
== Источники ==
* Анин конспект
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
[[Категория: Линейные операторы]]
