|
|
Строка 1: |
Строка 1: |
− | {| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
| |
− | |+
| |
− | |-align="center"
| |
− | |'''НЕТ ВОЙНЕ'''
| |
− | |-style="font-size: 16px;"
| |
− | |
| |
− | 24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
| |
− |
| |
− | Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
| |
− |
| |
− | Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
| |
− |
| |
− | Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
| |
− |
| |
− | ''Антивоенный комитет России''
| |
− | |-style="font-size: 16px;"
| |
− | |Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
| |
− | |-style="font-size: 16px;"
| |
− | |[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
| |
− | |}
| |
− |
| |
| __TOC__ | | __TOC__ |
| ==Ортогональная сумма подпространств== | | ==Ортогональная сумма подпространств== |
Текущая версия на 19:29, 4 сентября 2022
Ортогональная сумма подпространств
Определение: |
Пусть [math]L - [/math] подпространство унитарного линейного пространства [math]E[/math], тогда говорят, что [math]x \bot L [/math], если [math]x \bot \forall y \in L [/math] |
Определение: |
Подпространство [math]M=\{[/math] все [math]x \in E: \ x \bot L \}[/math] называется ортогональным дополнением к [math]L[/math] в [math]E[/math], обозначается [math]M=L^ \bot [/math] |
Теорема: |
[math]E=L \dotplus M[/math] |
Доказательство: |
[math]\triangleright[/math] |
Шаг 1. Рассмотрим [math]\{e_1, e_2...e_k\}[/math] — ОРТН базис [math]L \ (k=dimL)[/math].
Шаг 2. Дополним [math]\{e_i\}_{i=1}^{k}[/math] до базиса [math]E[/math], получим [math]\{e_1, e_2...e_k, x_{k+1}...x_n\} \ (n=dimE)[/math].
Шаг 3. Приведем этот набор к ОРТН базису (процесс Грама-Шмидта), в итоге получим [math]\{e_i\}_{i=1}^{n}[/math] — ОРТН базис, при этом [math]\{e_i\}_{i=k+1}^{n} \in M[/math] (по определению и построению)
[math]M=[/math] ло [math]\{e_{k+1}...e_n\}[/math], то есть [math]E=L+M[/math]
Шаг 4. Докажем, что сумма должна быть прямой.
[math]\forall x=\sum\limits_{i=1}^{n}\xi^ie_i=\sum\limits_{i=1}^{k}\xi^ie_i+\sum\limits_{i=k+1}^{n}\xi^ie_i=f+g[/math], где [math]f \in L, g \in M[/math]
[math]f,g[/math] — единственные. Докажем этот факт от противного.
Пусть [math]x=f+g=f_1+g_1 \Rightarrow f-f_1=g_1-g (*)[/math].
[math]\left\langle (*),f-f_1 \right\rangle: \Vert f-f_1 \Vert^2=\left\langle g_1-g,f-f_1\right\rangle=0[/math] (так как [math](g_1-g) \in L, (f-f_1) \in M, L \bot M[/math])
[math]\Rightarrow f-f_1=0 \Rightarrow f=f_1 \Rightarrow g=g_1[/math], то есть разложение единственное, теорема доказана. |
[math]\triangleleft[/math] |
Определение: |
Прямая сумма взаимно перпендикулярных пп называется ортогональной суммой, обозначается как [math]\oplus[/math]. |
NB: [math]E=L \oplus M[/math]
Определение: |
Прямая сумма попарно перпендикулярных пп называется их ортогональной суммой. |
[math] \dotplus \sum\limits_{i=1}^{k} L_i= \oplus \sum\limits_{i=1}^{k}L_i (L_i \bot L_j, i \ne j)[/math]
Ортогональный проектор
Определение: |
Пусть [math]E=L \dotplus M[/math]
[math]\mathcal{P}_{L}^{\Vert M}[/math] называется ортогональным проектором на пп [math]L[/math] и обозначается [math]\mathcal{P}_{L}^{\bot}x[/math].
