1632
правки
Изменения
м
Вспоминаем о Ввиду локальности дифференциированиядифференцирования, поэтому можно проверить равномерную сходимость в малом отрезке $ [a - \Delta; a + \Delta] $, с помощью признака Вейерштрасса(также проверить отдельно в 0 и в $ \infty $). {{TODO|t=Проделать в качестве упражнения}}.
rollbackEdits.php mass rollback
Признак равномерной сходимости несобственных интегралов
|statement=
Пусть $ |f(x, y) | \le g(x)\ \forall x \ge a, \forall y \in [c; d] $.
Пусть $ \int\limits_a^{\infty} g(x) dx $ - сходится. Тогда соответствующий интеграл равномерно сходится на $ [c; d] $.
}}
== Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра ==
=== Непрерывность ===
$ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \stackrel{?}{\Rightarrow} (F(y + \Delta {y}) - F(y)) \xrightarrow[\Delta y \to 0]{} 0 $ (доказываем непрерывность F(y)).
Доказательство ведем по аналогии с рядами.
Интеграл слева по теореме Барроу дифференциируем по верхнему пределу - продифференциируем обе части по y.
$ g(y) = \left( \int\limits_c^{\inftyy} g(t) dt \right)' = \left( \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right)' $, но $ g(y) = \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $, следовательно, формула доказана.
== Бета- и Гамма-функции Эйлера ==
На базе этой <s>достаточно элементарной </s> теории можно определить и исследовать две важных функции в анализе - $B$ и $\Gamma$ - функции Эйлера.
Полагаем:
Легко понять, что $ B (a, b) $ Сходится при $ a, b > 0 $; $ \Gamma(a) $ сходится при $ a > 0 $.
=== Гамма-функция ===
Гамма-функция связана с обобщением факториала на $ \mathbb{R} $.
Поставим задачу: продолжить $ f(n) = n! $ на $ \mathbb{R}_+ $ так, чтобы $ f \in \mathbb{C}^{\infty} (\mathbb{R}_+) $(бесконечно дифференцируема штоле?) и $ f(n) = n! $.
Эта задача рещается решается Гамма-функцией.
Легко убедиться, что $ \Gamma(n + 1) = n! $:
Требуется проверить равномерную сходимость интеграла от частной производной.
Аналогично, при двойном дифференциировании дифференцировании получаются равномерно сходящиеся интегралы и т.д.
$ \Gamma''(a) = \int\limits_0^{\infty} \underbrace{\ln^2 x x^{a - 1} e^{-x}}_{>0} dx \Rightarrow \Gamma''(a) > 0 $
