Изменения

'''Производя́щая фу́нкция Производящая функция''' (англ. ''generating function)''' ) — это формальный степенной ряд:вида <tex>G(z)=\sum_sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n</tex>,порождающий (производящий) последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, ...\ldots)</tex>.

* Компактной записи информации о последовательности;.* Нахождения зависимости <tex>a_n(n)</tex> для последовательности <tex>a_n</tex>, заданной рекуррентным соотношением. Например, для чисел Фибоначчи;.* Нахождения рекуррентного соотношения для последовательности {{---}} вид производящей функции может помочь найти формулу;.* Исследования асимптотического поведения последовательности;.* Доказательства тождеств с последовательностями;.* Решения задачи подсчета объектов в комбинаторике. Например, в доказательстве [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|пентагональной теоремы]] или в задаче нахождения количества расстановок <tex>m </tex> ладей на доске <tex>n&nbsp;×&nbsp;\times n;</tex>.* Вычисления бесконечных сумм.  

* <tex dpi = "180">\prod_prod\limits_{n=1}^\infty (1-x^n)</tex> {{---}} производящая функция для разности количества разбиений числа <tex>n </tex> в четное и нечетное число различных слагаемых. Например , коэффициент при <tex>x^5</tex> {{---}} равен <tex>+1</tex>, потому-что существует два разбиение разбиения на четное число различных слагаемых <tex>(4+1; 3+2) </tex> и одно на нечетное (<tex>5</tex>). Правильность этого легко осознать, если понять, что каждая скобка представляет какое-то слагаемое и мы можем его взять (второе слагаемое {{---}} <tex>-x^k</tex>) или не взять (первое {{---}} <tex>1</tex>). Эта производящая функция используется в комбинаторном доказательстве пентагональной теоремы.

* <tex dpi = "180"> \prod_prod\limits_{n=1}^\infty \fracdfrac{1}{1-x^n}</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>p_n</tex>, где <tex>p_i</tex> {{---}} количество число разбиений числа <tex>i </tex> на слагаемые.

* <tex dpi = "180">\prod_prod\limits_{n=1}^\infty (1+x^n)</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>d_n</tex>, где <tex>d_i</tex> {{---}} количество число разбиений на различные слагаемые.

* <tex dpi = "180">\prod_prod\limits_{n=1}^\infty (1+x^{2n-1})^{-1}</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>l_n</tex>, где <tex>l_i</tex> {{---}} количество число разбиений на нечётные слагаемые. С помощью метода производящих функций можно доказать, что производящие функции последовательностей равны, соответственно <tex>d_n=l_n</tex>:<tex dpi = "180"> \prod_prod\limits_{n=1}^\infty (1+x^{n})=\prod_prod\limits_{n=1}^\infty \fracdfrac{1-x^{2n}}{1-x^n}=\fracdfrac{1-x^2}{1-x}\fracdfrac{1-x^4}{1-x^2}\fracdfrac{1-x^6}{1-x^3}...\ldots=</tex>

<tex dpi = "180">=\fracdfrac{1}{1-x}\fracdfrac{1}{1-x^3}\fracdfrac{1}{1-x^5}...\ldots=\prod_prod\limits_{n=1}^\infty (1+x^{2n-1})^{-1}</tex> 

Существует целый класс последовательностей, задаваемых рекуррентным соотношением, например, <tex>f_n</tex> {{---}} числа Фибоначчи или <tex>C_n</tex> {{---}} [[Числа Каталана | числа Каталана]]. Метод производящих функций позволяет получить выражение для <tex>a_n</tex> через номер элемента в последовательности в замкнутом виде, то есть в таком виде, что выражение можно вычислить, предполагая, что <tex>z </tex> достаточно мало.