[math]\mathcal{P}_{M}^{\Vert L}[/math] называется ортогональным проектором на пп [math]M[/math] и обозначается [math]\mathcal{P}_{M}^{\bot}x[/math]. |
Определение: |
[math]x= \mathcal{P}_{L}^{\bot}x+ \mathcal{P}_{M}^{\bot}x[/math] называется разложением вектора [math]x[/math] в сумму ортогональной проекции на пп [math]L[/math] и ортогональной составляющей на пп [math]M[/math]. |
Лемма: |
Пусть [math]\{e_i\}_{i=1}^{k}[/math] — ОРТН базис [math]L \ (dimL=k)[/math] тогда [math]\mathcal{P}_{L}^{\bot}x= \sum\limits_{i=1}^{k}\left\langle x,e_i\right\rangle e_i. [/math] |
Доказательство: |
[math]\triangleright[/math] |
Без ограничения общности рассмотрим [math]\{e_1..e_k, e_{k+1}..e_n\}[/math] — ОРТН базис [math]E[/math], где [math]\{e_i\}_{i=1}^{k}[/math] — ОРТН базис [math]L[/math], a [math]\{e_i\}_{i=k+1}^{n}[/math] — ОРТН базис [math]M[/math] (на остальные вектора распространим по линейности)
Шаг 1. Рассмотрим [math]e_j \ (j=1..k): \mathcal{P}_{L}^{\bot}e_j= \sum\limits_{i=1}^{k}\left\langle e_j,e_i\right\rangle e_i=\left\langle e_j,e_j\right\rangle e_j=e_j \Rightarrow \forall x \in L: \mathcal{P}_{L}^{\bot}x=x[/math]
Шаг 2. Рассмотрим [math]e_s \ (s=k+1..n): \mathcal{P}_{L}^{\bot}e_s= \sum\limits_{i=1}^{k}\left\langle e_s,e_i\right\rangle e_i=0 \Rightarrow \forall y \in M: \mathcal{P}_{L}^{\bot}y=0 [/math] |
[math]\triangleleft[/math] |
Лемма: |
[math] \Vert \mathcal{P}_{L}^{\bot} x \Vert \leqslant \Vert x \Vert, \ \Vert \mathcal{P}_{M}^{\bot} x \Vert \leqslant \Vert x \Vert. [/math] |
Доказательство: |
[math]\triangleright[/math] |
по теореме Пифагора [math] \Vert x \Vert^2 = \Vert \mathcal{P}_{L}^{\bot} x\Vert^2 + \Vert \mathcal{P}_{M}^{\bot} x \Vert^2. [/math]
Отсюда напрямую следует утверждение леммы. |
[math]\triangleleft[/math] |
Задача о перпендикуляре
Определение: |
Задачей о перпендикуляре называется задача отыскания ортогональной составляющей и проекции вектора [math]x[/math], то есть его разложения по формуле: [math]x= \mathcal{P}_{L}^{\bot}x+ \mathcal{P}_{M}^{\bot}x[/math]
(где [math]\mathcal{P}_{L}^{\bot}x[/math] — ортогональный проектор на пп [math]L[/math], [math]L[/math] — пп унитарного пространства [math]E[/math], a [math]\mathcal{P}_{M}^{\bot}x[/math] — ортогональный проектор на пп [math]M[/math], [math]M[/math] — ортогональное дополнение [math]E[/math]). |
Способ 1(через ОРТН базис)
Утверждение: |
1) Найти [math]\{e_i\}_{i=1}^{k}[/math] — ОРТН базис [math]L[/math]
2) [math] \mathcal{P}_{L}^{\bot}x = \sum\limits_{i=1}^{k} \left\langle x,e_i \right\rangle e_i; \ \mathcal{P}_{M}^{\bot} x = x - \mathcal{P}_{L}^{\bot}x. [/math] |
Способ 2 (через систему уравнений)
Утверждение: |
Рассмотрим [math]\{a_1, a_2...a_k\}[/math] — базис [math]L[/math] (не ОРТН)
[math]x= \mathcal{P}_{L}^{\bot}x+ \mathcal{P}_{M}^{\bot}x=\gamma^1a_1 + \gamma^2a_2+...+\gamma^ka_k+\mathcal{P}_{M}^{\bot}x \ (*)[/math]
[math]
\begin{cases}
\left\langle a_1,(*) \right\rangle: \left\langle a_1,x \right\rangle = \overline{\gamma_1}\left\langle a_1,a_1 \right\rangle+...+\overline{\gamma_k}\left\langle a_1,a_k \right\rangle \\
\left\langle a_2,(*) \right\rangle: \left\langle a_2,x \right\rangle = \overline{\gamma_1}\left\langle a_2,a_1 \right\rangle+...+\overline{\gamma_k}\left\langle a_2,a_k \right\rangle \\
\cdot \\
\cdot \\
\left\langle a_k,(*) \right\rangle: \left\langle a_k,x \right\rangle = \overline{\gamma_1}\left\langle a_k,a_1 \right\rangle+...+\overline{\gamma_k}\left\langle a_k,a_k \right\rangle
\end{cases}
[/math]
Решая эту систему уравнений для неизвестных [math]\overline{\gamma_i}[/math], находим коэффициенты разложения [math]\mathcal{P}_{L}^{\bot}x[/math].
[math]\mathcal{P}_{M}^{\bot} x = x - \mathcal{P}_{L}^{\bot}x. [/math] |
Матрица Грама
Определение: |
Пусть [math]\{e_1..e_k\}[/math] — результат ортогонализации по Граму-Шмидту набора [math]\{a_1..a_k\}[/math], тогда [math]G(a_1..a_k)=\Vert e_1 \Vert^2 \cdot \Vert e_2 \Vert^2 \cdot...\cdot \Vert e_k \Vert^2[/math] называется определителем Грама соответствующего набора векторов [math]\{a_i\}_{i=1}^{k}[/math]. |
[math]G(a_1..a_k)= det\begin{pmatrix}
{\left\langle a_1,a_1 \right\rangle} & {\left\langle a_1,a_2 \right\rangle} & \cdots & {\left\langle a_1,a_k \right\rangle} \\
{\left\langle a_2,a_1 \right\rangle} & {\left\langle a_2,a_2 \right\rangle} & \cdots & {\left\langle a_2,a_k \right\rangle} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{\left\langle a_k,a_1 \right\rangle} & {\left\langle a_k,a_2 \right\rangle} & \cdots & {\left\langle a_k,a_k \right\rangle} \\
\end{pmatrix}[/math]
Утверждение: |
[math]0 \leqslant G(a_1..a_k) \leqslant \Vert a_1 \Vert^2 \cdot \Vert a_2 \Vert^2 \cdot...\cdot \Vert a_k \Vert^2[/math] |
Утверждение: |
[math]G(a_1..a_k)=0 \Leftrightarrow \{a_1,a_2...a_k\}[/math] — ЛЗ. |