Изменения

== Общий алгоритм получения комбинаторного Описание алгоритма ==Получаем элементы объекта по номеру порядку: сначала определим, какой элемент будет стоять на первом месте, потом на втором и так далее. Считаем, что мы нашли первые <tex>i</tex> элементов объекта. Для всех вариантов элемента, который может стоять на позиции с номером <tex>i+1</tex>, посчитаем диапазон номеров, который будет соответствовать объектам с данным префиксом. Если искомый номер входит в один из диапазонов, то, очевидно, мы нашли элемент, который должен стоять на месте с номером <tex>i+1</tex>. Диапазоны номеров не пересекаются, значит на это место больше нельзя поставить никакой другой элемент: *в начале каждого шага <tex>\mathtt{numOfObject}</tex> {{---}} номер нужного объекта среди тех, у которых префикс до <tex>i</tex>-го элемента лексикографически равен префиксу нашего объекта,*<tex>\mathtt{n}</tex> {{---}} количество мест в комбинаторном объекте (например, битовый вектор длины <tex>n</tex>),*<tex>\mathtt{k}</tex> {{---}} количество различных элементов, которые могут находиться в данном комбинаторном объекте. Например, для битового вектора <tex>k=2</tex>, поскольку возможны только <tex>0</tex> и <tex>1</tex>. Все элементы занумерованы в лексикографическом порядке ==, начиная с <tex>1</tex>.Комбинаторные объекты занумерованы с <tex>0</tex>. Переход к нумерации с единицы можно сделать с помощью одной операции декремента перед проходом алгоритма: '''function''' num2object(numOfObject: '''int'''): '''for''' i = 1 '''to''' n '''for''' j = 1 '''doto''' k '''if'//n - количество элементов в комбинаторном объекте''j-й элемент можно поставить на i-e место '''forif''' numOfObject >= (количество комбинаторных объектов с префиксом object[1..i-1] и элементом j на месте i) numOfObject -= (количество комбинаторных объектов с префиксом object[1 ..i-1] и элементом j на месте i) '''toelse''' n object[i] = j break '''doreturn''' ''objectСложность алгоритма {{---}} <tex>O(nk) </tex>. Количества комбинаторных объектов с заданными префиксами считаются известными, и их подсчет в сложности не учитывается. Стоит отметить, что подсчет количества комбинаторных объектов с заданным префиксом зачастую является задачей с достаточно большой вычислительной сложностью. Приведем примеры получения некоторых [[Комбинаторные объекты|комбинаторных объектов]] по номеру. == Битовые вектора ==Рассмотрим алгоритм получения <tex>k</перебираем елементы tex>-ого в лексикографическом порядкебитового вектора размера <tex>n</tex>.При построении битовых векторов можно не проверять условие возможности постановки какого-то объекта на текущее место. На каждый позиции может стоять один из двух элементов, независимо от того, какие элементы находятся в префиксе. Так как у нас всего два возможных элемента, упростим второй цикл до условия:  *<tex>\mathtt{bitvector[n]}</tex> {{---}} искомый битовый вектор,*<tex>\mathtt{numOfBitvector}</tex> {{---}} номер искомого вектора среди всех битовых векторов,*<tex>\mathtt{pow(2, n)}</tex> {{---}} <tex>2^{n}</tex> количество битовых векторов длины <tex>n</tex>, '''vector<int>''' num2bitvector(numOfBitvector: '''int'''): '''iffor''' можем поставить на это место i = 1 '''then if numOfObject > (количество комбинаторных обектов с данным префиксом)to'''n '''thenif''' numObject numOfBitvector >= pow(2, (n - i)) numOfBitvector -= pow(количество комбинаторных обектов с данным префиксом2, (n - i)) else bitvector[i] = 1 '''thenelse''' ans bitvector[i]=j 0 '''return'''поставим на это место текущий элементbitvector Данный алгоритм работает за <tex>O(n)</tex>, ттак как в случае битовых векторов <tex>k</tex> не зависит от <tex>n</tex>.кАлгоритм эквивалентен переводу числа из десятичной системы в двоичную. еще не все объекты с этим префиксом - меньше'' перейти к выбору следующего элемента

Рассмотрим алгоритм получения i-ой в лексикографическом порядке перестановки размера n. <tex>P_{n} k</tex> ''- количество перестановок размера n permutationой в [[nЛексикографический порядок|лексикографическом порядке] ''- искомая перестановка'' was[n] ''- использовали ли мы уже эту цифру в перестановке'' '''for''' i = 1 '''to''' n '''do''' ''//n - количество цифр в перестановке'' alreadyWas = (numOfPermutation-1) div перестановки размера <tex>P_{n-i} </tex> ''// сколько .Заметим, что всем префиксам на каждом шаге будет соответствовать диапазон номеров одинакового размера, (так как количество всевозможных суффиксов зависит только от длины) то есть можем просто посчитать "количество диапазонов, которые идут до нас" (количество цифр уже полностью заняты занятых перестановками с меньшим номером'' numOfPermutation = ((numOfPermutation-1) mod за <tex>P_{n-i} O(1) </tex>) + 1 ''//сейчас мы должны поставить ту цифру, которая еще полностью не занята, т.е. alreadyWas+1, которая еще не занята'' '''for''' j = 1 '''to''' n '''do''' '''if''' was[j] = false '''then ''' cntFree++ '''if''' cntFree = alreadyWas+1 '''then ''' ans[i] = j was[j] = true:

*<tex>\mathtt{k}</tex> {{---}} номер искомой последовательности,*<tex>\mathtt{n!}</tex> {{---}} количество перестановок размера <tex>n</tex>,*<tex>\mathtt{permutation[n]}</tex> {{---}} искомая перестановка,*<tex>\mathtt{was[n]}</tex> {{---}} использовали ли мы уже эту цифру в перестановке.На <tex>i</tex>-ом шаге:*<tex>\mathtt{alreadyWas}</tex> {{---}} сколько цифр уже полностью заняты перестановками с меньшим номером,*мы должны поставить ту цифру, которая еще полностью не занята, то есть цифру с номером <tex>alreadyWas + 1</tex>. Среди цифр, которых еще нет в нашем префиксе, считаем, что это цифра <tex>j</tex>.На <tex>j</tex>-ом шаге:*<tex>\mathtt{curFree}</tex> {{---}} если элемент с номером <tex>j</tex> свободен, то он имеет номер curFree среди всех свободных элементов с <tex>1</tex> по <tex>j</tex>. '''list<int>''' num2permutation(k: '''int'''): '''for''' i = 1 '''to''' n alreadyWas = k / (n - i)! k %= (n - i)! curFree = 0 '''for''' j = 1 '''to''' n '''if''' was[j] == ''false'' curFree++ '''if''' curFree == alreadyWas + 1 permutation[i] = j was[j] = true '''return''' permutation Данный алгоритм работает за <tex>O(n^2) </tex>, так как в случае перестановок <tex>n=k</tex>. Мы можем посчитать все <tex>P_\mathtt{n!} </tex> за <tex>O(n) </tex>. Асимптотику можно улучшить до <tex>O(n \log {n}) </tex>, если использовать структуры данных(например, [[Декартово дерево|декартово дерево]] по неявному ключу), которые позволяют искать <tex>i</tex>-ый й элемент множества и удалять элемент множества за <tex>O( \log {n}) </tex>. Например декартово дерево по неявному ключу.

Рассмотрим алгоритм получения i-го На каждой итерации мы проверяем, входит ли число <tex>\mathtt{next}</tex> в лексикографическом порядке размещения искомое сочетание. Если мы хотим взять <tex> A^k_n \mathtt{next}</tex> , то номер сочетания должен быть меньше, чем <texdpi=140>A^\binom{kn - 1}_{nk - 1} </tex> '', так как потом надо будет выбрать <tex>k - количество размещений 1</tex> элемент из <tex>n по k placement[n] ''- искомое размещение'' was[n] ''- использовали ли мы уже эту цифру в размещении'' '''for''' i = 1 '''to''' k '''do''' ''<//k - количество цифр в размещении'' alreadyWas = (numOfPlacement-1) div tex> доступных. Если нет, то будем считать, что <texdpi=140> A^\binom{kn -i1}_{nk -i1} </tex> ''сочетаний, начинающихся с <tex>\mathtt{next}</tex>, мы пропустили. В обоих случаях рассмотрение текущего числа <tex>next</ сколько цифр уже полностью заняты размещениями с меньшим номером''tex> мы заканчиваем и переходим к следующему числу. numOfPlacement = ((numOfPlacement*<tex>\mathtt{choose}</tex> {{---1) mod }} искомое сочетание,*<tex> A^\mathtt{C[n][k-i]}_</tex> {n{---i} } количество сочетаний из <tex>n</tex>) + 1 ''по <tex>k<//сейчас мы должны поставить ту цифруtex>, которая еще полностью не занята, т.е. alreadyWas+1, которая еще не занята'' '''for''' j = 1 '''to''' <tex>\mathtt{C[n '''do''' '''if''' was][j0] = false '''then ''' cntFree++ '''if''' cntFree = alreadyWas+1 '''then ''' ans[i] = j was[j] = trueСложность алгоритма <tex>O(nk) }</tex>.,

'''list<int>''' num2choose(n, k, m: '''int'''): next =1 '''while''' k > 0 '''if''' m < C[n - 1][k - 1] choose.push_back(next) k = Размещения k - 1 '''else''' m -=C[n - 1][k - 1] n =n - 1 next == Битовые вектора ==next + 1 '''return''' chooseАсимптотика приведенного алгоритма {{---}} <tex>O(n)</tex>, предподсчет <tex>\mathtt{C[n][k]}</tex> {{---}} <tex>O(n^2)</tex> == Скобочные последовательности См. также ==*[[Получение номера по объекту|Получение номера по объекту]]*[[Получение_предыдущего_объекта#.D0.A1.D0.BF.D0.B5.D1.86.D0.B8.D0.B0.D0.BB.D0.B8.D0.B7.D0.B0.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D0.B0.D0.BB.D0.B3.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.BC.D0.B0_.D0.B4.D0.BB.D1.8F_.D0.B3.D0.B5.D0.BD.D0.B5.D1.80.D0.B0.D1.86.D0.B8.D0.B8_.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D1.8B.D0.B4.D1.83.D1.89.D0.B5.D0.B3.D0.BE_.D1.81.D0.BE.D1.87.D0.B5.D1.82.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D1.8F|Получение предыдущего сочетания]]*[[Получение_следующего_объекта#.D0.A1.D0.BF.D0.B5.D1.86.D0.B8.D0.B0.D0.BB.D0.B8.D0.B7.D0.B0.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D0.B0.D0.BB.D0.B3.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.BC.D0.B0_.D0.B4.D0.BB.D1.8F_.D0.B3.D0.B5.D0.BD.D0.B5.D1.80.D0.B0.D1.86.D0.B8.D0.B8_.D1.81.D0.BB.D0.B5.D0.B4.D1.83.D1.8E.D1.89.D0.B5.D0.B3.D0.BE_.D1.81.D0.BE.D1.87.D0.B5.D1.82.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D1.8F|Генерация следующего сочетания]]== Разложение на слагаемые Источники информации ==*Программирование в алгоритмах / С. М. Окулов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2002. стр.31 - ISBN 5-94774-010-9[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Комбинаторика]]