Пусть последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, ...\ldots)</tex> удовлетворяет некоторому рекуррентному соотношению. Мы хотим получить выражение для <tex>a_n</tex> (при <tex>n \ge geqslant 0</tex>) в замкнутом виде. Алгоритм получения замкнутого выражения для чисел <tex>a_n</tex>, удовлетворяющих рекуррентному соотношению, с помощью производящих функций состоит из 4 шагов:

# Записать рекуррентное соотношение и начальные данные для него в следующем виде (если порядок соотношения равен <tex>k</tex>, то есть количество предшествующих элементов, требуемых для вычисления элемента с номером <tex>n</tex>, равно <tex>k</tex>):#: <tex>a_0=...\ldots,</tex>#: <tex>a_1=...\ldots,</tex>#: <tex>...\ldots</tex>#: <tex>a_{k-1}=...\ldots,</tex>#: <tex>a_{n}=...\ldots, n \ge geqslant k.</tex># Домножить каждую строчку на <tex>z </tex> в соответствующей степени и просуммировать строчки для всех n <tex> n \ge geqslant 0 </tex>.# В полученном уравнении привести все суммы <tex>\sum</tex> к замкнутому виду. Получить уравнение для производящей функции.

<tex>a_0=1,</tex>

<tex>a_1=2,</tex>

<tex>a_n=6a_{n-1}-8a_{n-2}+n, n \ge geqslant 2</tex>

<tex>G(z)=a_0+a_1z+\sum_sum\limits_{n=2}^\infty (6a_{n-1}-8a_{n-2}+n) z^n</tex>

<tex>G(z)=a_0+a_1z+6\sum_sum\limits_{n=2}^\infty a_{n-1}z^n - 8\sum_sum\limits_{n=2}^\infty a_{n-2}z^n+\sum_sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>

<tex>G(z)=a_0+a_1z+6z\sum_sum\limits_{n=1}^\infty a_{n}z^n - 8z^2\sum_sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}z^n+\sum_sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>

<tex>G(z)=a_0+a_1z+6z(G(z)-a_0) - 8z^2G(z)+\sum_sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>

<tex>G(z)=1-4z+6zG(z) - 8z^2G(z)+\sum_sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>

Для того, чтобы замкнуть последнюю сумму воспользуемся очень важным приемом, который используется при преобразовании производящих функций. Фактически мы имеем дело с последовательностью <tex>nb_n</tex> (в нашем случае последовательность <tex>b_n=(1, 1, 1, ...\ldots)</tex>). Такая последовательность получается путём дифференцирования функции <tex>B(z)</tex>, производящей для <tex>b_n</tex>, с последующим умножением результата на <tex>z</tex>:

<tex dpi = "150">zB'(z)=z(\sum_sum\limits_{n=0}^\infty b_n z^n)'=z\sum_sum\limits_{n=1}^\infty nb_n z^{n-1}=\sum_sum\limits_{n=0}^\infty nb_n z^n</tex>

<tex dpi = "150">\sum_sum\limits_{n=2}^\infty n z^n=z \sum_sum\limits_{n=2}^\infty n z^{n-1}= z (\sum_sum\limits_{n=2}^\infty z^n)'</tex>

<tex dpi = "150">\sum_sum\limits_{n=2}^\infty z^n=\sum_sum\limits_{n=0}^\infty z^n-1-z=\fracdfrac{1}{1-z}-1-z=\fracdfrac{z^2}{1-z}</tex>

<tex dpi = "150">z (\fracdfrac{z^2}{1-z})'=\fracdfrac{z^2(2-z)}{(1-z)^2}</tex>

Таким образом , наше последнее слагаемое примет вид:

<tex dpi = "150">G(z)=1-4z+6zG(z) - 8z^2G(z)+\fracdfrac{z^2(2-z)}{(1-z)^2}</tex>

<tex dpi = "180">G(z)=\fracdfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-6z+8z^2)(1-z)^2}</tex>  Разложим знаменатель на множители и разобьём дробь на сумму простых дробей <ref>[http://www.genfunc.ru/theory/pril04/ О разложении рациональной функции в ряд]</ref>:

Разложим знаменатель на множители и первое слагаемое в ряд, используя расширенные биномиальные коэффициенты <ref>[http://www.genfunc.ru/theory/pril04pril02/ разобьём дробь на сумму простых дробейРасширенные биномиальные коэффициенты]</ref>:

<tex dpi = "180">G(z)=\fracdfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-6z+8zz)^2)}=(1-z)^{-2}=\fracsum\limits_{1-6z+11zn=0}^2-5z^3{\infty}{(1-2z)(1-4z)2\choose n}(1-z)^2}n=\fracsum\limits_{1/3n=0}^{\infty} (-1-z)^2}n{n+1\frac{7/9choose 1}{1(-z}-)^n=\sum\fraclimits_{1/2n=0}^{1-2z\infty}(n+\frac{7/18}{1-4z})z^n</tex>

=== Расчет дисперсии геометрического распределения ===Метод производящих функций также используется для нахождения [[Дисперсия случайной величины | математического ожидания и дисперсии]] различных распределений в теории вероятностей. Например, в геометрическом распределении <ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Геометрическое распределение]</ref> для нахождения дисперсии <tex dpi = "160">=\sum_{n=0}^operatorname{\inftyD} (-1)^n{n+1\choose 1}(-zxi)^n=\sum_operatorname{n=0E}(\xi^2)-(\operatorname{\inftyE}(n+1\xi))z^n2</tex>нужно найти два мат. ожидания:

* <tex dpi = "160">G\operatorname{E}(z\xi)=\fracsum\limits_{n=1/3}^{\infty}n p(1-zp)^2}+\frac{7/9}{1n-z}-\frac{1/2}{1-2z}+\frac{7/18}{1-4z}=</tex>

* <tex dpi = "160">=\fracoperatorname{1}{3E}(\sum_{n=0}xi^{\infty} (n+12)z^n += \frac{7}{9}sum\sum_limits_{n=01}^{\infty} zn^n - \frac{1}{2}\sum_{n=0}p(1-p)^{\infty} 2^n z^n + \frac{7-1}{18}\sum_{n=0}^{\infty} 4^n z^n</tex>

которые фактически являются производящими функциями последовательностей <tex dpi = "160">a_n=\frac{n+1}{, 2, 3}+\frac{7}{ldots</tex> и <tex>1, 4, 9}-\frac{2^n}{2}+\frac{7 \cdot 4^n}{18}=\frac{7 \cdot 4^n+6n+20}{18}-2^{n-1}ldots</tex>:

* <tex dpi >= "160">\operatornamesum\limits_{n=0}^{E\infty}n p(1-p)^{n} + \xi)=sum\sum_limits_{n=1}^{\infty}n p (1-p)^{n-1} = </tex>

которые фактически являются производящими функциями последовательностей <tex>=p\sum\limits_{n=1, 2, 3...</tex> и <tex>}^{\infty}n(n+1)(1-p)^{n-1} - p\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(1-p)^{n-1, 4, 9...} =</tex>:

* <tex dpi >= "160">p\dfrac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{Ed}p^{2}}\left(\xi)=sum\sum_limits_{n=10}^{\infty}(1-p)^{n } \cdot(1-p )^2\right) +p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\sum\limits_{ n = 0}^{\infty}(1-p)^{n}\cdot(1-1} p)\right) = </tex>

<tex dpi = "160">= p\sum_dfrac{n=0\operatorname{d}^{2}}{\inftyoperatorname{d}p^{2}}\left(\dfrac{ 1}{1-(n+1-p) p } \cdot(1-p)^2\right) +p\dfrac{n\operatorname{d} }{\operatorname{d}p}\left(\dfrac{ 1}{1-(1-p)}\cdot(1-p)\right) = </tex>

<tex dpi = "160">= p\dfrac{\sum_operatorname{n=0d}^{2}}{\inftyoperatorname{d}n p ^{2}}\left(\dfrac{ (1-p)^2}{np} \right) + p\sum_dfrac{n=1\operatorname{d}}^{\inftyoperatorname{d} p }\left(\dfrac{ 1-p)^}{n-1p} \right) = </tex>

<tex dpi = "160">= (1-p) \operatornamecdot\dfrac{E2}({p^3} - p\xi) +cdot\dfrac{1 }{p^2} = \Rightarrow dfrac{2}{p^{2}} - \operatornamedfrac{E1}{p}(\xi) = \fracdfrac{12-p}{p^{2}}</tex>.

