Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор. Задача о перпендикуляре — различия между версиями
Slavian (обсуждение | вклад) (→Ортогональный проектор) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показаны 4 промежуточные версии 3 участников) | |||
Строка 65: | Строка 65: | ||
{{Лемма | {{Лемма | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex>\{e_i\}_{i=1}^{k}</tex> {{---}} ОРТН базис <tex>L \ (dimL=k)</tex> тогда <tex>\mathcal{P}_{L}^{\bot}x= \sum\limits_{i=1}{k}\left\langle x,e_i\right\rangle e_i. </tex> | + | Пусть <tex>\{e_i\}_{i=1}^{k}</tex> {{---}} ОРТН базис <tex>L \ (dimL=k)</tex> тогда <tex>\mathcal{P}_{L}^{\bot}x= \sum\limits_{i=1}^{k}\left\langle x,e_i\right\rangle e_i. </tex> |
|proof= | |proof= | ||
Строка 72: | Строка 72: | ||
'''Шаг 1.''' Рассмотрим <tex>e_j \ (j=1..k): \mathcal{P}_{L}^{\bot}e_j= \sum\limits_{i=1}^{k}\left\langle e_j,e_i\right\rangle e_i=\left\langle e_j,e_j\right\rangle e_j=e_j \Rightarrow \forall x \in L: \mathcal{P}_{L}^{\bot}x=x</tex> | '''Шаг 1.''' Рассмотрим <tex>e_j \ (j=1..k): \mathcal{P}_{L}^{\bot}e_j= \sum\limits_{i=1}^{k}\left\langle e_j,e_i\right\rangle e_i=\left\langle e_j,e_j\right\rangle e_j=e_j \Rightarrow \forall x \in L: \mathcal{P}_{L}^{\bot}x=x</tex> | ||
− | '''Шаг 2.''' Рассмотрим <tex>e_s \ (s=k+1..n): \mathcal{P}_{L}^{\bot}e_s= \sum\limits_{i=1}{k}\left\langle e_s,e_i\right\rangle e_i=0 \Rightarrow \forall y \in M: \mathcal{P}_{L}^{\bot}y=0 </tex> | + | '''Шаг 2.''' Рассмотрим <tex>e_s \ (s=k+1..n): \mathcal{P}_{L}^{\bot}e_s= \sum\limits_{i=1}^{k}\left\langle e_s,e_i\right\rangle e_i=0 \Rightarrow \forall y \in M: \mathcal{P}_{L}^{\bot}y=0 </tex> |
}} | }} | ||
Строка 87: | Строка 87: | ||
|definition= | |definition= | ||
Задачей о перпендикуляре называется задача отыскания ортогональной составляющей и проекции вектора <tex>x</tex>, то есть его разложения по формуле: <tex>x= \mathcal{P}_{L}^{\bot}x+ \mathcal{P}_{M}^{\bot}x</tex><br> | Задачей о перпендикуляре называется задача отыскания ортогональной составляющей и проекции вектора <tex>x</tex>, то есть его разложения по формуле: <tex>x= \mathcal{P}_{L}^{\bot}x+ \mathcal{P}_{M}^{\bot}x</tex><br> | ||
− | (где <tex>\mathcal{P}_{L}^{\bot}x</tex> {{---}} ортогональный проектор на пп <tex>L</tex>, <tex>L</tex> {{---}} пп унитарного пространства <tex>E</tex>, a <tex>\mathcal{P}_{ | + | (где <tex>\mathcal{P}_{L}^{\bot}x</tex> {{---}} ортогональный проектор на пп <tex>L</tex>, <tex>L</tex> {{---}} пп унитарного пространства <tex>E</tex>, a <tex>\mathcal{P}_{M}^{\bot}x</tex> {{---}} ортогональный проектор на пп <tex>M</tex>, <tex>M</tex> {{---}} ортогональное дополнение <tex>E</tex>). |
}} | }} | ||
Строка 115: | Строка 115: | ||
Решая эту систему уравнений для неизвестных <tex>\overline{\gamma_i}</tex>, находим коэффициенты разложения <tex>\mathcal{P}_{L}^{\bot}x</tex>. | Решая эту систему уравнений для неизвестных <tex>\overline{\gamma_i}</tex>, находим коэффициенты разложения <tex>\mathcal{P}_{L}^{\bot}x</tex>. | ||
<tex>\mathcal{P}_{M}^{\bot} x = x - \mathcal{P}_{L}^{\bot}x. </tex> | <tex>\mathcal{P}_{M}^{\bot} x = x - \mathcal{P}_{L}^{\bot}x. </tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | ==Матрица Грама== | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | Пусть <tex>\{e_1..e_k\}</tex> {{---}} результат ортогонализации по Граму-Шмидту набора <tex>\{a_1..a_k\}</tex>, тогда <tex>G(a_1..a_k)=\Vert e_1 \Vert^2 \cdot \Vert e_2 \Vert^2 \cdot...\cdot \Vert e_k \Vert^2</tex> называется '''определителем Грама''' соответствующего набора векторов <tex>\{a_i\}_{i=1}^{k}</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | <math dpi = "145">G(a_1..a_k)= det\begin{pmatrix} | ||
