1632
правки
Изменения
м
== Производящая функция ==
* <tex>\prod_a_n= 6a_{n=- 1}^\infty \frac-8a_{1}{1-x^n}</tex> {{---2}} производящая функция для последовательности <tex>p_n</tex>+n, где <tex>p_in \geqslant 2</tex> {{---}} количество разбиений числа i на слагаемые.
* <tex>\prod_{n=1}^\infty (1+x^n)</tex> {{---}} производящая функция Запишем производящую функцию для этой последовательности <tex>d_n</tex>, где <tex>d_i</tex> {{---}} количество разбиений на различные слагаемые.и преобразуем правую часть:
* <tex>\prod_{n=1}^\infty (1+x^{2n-1})</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>l_n</tex>, где <tex>l_i</tex> {{---}} количество разбиений на нечётные слагаемые. С помощью метода производящих функций можно доказать, что производящие функции последовательностей равны, соответственно <tex>d_n=l_n</tex>:
<tex>\prod_{n=1}^\infty (1+x^{n})=\prod_{n=1}^\infty \frac{1-x^{2n}}{1-x^n}=\frac{1-x^2}{1-x}\frac{1-x^4}{1-x^2}\frac{1-x^6}{1-x^3}...=</tex>
<tex>=\frac{1}{1-x}\frac{1}{1-x^3}\frac{1}{1-x^5}...=\prod_{n=1}^\infty (1+x^{2n-1})</tex>
Метод производящих функций также используется для нахождения математического ожидания и дисперсии различных распределений в теории вероятности. Например в геометрическом распределении c p=1/2 для нахождения дисперсии <tex>D(\xi)=E(\xi^2)-(E(\xi))^2</tex> нужно найти два мат. ожидания:
<tex>\sum_{n=1}^\infty n^2 (\frac{1}{2})^n=6</tex>
которые фактически являются производящими функциями последовательностей <tex>1, 2, 3...</tex> и <tex>1, 4, 9...</tex>, где G(z)=a_0+a_1z+6z(G(z)-a_0) - 8z^2G(z взято равным <tex>)+\sum\frac{1}limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>
Существует целый класс последовательностей, задаваемых рекуррентным соотношением, например, <tex>f_n</tex> {{---}} числа Фибоначчи или <tex>C_n</tex> {{---}} числа Каталана. Метод производящих функций позволяет получить выражение для <tex>a_n</tex> в замкнутом виде.
== Решение рекуррентных соотношений ==Пусть последовательность <tex>G(a_0, a_1, a_2, ...z)</tex> удовлетворяет некоторому рекуррентному соотношению. Мы хотим получить выражение для <tex>a_n</tex> =1-4z+6zG(при <tex>n \ge 0</tex>z) в замкнутом виде - 8z^2G(то есть выразив лишь через номер члена последовательностиz). Алгоритм получения замкнутого выражения для чисел <tex>a_n+\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>, удовлетворяющих рекуррентному соотношению, с помощью производящих функций состоит из 4 шагов:
1)Записать рекуррентное соотношение и начальные данные для него в следующем виде (если порядок соотношения равен k, то есть количество предшествующих элементов, требуемых для вычисления элемента с номером n, равно k):
<tex>a_1=...,</tex>
<tex>a_{n}=..., n \ge k.</tex>
2)Домножить каждую строчку на z в соответствующей степени и просуммировать строчки для всех n <tex> \ge 0 </tex>.Тогда замкнем последнее слагаемое следующим образом:
3)В полученном уравнении привести все суммы <tex>\sum</tex> к замкнутому виду. Получить уравнение для производящей функции.
4)Выразить <tex>G\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n=z \sum\limits_{n=2}^\infty n z^{n-1}= z(\sum\limits_{ n = 2}^\infty z^n)'</tex> в явном виде (решить уравнение, полученное на предыдущем шаге) и разложить производящую функцию в ряд по степеням <tex>z</tex>.
