Внешняя мера — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
Строка 1: Строка 1:
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 
|+
 
|-align="center"
 
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|
 
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 
 
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 
 
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 
 
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 
 
''Антивоенный комитет России''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 
|}
 
 
 
[[Мера на полукольце множеств|<<]] [[Мера, порожденная внешней мерой|>>]]
 
[[Мера на полукольце множеств|<<]] [[Мера, порожденная внешней мерой|>>]]
  

Текущая версия на 19:31, 4 сентября 2022

<< >>


Определение:
Внешняя мера на множестве [math] X [/math] - неотрицательная функция, заданная на множестве всех подмножеств [math] X [/math], и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1) [math] \mu^* (\varnothing) = 0 [/math]

2) Для [math] A \subset \bigcup\limits_n A_n [/math] выполняется [math] \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) [/math] (сигма-полуаддитивность)


Из свойства 2) следует, что для [math] A \subset B \quad \mu^*(A) \le \mu^*(B) [/math]монотонность внешней меры.

Сейчас мы произведем важное построение, которое, имея меру на полукольце, позволяет строить внешнюю меру (такая внешняя мера называется порожденной).

Пусть заданы полукольцо [math] (X; \mathcal R) [/math] и мера [math] m [/math] на нем. Тогда для любого множества [math] A \subset X [/math]:

1) Полагаем [math] \mu^*(A) = + \infty [/math], если [math] A [/math] нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.

2) Полагаем [math] \mu^*(A) = \inf\limits_{A \subset \bigcup\limits_{n} E_n} \sum\limits_{n} m(E_n) [/math], в противном случае [math](\exists E_1, E_2, ..., E_n, ... \in R: A \subset \bigcup\limits_{n} E_n )[/math] ; то есть внешняя мера является нижней гранью множества мер для всех не более чем счетных покрытий [math] A [/math] из полукольца [math] \mathcal R [/math].

Теорема:
Определенная нами [math] \mu^* [/math] является корректной внешней мерой на [math] X [/math], при этом, для [math] A \in \mathcal R, \mu^*(A) = m(A) [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Проверим аксиомы внешней меры:

1) [math] \varnothing \in \mathcal R [/math] по аксиомам полукольца, [math] m(\varnothing) = 0 [/math] по аксиомам меры. [math] \varnothing \subset \varnothing [/math], то есть [math] \varnothing [/math] является наименьшим покрытием [math] \varnothing [/math], и [math] \mu^*(\varnothing) = 0 [/math].

2) Пусть [math] A \subset \bigcup\limits_n A_n, A, A_n \subset X [/math].

Возможны различные варианты:

а) Хотя бы одно из множеств [math] A_n [/math] не покрывается элементами полукольца(пусть [math] A_{n_0} [/math]). Тогда [math] \mu^*(A_{n_0}) = + \infty [/math], и требуемое неравенство всегда верно и ужасно тривиально.

б) Все [math] A_n [/math] покрываются элементами полукольца. Тогда для любого [math] n\ \mu^*(A_n) = \inf\limits_{A_n \subset \bigcup\limits_{p} E_{n_p}} \sum\limits_{p} m(E_{n_p}) [/math], где все [math] E_{n_p} [/math] принадлежат полукольцу.

Если внешняя мера хотя бы одного из множеств [math] A_n [/math] равна [math] + \infty [/math], то неравенство опять всегда верно.

В противном случае, по определению нижней грани, для [math] \frac{\varepsilon}{2^n} [/math] подбираем покрытие [math] A_n \subset \bigcup\limits_{p} E_{n_p} [/math] так, чтобы [math] \sum\limits_{p} m(E_{n_p}) \lt \mu^*(A_n) + \frac{\varepsilon}{2^n} [/math].

[math] A \subset \bigcup\limits_{n} A_n \subset \bigcup\limits_{n}\bigcup\limits_{p} E_{n_p} [/math] , значит, [math] \mu^*(A) \le \sum\limits_{n}(\sum\limits_{p} m(E_{n_p})) \le [/math] (используя предыдущее неравенство)

[math] \le \sum\limits_{n} (\mu^*(A_n) + \frac{\varepsilon}{2^n}) = \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) + \varepsilon \sum\limits_{n} \frac{1}{2^n} \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) + \varepsilon [/math].

Итак, [math] \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) + \varepsilon [/math], что при [math] \varepsilon \rightarrow 0 [/math] дает нам нужный результат.
[math]\triangleleft[/math]

Итог: [math] (X, \mathcal R, m) \rightarrow (X, \mu^*) [/math], где [math] \mu^*|_{\mathcal R} = m [/math]

<< >>