+ | {\left\langle a_1,a_1 \right\rangle} & {\left\langle a_1,a_2 \right\rangle} & \cdots & {\left\langle a_1,a_k \right\rangle} \\ | ||
+ | {\left\langle a_2,a_1 \right\rangle} & {\left\langle a_2,a_2 \right\rangle} & \cdots & {\left\langle a_2,a_k \right\rangle} \\ | ||
+ | \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ | ||
+ | {\left\langle a_k,a_1 \right\rangle} & {\left\langle a_k,a_2 \right\rangle} & \cdots & {\left\langle a_k,a_k \right\rangle} \\ | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | {{Утверждение | ||
+ | |statement= | ||
+ | <tex>0 \leqslant G(a_1..a_k) \leqslant \Vert a_1 \Vert^2 \cdot \Vert a_2 \Vert^2 \cdot...\cdot \Vert a_k \Vert^2</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Утверждение | ||
+ | |statement= | ||
+ | <tex>G(a_1..a_k)=0 \Leftrightarrow \{a_1,a_2...a_k\}</tex> {{---}} ЛЗ. | ||
}} | }} |
Текущая версия на 19:29, 4 сентября 2022
Содержание
Ортогональная сумма подпространств
Определение: |
Пусть | подпространство унитарного линейного пространства , тогда говорят, что , если
Определение: |
Подпространство | все называется ортогональным дополнением к в , обозначается
Теорема: |
Доказательство: |
Шаг 1. Рассмотрим — ОРТН базис .Шаг 2. Дополним до базиса , получим .Шаг 3. Приведем этот набор к ОРТН базису (процесс Грама-Шмидта), в итоге получим — ОРТН базис, при этом (по определению и построению)ло , то есть Шаг 4. Докажем, что сумма должна быть прямой. , где— единственные. Докажем этот факт от противного. Пусть .(так как ) , то есть разложение единственное, теорема доказана. |
Определение: |
Прямая сумма взаимно перпендикулярных пп называется ортогональной суммой, обозначается как | .
NB:
Определение: |
Прямая сумма попарно перпендикулярных пп называется их ортогональной суммой. |
Ортогональный проектор
Определение: |
Пусть называется ортогональным проектором на пп и обозначается . называется ортогональным проектором на пп и обозначается . |
Определение: |
называется разложением вектора в сумму ортогональной проекции на пп и ортогональной составляющей на пп . |
Лемма: |
Пусть — ОРТН базис тогда |
Доказательство: |
Без ограничения общности рассмотрим — ОРТН базис , где — ОРТН базис , a — ОРТН базис (на остальные вектора распространим по линейности)Шаг 1. Рассмотрим Шаг 2. Рассмотрим |
Лемма: |
Доказательство: |
по теореме Пифагора Отсюда напрямую следует утверждение леммы. |
Задача о перпендикуляре
Определение: |
Задачей о перпендикуляре называется задача отыскания ортогональной составляющей и проекции вектора (где — ортогональный проектор на пп , — пп унитарного пространства , a — ортогональный проектор на пп , — ортогональное дополнение ). | , то есть его разложения по формуле:
Способ 1(через ОРТН базис)
Утверждение: |
1) Найти — ОРТН базис 2) |
Способ 2 (через систему уравнений)
Утверждение: |
Рассмотрим — базис (не ОРТН)
|
Матрица Грама
Определение: |
Пусть | — результат ортогонализации по Граму-Шмидту набора , тогда называется определителем Грама соответствующего набора векторов .
Утверждение: |
Утверждение: |
— ЛЗ. |