Для демонстрации универсальности метода рассмотрим довольно произвольное рекуррентное соотношение:
<tex>a_n=6a_{n-1}-8a_{n-2}+n, n \ge 2</tex>
Запишем производящую функцию для этой последовательности и преобразуем правую часть:<tex>G(z)=\dfrac{1/3}{(1-z)^2}+\dfrac{7/9}{1-z}-\dfrac{1/2}{1-2z}+\dfrac{7/18}{1-4z}=\dfrac{1}{3}\sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)z^n +\dfrac{7}{9}\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n - \dfrac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^n z^n + \dfrac{7}{18}\sum\limits_{n=0}^{\infty} 4^n z^n</tex>
<tex>G(z)=a_0+a_1z+6\sum_{n=2}^\infty a_{n-1}z^n - 8\sum_{n=2}^\infty a_{n-2}z^n+\sum_{n=2}^\infty n z^n</tex>
<tex>G(z)=a_0+a_1z+6z\sum_{n=1}^\infty a_{n}z^n - 8z^2\sum_{n=0}^\infty a_{n}z^n+\sum_{n=2}^\infty n z^n</tex>
<tex>G(z)=a_0+a_1z+6z(G(z)-a_0) - 8z^2G(z)+\sum_{n=2}^\infty n z^n</tex>
<tex>G(z)=1-4z+6zG(z) - 8z^2G(z)+\sum_{n=2}^\infty n z^n</tex>
Для того, чтобы замкнуть последнюю сумму воспользуемся очень важным приемом, который используется при преобразовании производящих функций. Фактически мы имеем дело с последовательностью <tex>nb_n</tex>= \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1) p(у нас последовательность <tex>b_n1-p)^{n} = </tex>-константная единица). Такая последовательность получается путём дифференцирования функции B(z) с последующим умножением результата на z:
Тогда замкнем последнее слагаемое следующим образом:* <tex>\operatorname{E}(\xi^2) = p\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{2}(1-p)^{n-1} =</tex>
Таким образом наше последнее слагаемое примет вид:<tex>\operatorname{D}(\xi)=\operatorname{E}(\xi^2)-(\operatorname{E}(\xi))^2= \dfrac{2-p}{p^{2}}-\dfrac{1}{p^2}=\dfrac{1-p}{p^2}</tex>
Это уравнение для производящей функции. Из него выражаем <tex>G(z)</tex>Соответственно, ответом будет производящая функция вида:
Разложим знаменатель на множители и [http:<tex>g(x) = \dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}<//www.genfunc.ru/theory/pril04/ разобьём дробь на сумму простых дробей]:tex>
Разложим первое слагаемое в ряд, используя [http://www.genfunc.ru/theory/pril02/ расширенные биномиальные коэффициенты].<tex>\frac{1}{(1-z)^2}=(1-z)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty} {-2\choose n}(-z)^n=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n{n+1\choose 1}(-z)^nСм. также =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n</tex>
== Ссылки == * [[Производящая функция Дирихле]]
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|id=main
|definition=
'''Производя́щая фу́нкция Производящая функция''' (англ. ''generating function)''' ) — это формальный степенной ряд:вида <tex>G(z)=\sum_sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n</tex>,порождающий (производящий) последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, ...\ldots)</tex>.
}}
Метод производящих функций был разработан Эйлером в 1750-х годах.
__TOC__
== Применение ==
Производящая функция используется для:
* Компактной записи информации о последовательности;.* Нахождения зависимости <tex>a_n(n)</tex> для последовательности <tex>a_n</tex>, заданной рекуррентным соотношением. Например, для чисел Фибоначчи;.* Нахождения рекуррентного соотношения для последовательности {{---}} вид производящей функции может помочь найти формулу;.* Исследования асимптотического поведения последовательности;.* Доказательства тождеств с последовательностями;.* Решения задачи подсчета объектов в комбинаторике. Например, в доказательстве [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|пентагональной теоремы]] или в задаче нахождения количества расстановок <tex>m </tex> ладей на доске <tex>n × \times n;</tex>.* Вычисления бесконечных сумм.
