Изменения

<tex dpi = "200"> O \mid p_{i,j} = 1 \mid \sum w_{i} U_{i} </tex>

Дано <tex>m</tex> одинаковых станков, которые работают параллельно, и <tex>n</tex> работ, которые необходимо выполнить в произвольном порядке на всех станках. Любая работа на любом станке выполняется за единицу времени. Для каждой работы есть время окончания <tex>d_id_{i}</tex> {{---}} время, до которого она должна быть выполнена. Требуется минимизировать <tex>\sum w_{i} U_{i}</tex>, то есть суммарный вес всех просроченных работ.

==АлгоритмОписание алгоритма==Для решения этой задачи, мы должны найти множество <tex>S</tex> работ, которые успеваем выполнить до дедлайна. Значит нам надо минимизировать: <tex>\sum\limits_{ i \notin S } {w_{i}}</tex>. Будем решать эту задачу с помощью [[Динамическое_программирование|динамического программирования]] с использованием утверждений из решения задачи [[Opij1di|<tex> O \mid p_{i, j} = 1, d_{i} \mid - </tex>]].

Пусть <tex>h^S</tex> {{---}} вектор соответствующий множеству <tex>S</tex> из задачи [[Opij1di|<tex> O \mid p_{i, j} =1, d_i \mid - </tex>]]. Тогда, для добавления работы <tex>i</tex> в множество <tex>S</tex> должно выполняться неравенство: <tex>m \cdot (d_{i} - m) - ( k m - \sum \limits_{j =Доказательство корректности1}^m {h^S(d_{i} - m + j)})+x(d_{i}) \geqslant m</tex>, где <tex>k =|S|</tex> и <tex>x(d_{i})</tex> {{---}} количество периодов времени <tex>t</tex> со свойствами: <tex>d_{i} - m + 1 \leqslant t \leqslant d_{i}</tex> и <tex>h^S(t) < m</tex>. Чтобы проверить это неравенство, нам нужно посчитать <tex>m</tex> чисел <tex>h^S(t)</tex>, <tex>t=d_{i} - m + 1, \ldots, d_{i}</tex>. Для этого определим переменные:  <tex>k_{j} = \begin{cases} h^S(d_{i} - m + j) & j \in \{1 , \ldots , m\} \\0 & j \notin \{1 , \ldots , m\} \\\end{cases}</tex>,  <tex>l_j = \begin{cases}1 & j \in \{1 , \ldots , m\}\text{; } k_{j} < m \\0 & \text{otherwise} \\\end{cases} .</tex>  Тогда можно заметить, что <tex>x(d_{i}) = \sum\limits_{j = 1}^m {l_{j}}</tex>, так как <tex>l_{j} = 1</tex> если <tex>1 \leqslant j \leqslant m</tex> и <tex>h^S(d_{i} - m + j) < m</tex> или <tex>d_{i} - m + 1 \leqslant d_{i} - m + j \leqslant d_{i}</tex> и <tex>h^S(d_{i} - m + j) < m</tex>. Следовательно можно упростить исходное неравенство: <tex>m \cdot (d_{i} - m) - (k m - \sum \limits_{j = 1}^m {k_{j}}) + \sum \limits_{j = 1}^m {l_{j}} \geqslant m</tex> или <tex>m \cdot (d_{i} - m - k)+ \sum\limits_{j = 1}^m {(k_{j} + l_{j})} \geqslant m</tex>. Для динамического программирования определим <tex>f_{i} (k , k_{1} , \ldots , k_{m})</tex> {{---}} минимальное значение целевой функции для расписания работ <tex>i , i + 1 , \ldots , n</tex>, позволяющее выполнить работы из множества <tex>S</tex> без опоздания, где <tex>k = |S|, S \subseteq \{1, \ldots , i - 1\}</tex> и <tex>k_{j}=h^S(d_{i} - m + j)</tex>, где <tex>j = 1, \ldots , m</tex>, то есть <tex>f_{i} (k, k_{1}, \ldots , k_{m}) = \min \limits_{S: |S| = k, S \subseteq \{1, \ldots , i - 1 \}} (\sum \limits_{j = i}^n {w_{j} U_{j}})</tex>. Пусть <tex>p = d_{i + 1} - d_{i}</tex>, тогда определим рекуррентное выражение для <tex>f_{i} (k, k_{1}, \ldots , k_m)</tex>: <tex>f_{i} (k, k_{1}, \ldots , k_{m}) = \begin{cases}f_{i + 1} (k, k_{1 + p},k_{2 + p}, \ldots, k_{m + p}) + w_{i}, & m \cdot (d_{i} - m - k)+ \sum \limits_{j = 1}^m {(k_{j} + l_{j})} < m \text{ } (1)\\\min(f_{i + 1} (k, k_{1 + p}, k_{2 + p}, \ldots , k_{m + p}) + w_{i} ; f_{i + 1} (k + 1, k_{1 + p} + l_{1 + p}, k_{2 + p} + l_{2 + p}, \ldots , k_{m + p} + l_{m + p})), & m \cdot (d_i - m - k) + \sum \limits_{j = 1}^m {(k_{j} + l_{j})} \geqslant m \text{ }(2)\\\end{cases}</tex> c начальным условием: <tex>f_{n + 1} (k, k_{1}, \ldots , k_{m}) = 0 </tex> для <tex>k, k_{1}, \ldots , k_{m} = 0, 1, \ldots , m</tex>. Если выполняется неравенство <tex>(1)</tex>, то мы не можем добавить работу <tex>i</tex> в множество <tex>S</tex> и поэтому <tex>f_{i} (k, k_{1} \ldots , k_{m}) = f_{i + 1} (k, k_{1 + p}, k_{2 + p}, \ldots, k_{m + p}) + w_{i}</tex>.  