* <tex dpi = "160"> \operatorname{ED}(\xi^2) = p\sum_operatorname{n=1E}^{(\infty}nxi^{2}(1-p)^{n-1} =</tex> <tex dpi = "160"> =p(\sum_operatorname{n=1E}^{(\infty}n(n+1xi)(1-p)^{n-1} - p\sum_{n2=1}^{\infty}n(1-p)^dfrac{n2-1} =</tex> <tex dpi = "160"> = p\frac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}-\sum_dfrac{n=1}^{\infty}(1-p)^{n+12} + p=\fracdfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}1-p}\sum_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n2} =</tex>

=== Пример задачи на нахождение производящей функции ==={{Задача| about = | definition = Рассмотрим множество путей на прямой, состоящих из шагов длины <tex>1</tex> вправо и влево. Найдите производящую функцию для числа таких путей из <tex>n</tex> шагов, начинающихся в <tex>0</tex> и оканчивающихся в <tex>0</tex>.}}Заметим, что для того, чтобы закончить путь в <tex>0</tex>, необходимо совершить равное число шагов вправо и влево. Тогда задача сводится к тому, чтобы выбрать <tex dpi = "160"> = p\fracdfrac{\operatorname{dn}^{2}}</tex> позиций для, например, шагов вправо из всего <tex>n</tex> шагов. Тогда ответом будет сумма от нуля до бесконечности по <tex>n</tex> всех <tex>C^{\operatorname{dn}p^_{2}2n}</tex>. То есть:<tex>g(x) = \left(sum\sum_limits_{n=0}^{\infty}(1-p)C^{n} \cdot _{2n} x^n</tex>Рассмотрим <tex>f(1-px)^2= \right) +psum\fraclimits_{0}^{\operatorname{d}infty}C_n x^n </tex>, где <tex>C_n</tex> {\operatorname{d---}p}[[Числа Каталана | число Каталана]]. Тогда, заметим что <tex>f'(x) = \left(sum\sum_limits_{n=0}^{\infty}(1-p)n C_n x^{n-1}</tex>. Так как <tex>C_n = \cdotdfrac{1}{n+1} C_{2n}^n </tex>, то справедливо равенство:<tex>g(x) = (n+1-p)\rightf(x) =xf'(x) + f(x)</tex>

Мы знаем, что производящая функция для чисел Каталана равна <tex dpi = "160"> f(x) = p\frac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\fracdfrac{1}{1-(1-p)} \cdot (sqrt{1-p)^2\right) +p\frac{\operatorname{d4x}}{\operatorname{d2x}p}\left</tex>. Найдем <tex>f'(\frac{1}{1-(1-p)}\cdot(1-p)\rightx) =</tex>.

<tex dpi = "160"> f'(x) = p\fracdfrac{\operatorname{d}^dfrac{2}4x}{\operatornamesqrt{d1-4x}p^{} - 2 + 2}}\left(\fracsqrt{(1-p)4x}}{4x^2}{p}\right) +p= \fracdfrac{1 - 2x - \operatornamesqrt{d1-4x}}{2x^2 \operatorname{d}p}\left(\fracsqrt{1-p4x}{p}\right) =</tex>

{{Задача| about = | definition = Рассмотрим множество путей на прямой, состоящих из шагов длины <tex>1</tex> вправо и влево. Найдите производящую функцию для числа таких путей из <tex>n</tex> шагов, начинающихся и оканчивающихся в <tex>0</tex> и не заходящих в отрицательную полупрямую.}} Заметим, что задача аналогична [[Правильные скобочные последовательности | Правильной скобочной последовательности]]. Тогдапроизводящей функцией для нашей задачи будет производящая функция для правильной скобочной последовательности, а именно:

<!--easy биномы увеличить, но так имхо лучше--->На последнем шаге приведения производящей функции к замкнутому виду требуется разложить полученные слагаемые в ряд. Для этого можно воспользоваться таблицей основных производящих функций <ref>[http://www.genfunc.ru/theory/pril03/ таблицей основных Таблица производящих функций]</ref>.