== Примеры производящих функций ==
Рассмотрим производящие функции для различных комбинаторных последовательностей:
* <tex>\prod_prod\limits_{n=1}^\infty (1-x^n)</tex> {{---}} производящая функция для разности количества разбиений числа <tex>n </tex> в четное и нечетное число различных слагаемых. Например , коэффициент при <tex>x^5</tex> {{---}} равен <tex>+1</tex>, потому-что существует два разбиение разбиения на четное число различных слагаемых <tex>(4+1; 3+2) </tex> и одно на нечетное (<tex>5</tex>). Правильность этого легко осознать, если понять, что каждая скобка представляет какое-то слагаемое и мы можем его взять (второе слагаемое {{---}} <tex>-x^k</tex>) или не взять (первое {{---}} <tex>1</tex>). Эта производящая функция используется в комбинаторном доказательстве пентагональной теоремы. * <tex> \prod\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{1-x^n}</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>p_n</tex>, где <tex>p_i</tex> {{---}} число разбиений числа <tex>i</tex> на слагаемые. * <tex>\prod\limits_{ n = 1}^\infty(1+x^n)</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>d_n</tex>, где <tex>d_i</tex> {{---}} число разбиений на различные слагаемые. * <tex>\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^{ 2n - 1})^{-1}</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>l_n</tex>, где <tex>l_i</tex> {{---}} число разбиений на нечётные слагаемые. С помощью метода производящих функций можно доказать, что производящие функции последовательностей равны, соответственно <tex>d_n = l_n </tex>: <tex>\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^{ n})=\prod\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1-x^{2n}}{1-x^n}=\dfrac{1-x^2}{1-x}\dfrac{1-x^4}{1-x^2}\dfrac{1-x^6}{1-x^3}\ldots=</tex> <tex>=\dfrac{1}{1-x}\dfrac{1}{1-x^3}\dfrac{1}{1-x^5}\ldots=\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^{ 2n - 1})^{-1}</tex> == Примеры решений задач методом производящих функций ===== Решение рекуррентных соотношений ===Существует целый класс последовательностей, задаваемых рекуррентным соотношением, например, <tex>f_n</tex> {{---}} числа Фибоначчи или <tex>C_n</tex> {{---}}[[Числа Каталана | числа Каталана]]. Метод производящих функций позволяет получить выражение для <tex>a_n</tex> через номер элемента в последовательности в замкнутом виде, то есть в таком виде, что выражение можно вычислить, предполагая, что <tex>z</tex> достаточно мало. Пусть последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, \ldots)</tex> удовлетворяет некоторому рекуррентному соотношению. Мы хотим получить выражение для <tex>a_n</tex> (при <tex>n \geqslant 0</tex>) в замкнутом виде. Алгоритм получения замкнутого выражения для чисел <tex>a_n</tex>, удовлетворяющих рекуррентному соотношению, с помощью производящих функций состоит из 4 шагов: # Записать рекуррентное соотношение и начальные данные для него в следующем виде (если порядок соотношения равен <tex>k</tex>, то есть количество предшествующих элементов, требуемых для вычисления элемента с номером <tex>n</tex>, равно <tex>k</tex>):#: <tex>a_0=\ldots,</tex>#: <tex>a_1=\ldots,</tex>#: <tex>\ldots</tex>#: <tex>a_{k-1}=\ldots,</tex>#: <tex>a_{n}=\ldots, n \geqslant k.</tex># Домножить каждую строчку на <tex>z</tex> в соответствующей степени и просуммировать строчки для всех <tex>n \geqslant 0 </tex>.# В полученном уравнении привести все суммы к замкнутому виду. Получить уравнение для производящей функции.# Выразить <tex>G(z)</tex> в явном виде (решить уравнение, полученное на предыдущем шаге) и разложить производящую функцию в ряд по степеням <tex>z</tex>. Для демонстрации универсальности метода рассмотрим довольно произвольное рекуррентное соотношение: <tex>a_0= 1,</tex> <tex>a_1= 2,</tex>