Если выполняется неравенство <tex>(2)</tex>, тогда мы может добавить работу <tex>i</tex> в множество <tex>S</tex> или не добавлять. Если мы добавим работу <tex>i</tex>, то <tex>f_{i} (k, k_{1}, \ldots , k_{m}) = f_{i + 1}(k + 1, k_{1 + p} + l_{1 + p}, k_{2 + p}+l_{2 + p}, \ldots , k_{m + p}+l_{m + p}) \text{ } (3)</tex>. Если мы не добавим работу <tex>i</tex>, то по аналогии с первым случаем <tex>f_{i} (k, k_{1}, \ldots , k_{m}) = f_{i + 1} (k, k_{1 + p},k_{2 + p}, \ldots, k_{m + p}) +w_{i} \text{ } (4)</tex>. Так как <tex>f_{i} (k, k_{1}, \ldots , k_{m}) = \min(\sum \limits_{j = i}^n {w_{j} U_{j}})</tex>, то нам надо взять минимум из значений <tex>(3)</tex> и <tex>(4)</tex>. Ответ на задачу будет находиться в <tex>f_{1} (0, 0, \ldots , 0)</tex>. ==Пример работы==Пусть <tex>m = 2</tex> и <tex>n = 3</tex>. {| class="wikitable" style="width:5cm" border=1|+|-align="center" bgcolor=#EEEEFF! номер работы || дедлайн || вес|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 1 || 2 || 7 |-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 2 || 2 || 6 |-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 3 || 2 || 5 |}Для такой задачи получится таблица для функции <tex>f</tex>:{| class="wikitable" style="width:20cm" border=1|+|-aling="center" bgcolor=#EEEEFF! <tex>k</tex> || <tex>k_1</tex> || <tex>k_2</tex> || <tex>f_{4} (k, k_1, k_2)</tex> || <tex>f_{3} (k, k_1, k_2)</tex> || <tex>f_{2} (k, k_1, k_2)</tex> || <tex>f_{1} (k, k_1, k_2)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 5|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 0 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 0 || 2 || 0 || 0 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 1 || 2 || 0 || 0 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 2 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 2 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 2 || 2 || 0 || 0 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 1 || 0 || 0 || 0 || 5 || 11 || 7|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 1 || 0 || 1 || 0 || 5 || 11 || 7|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 1 || 0 || 2 || 0 || 5 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 1 || 1 || 0 || 0 || 5 || 11 || 7|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 1 || 1 || 1 || 0 || 0 || 5 || 7|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 1 || 1 || 2 || 0 || 0 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 1 || 2 || 0 || 0 || 5 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 1 || 2 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 1 || 2 || 2 || 0 || 0 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 2 || 0 || 0 || 0 || 5 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 2 || 0 || 1 || 0 || 5 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 2 || 0 || 2 || 0 || 5 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 2 || 1 || 0 || 0 || 5 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 2 || 1 || 1 || 0 || 5 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 2 || 1 || 2 || 0 || 5 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 2 || 2 || 0 || 0 || 5 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 2 || 2 || 1 || 0 || 5 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 2 || 2 || 2 || 0 || 5 || 0 || 0|}Действительно, в <tex>f_1 (0, 0, 0)</tex> записано <tex>5</tex>, что является минимальным значением целевой функции.