| '''Последовательность ''' || '''Производящая функция в виде ряда ''' || '''Производящая функция в замкнутом виде'''|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, 0, 0,\ldots)</tex> || <tex>1</tex> || <tex>1</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(0, 0, \ldots, 0, 1, 0, 0\ldots)</tex> (<tex>m</tex> нулей в начале) || <tex>z^m</tex> || <tex>z^m</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, 1, 1,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{1-z}</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, 0, 0, \ldots, 0, 1, 0, 0, \ldots 0, 1, 0, 0\ldots)</tex> (повторяется через <tex>m</tex>) || <tex>\sum\limits z^{nm}</tex> || <tex>\dfrac{1}{1-z^m}</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, -1, 1, -1,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits (-1)^nz^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{1+z}</tex>

| <tex>(1, 02, 03,...4,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits (n+1 )z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-z)^2}</tex>

| <tex>(01, 02, ...4, 0, 18, 016, 0...\ldots)</tex> (m нулей в начале) || <tex>z\sum\limits 2^mnz^n</tex> || <tex>z^m\dfrac{1}{(1-2z)}</tex>

| <tex>(1, 1r, r^2, 1r^3,...\ldots)</tex> || <tex>\sum z\limits r^nz^n</tex> || <tex dpi="160">\fracdfrac{1}{(1-zrz)}</tex>

| <tex>(1, 0, 0, ..., </tex><tex>{m\choose 0}, {m\choose 1}, 0{m\choose 2}, 0{m\choose 3}, ... 0, 1, 0, 0...)\ldots</tex> (повторяется через <tex>m)</tex>) || <tex>\sum \limits {m\choose n}</tex> <tex>z^{nm}n</tex> || <tex dpi="160">\frac{1}{(1-+z)^m}</tex>

| <tex>(</tex><tex>1, -1{{m}\choose m}, {{m+1}\choose m}, -1{{m+2}\choose m},...\ldots</tex><tex>)</tex> || <tex>\sum (\limits {{m+n-1)^nz}\choose n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex dpi="160">\fracdfrac{1}{(1+-z)^m}</tex>

| <tex>(</tex><tex>1, {{m+1}\choose m}, {{m+2}\choose m}, {{m+3}\choose m}, 4,...\ldots</tex><tex>)</tex> || <tex>\sum (\limits {{m+n}\choose n+1)}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex dpi="160">\fracdfrac{1}{(1-z)^2{m+1}}</tex>

| <tex>(0, 1, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{4}, 8, 16,...\ldots)</tex> || <tex>\sum 2\limits \dfrac{(-1)^nz{n+1}}{n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex dpi="160">\frac{1}{ln(1-2z+z)^2}</tex>

| <tex>(1, r1, r^\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{6}, r^3\dfrac{1}{24},...\ldots)</tex> || <tex>\sum r^nz\limits \dfrac{1}{n!}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex dpi="160">\frac{1}{(1-rz)e^2}z</tex>

| <tex dpi="160">(1, -\dfrac{1}{2!}m^2, \dfrac{1}{4!}m^4, -\dfrac{1}{6!}m^6, \dfrac{1}{8!}m^8,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{1}{(2n)!}</tex> <tex>m^{(2n)}</tex>|| <tex>\cos m</tex dpi>|-align="130left"bgcolor=#FFFFFF| <tex>{(m, -\choose 0dfrac{1}, {3!}m^3, \choose dfrac{1}, {5!}m^5, -\choose 2dfrac{1}, {7!}m^7, \choose 3dfrac{1}{9!}m^9,...\ldots)</tex>|| <tex dpi="160">\sum\limits \dfrac{1}{(2n-1)!}</tex> || <tex>\sum m^{m\choose n(2n-1)}z^n</tex> || <tex>(1+z)^n\sin m</tex>

== Ссылки См. также == * [[Производящая функция Дирихле]] == Примечания ==<references/> == Источники информации ==

* [http://www.genfunc.ru/ genfunc.ruПроизводящие функции]* [http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function Wikipedia {{--- }} Generating function]