<tex>G(z)=a_0+a_1z+\sum\limits_{n=2}^\infty(6a_{ n - 1}-8a_{n-2}+n) z^n</tex>
<tex>G(z)=a_0+a_1z+6\sum\limits_{n=2}^\infty a_ { n-1}
z^n - 8\sum\limits_{n=2}^\infty a_ { n-2}
z^n+\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>
<tex>G(z)=a_0+a_1z+6z\sum\sum_limits_{n=1}^\infty a_ { n }z^n (- 8z^2\sum\fraclimits_{1n=0}^\infty a_ {2n })z^n+\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>
Для того, чтобы замкнуть последнюю сумму воспользуемся очень важным приемом, который используется при преобразовании производящих функций. Фактически мы имеем дело с последовательностью <tex>nb_n</tex>a_0(в нашем случае последовательность <tex>b_n=(1, 1, 1, \ldots)</tex>)...Такая последовательность получается путём дифференцирования функции <tex>B(z)</tex>, производящей для <tex>b_n</tex>,с последующим умножением результата на <tex>z</tex>:
<tex>a_zB'(z)=z(\sum\limits_{n=0}^\infty b_n z^n)'=z\sum\limits_{ n = 1}^\infty nb_n z^{kn-1}=...,\sum\limits_{n=0}^\infty nb_n z^n</tex>
<tex>a_0\sum\limits_{n=2}^\infty z^n=\sum\limits_{n=0}^\infty z^n-1-z=\dfrac{1}{1-z}-1-z=\dfrac{z^2}{1-z}</tex> <tex>z(\dfrac{ z ^ 2}{1-z})'=\dfrac{z^2(2-z)}{(1-z)^2}</tex> Таким образом,наше последнее слагаемое примет вид: <tex>G(z)=1-4z+6zG(z) - 8z^2G(z)+\dfrac{z^2(2-z)}{(1-z)^2}</tex> Это уравнение для производящей функции. Из него выражаем <tex>G(z)</tex>: <tex>G(z)=\dfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-6z+8z^2)(1-z)^2}</tex> Разложим знаменатель на множители и разобьём дробь на сумму простых дробей <ref>[http://www.genfunc.ru/theory/pril04/ О разложении рациональной функции в ряд]</ref>: <tex>G(z) =\dfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-6z+8z^2)(1-z)^2}=\dfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-2z)(1-4z)(1-z)^2}=\dfrac{1/3}{(1-z)^2}+\dfrac{7/9}{1-z}-\dfrac{1/2}{1-2z}+\dfrac{7/18}{1-4z}</tex> Разложим первое слагаемое в ряд, используя расширенные биномиальные коэффициенты <ref>[http://www.genfunc.ru/theory/pril02/ Расширенные биномиальные коэффициенты]</ref>:
<tex>a_1\dfrac{ 1}{(1-z)^2}=(1-z)^{-2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} {-2,\choose n}(-z)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n{n+1\choose 1}(-z)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n</tex>
<tex>G(z)a_n=a_0\dfrac{n+a_1z1}{3}+\sum_dfrac{7}{9}-\dfrac{2^n=}{2}+\dfrac{7 \cdot 4^n}{18}=\infty (6a_dfrac{7 \cdot 4^n-1+6n+20}{18}-8a_2^{n-21}+n) z^n</tex>
=== Расчет дисперсии геометрического распределения ===
Метод производящих функций также используется для нахождения [[Дисперсия случайной величины | математического ожидания и дисперсии]] различных распределений в теории вероятностей. Например, в геометрическом распределении <ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Геометрическое распределение]</ref> для нахождения дисперсии <tex>\operatorname{D}(\xi)=\operatorname{E}(\xi^2)-(\operatorname{E}(\xi))^2</tex> нужно найти два мат. ожидания:
* <tex>\operatorname{E}(\xi)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n p(1-p)^{n-1} </tex>
* <tex>\operatorname{E}(\xi^2) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{2}p(1-p)^{n-1}</tex>
которые фактически являются производящими функциями последовательностей <tex>1, 2, 3\ldots</tex> и <tex>1, 4, 9\ldots</tex>:
* <tex>\operatorname{ E}(\xi)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n p(1-p)^{n-1} = </tex>
<tex>= \sum\limits_{n=0}^{\infty}n p(1-p)^{n} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} p(1-p)^{n-1} = </tex>
<tex>zB'= (z1-p)=z(\sum_operatorname{n=0E}^(\infty b_n z^nxi)'=z+1 \Rightarrow \sum_operatorname{nE}(\xi) =1}^\infty nb_n z^dfrac{n-1}=\sum_{n=0p}^\infty nb_n z^n</tex>
<tex>=p\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)(1-p)^{n-1} - p\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(1-p)^{n-1} =</tex>
<tex>= p\dfrac{\sum_operatorname{d}^{n=2}}{\operatorname{d}p^{2}}\infty n z^n=z sum\sum_limits_{n=21}^{\infty n z}(1-p)^{n-+1}= z (+ p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\sum\sum_limits_{n=21}^{\infty z}(1-p)^{n)'} =</tex>
<tex>= p\dfrac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\sum\limits_{ n = 0}^{\infty}(1-p)^{n} \cdot(1-p)^2\right) +p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\sum\limits_{ n = 0}^{\infty}(1-p)^{n}\cdot(1-p)\right) =</tex>
<tex>= p\dfrac{\sum_operatorname{d}^{n=2}^}{\infty zoperatorname{d}p^n=\sum_{n=02}}^\infty z^n-1-z=left(\fracdfrac{1}{1-z(1-p)}-\cdot(1-z=p)^2\right) +p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\fracdfrac{z^21}{1-z(1-p)}\cdot(1-p)\right) =</tex>
<tex>= p\dfrac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\dfrac{ (1 - p) ^ 2}{p}\right) +p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\dfrac{ 1 - p}{p}\right) =</tex>
<tex>z (= p\fraccdot\dfrac{z2}{p^23}- p\cdot\dfrac{1-z})'{p^2} =\fracdfrac{2}{zp^{2(}} - \dfrac{1}{p} = \dfrac{2-z)p}{(1-z)p^{2}}</tex>.
Тогда:
=== Пример задачи на нахождение производящей функции ===
{{Задача
| about =
| definition = Рассмотрим множество путей на прямой, состоящих из шагов длины <tex>1</tex> вправо и влево. Найдите производящую функцию для числа таких путей из <tex>n</tex> шагов, начинающихся в <tex>0</tex> и оканчивающихся в <tex>0</tex>.
}}
Заметим, что для того, чтобы закончить путь в <tex>0</tex>, необходимо совершить равное число шагов вправо и влево. Тогда задача сводится к тому, чтобы выбрать <tex>\dfrac{n}{2}</tex> позиций для, например, шагов вправо из всего <tex>n</tex> шагов. Тогда ответом будет сумма от нуля до бесконечности по <tex>n</tex> всех <tex>C^{n}_{2n}</tex>. То есть:
<tex>
g(x) = \sum\limits_{0}^{\infty} C^{n}_{2n} x^n
</tex>
Рассмотрим <tex>f(x) = \sum\limits_{0}^{\infty} C_n x^n </tex>, где <tex>C_n</tex> {{---}} [[Числа Каталана | число Каталана]]. Тогда, заметим что <tex>f'(x) = \sum\limits_{0}^{\infty} n C_n x^{n-1} </tex>. Так как <tex>C_n = \dfrac{1}{n+1} C_{2n}^n </tex>, то справедливо равенство:
<tex>
g(x) = (n+1)f(x) = xf'(x) + f(x)
</tex>
Мы знаем, что производящая функция для чисел Каталана равна <tex>Gf(zx)=\dfrac{1-4z+6zG(z) - 8z^2G(z)+\fracsqrt{z^2(21-z)4x}}{2x}</tex>. Найдем <tex>f'(1-zx)^2}</tex>.
<tex>
f'(x) = \dfrac{\dfrac{4x}{\sqrt{1-4x}} - 2 + 2\sqrt{1-4x}}{4x^2} = \dfrac{1 - 2x - \sqrt{1-4x}}{2x^2 \sqrt{1-4x}}
</tex>
<tex>
g(x) = \dfrac{1 - 2x - \sqrt{1-4x}}{2x \sqrt{1-4x}} + \dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 4x}}
</tex>
{{Задача| about = | definition = Рассмотрим множество путей на прямой, состоящих из шагов длины <tex>G(z)=\frac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-6z+8z^2)(1-z)^2}</tex>вправо и влево. Найдите производящую функцию для числа таких путей из <tex>n</tex> шагов, начинающихся и оканчивающихся в <tex>0</tex> и не заходящих в отрицательную полупрямую.}}
Заметим, что задача аналогична [[Правильные скобочные последовательности | Правильной скобочной последовательности]]. Тогда производящей функцией для нашей задачи будет производящая функция для правильной скобочной последовательности, а именно:
== Приложения ==
=== Примеры простых производящих функций ===
<!--easy биномы увеличить, но так имхо лучше--->На последнем шаге приведения производящей функции к замкнутому виду требуется разложить полученные слагаемые в ряд. Для этого можно воспользоваться таблицей основных производящих функций <ref>[http://www.genfunc.ru/theory/pril03/ Таблица производящих функций]</ref>.
Все суммы выполняются по переменной <tex>n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>\infty</tex>. Элементы последовательности нумеруются от <tex>0</tex>. {| class="wikitable" style="width:30cm" border=1|+|-align="center" bgcolor=#EEEEFF| '''Последовательность''' || '''Производящая функция в виде ряда''' || '''Производящая функция в замкнутом виде'''|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, 0, 0,\ldots)</tex> || <tex>1</tex> || <tex>1</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>G(0, 0, \ldots, 0, 1, 0, 0\ldots)</tex> (<tex>m</tex> нулей в начале) || <tex>z^m</tex> || <tex>z^m</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, 1, 1,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{1-z}</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, 0, 0, \ldots, 0, 1, 0, 0, \ldots 0, 1, 0, 0\fracldots)</tex> (повторяется через <tex>m</tex>) || <tex>\sum\limits z^{nm}</tex> || <tex>\dfrac{1}{1-6z+11zz^2m}</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, -1, 1, -1,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits (-5z1)^3nz^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{1+z}</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1-6z, 2, 3, 4,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits (n+8z1)z^2)n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-z)^2}</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, 2, 4, 8, 16,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits 2^nz^n</tex> || <tex>\fracdfrac{1}{(1-6z+11z2z)}</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, r, r^2-5z, r^3,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits r^nz^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-2zrz)}</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(</tex><tex>{m\choose 0}, {m\choose 1-4z)}, {m\choose 2}, {m\choose 3},\ldots</tex><tex>)</tex> || <tex>\sum\limits {m\choose n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>(1-+z)^m</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(</tex><tex>1, {{m}\choose m}, {{m+1}\choose m}, {{m+2}=\fracchoose m},\ldots</tex><tex>)</tex> || <tex>\sum\limits {{m+n-1}\choose n}</tex> <tex>z^n</3tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-z)^m}</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(</tex><tex>1, {{m+1}\choose m}, {{m+2}\choose m}, {{m+3}\choose m},\ldots</tex><tex>)</tex> || <tex>\sum\fraclimits {{7m+n}\choose n}</tex> <tex>z^n</9tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-z)^{m+1}}</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(0, 1, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{4},\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>\ln(1+z)</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, 1, \fracdfrac{1}{2}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{24},\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{1}{n!}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>e^z</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, -\dfrac{1}{2!}m^2, \dfrac{1}{4!}m^4, -\dfrac{1}{6!}m^6, \dfrac{1}{8!}m^8,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{1}{(2n)!}</tex> <tex>m^{(2n)}</tex> || <tex>\cos m</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(m, -2z\dfrac{1}{3!}m^3, \dfrac{1}{5!}+m^5, -\fracdfrac{1}{7!}m^7, \dfrac{1}{9!}m^9,\ldots)</18tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{1}{(2n-1)!}</tex> <tex>m^{(2n-4z1)}</tex>|| <tex>\sin m</tex>|}
== Литература Примечания ==<references/>
== Источники информации ==
* [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год]
* [http://www.genfunc.ru/ Производящие функции]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function Wikipedia {{---}} Generating function]
* [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера]]
* Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория вероятностиКомбинаторика]][[Категория: Подсчёт числа объектов]]
