1632
правки
Изменения
м
<tex>=\dfrac{1}{1-x}\dfrac{1}{1-x^3}\dfrac{1}{1-x^5}\ldots=\prod_{n=1}^\infty(1+x^{ 2n - 1})</tex>
<tex>G(z)=\dfrac{1/3}{(1-z)^2}+\dfrac{7/9}{1-z}-\dfrac{1/2}{1-2z}+\dfrac{7/18}{1-4z}=</tex>
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|id=main
|definition=
'''Производящая функция''' (англ. ''generating function'') — это формальный степенной ряд:вида <tex>G(z)=\sum_sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n</tex>,порождающий(производящий) последовательность<tex>(a_0, a_1, a_2, \ldots)</tex>.
}}
Метод производящих функций был разработан Эйлером в 1750-х годах.
Производящая функция используется для:
* Компактной записи информации о последовательности;.* Нахождения зависимости <tex>a_n(n)</tex> для последовательности <tex>a_n</tex>, заданной рекуррентным соотношением. Например, для чисел Фибоначчи;.* Нахождения рекуррентного соотношения для последовательности {{---}} вид производящей функции может помочь найти формулу;.* Исследования асимптотического поведения последовательности;.* Доказательства тождеств с последовательностями;.* Решения задачи подсчета объектов в комбинаторике.Например, в доказательстве[[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|пентагональной теоремы]] или в задаче нахождения количества расстановок <tex>m</tex> ладей на доске <tex>n</tex> × <tex>\times n</tex>;.
* Вычисления бесконечных сумм.
== Примеры производящих функций ==
Рассмотрим производящие функции для различных комбинаторных последовательностей:
* <tex>\prod_prod\limits_{ n = 1}^\infty(1-x^n)</tex> {{---}} производящая функция для разности количества разбиений числа <tex>n</tex> в четное и нечетное число различных слагаемых.Например , коэффициент при <tex>x^5</tex> {{---}} равен <tex>+1</tex>, потому-что существует два разбиение разбиения на четное число различных слагаемых (<tex>(4+1</tex>; <tex>3+2)</tex>) и одно на нечетное (<tex>5</tex>). Правильность этого легко осознать, если понять, что каждая скобка представляет какое-то слагаемое и мы можем его взять(второе слагаемое {{---}} <tex>-x^k</tex>) или не взять(первое {{---}} <tex>1</tex>). Эта производящая функция используется в комбинаторном доказательстве пентагональной теоремы. * <tex> \prod_{n=1}^\infty \dfrac{1}{1-x^n}</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>p_n</tex>, где <tex>p_i</tex>{{---}}количество разбиений числа <tex>i</tex> на слагаемые.
* <tex>\prod_prod\limits_{ n = 1}^\infty(\dfrac{1}{1+-x^n)}</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>d_np_n</tex>, где <tex>d_ip_i</tex>{{---}}количество число разбиений числа <tex>i</tex> на различные слагаемые.
* <tex>\prod_prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^{ 2n - 1}n)</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>l_nd_n</tex>, где <tex>l_id_i</tex>{{---}}количество число разбиений на нечётные различные слагаемые.С помощью метода производящих функций можно доказать, что производящие функции последовательностей равны, соответственно <tex>d_n = l_n </tex>: <tex>\prod_{n=1}^\infty(1+x^{ n})=\prod_{n=1}^\infty \dfrac{1-x^{2n}}{1-x^n}=\dfrac{1-x^2}{1-x}\dfrac{1-x^4}{1-x^2}\dfrac{1-x^6}{1-x^3}\ldots=</tex>
* <tex>\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^{ 2n - 1})^{-1}</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>l_n</tex>, где <tex>l_i</tex> {{---}} число разбиений на нечётные слагаемые. С помощью метода производящих функций можно доказать, что производящие функции последовательностей равны, соответственно <tex>d_n = l_n </tex>: <tex>\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^{ n})=\prod\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1-x^{2n}}{1-x^n}=\dfrac{1-x^2}{1-x}\dfrac{1-x^4}{1-x^2}\dfrac{1-x^6}{1-x^3}\ldots=</tex>
<tex>=\dfrac{1}{1-x}\dfrac{1}{1-x^3}\dfrac{1}{1-x^5}\ldots=\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^{ 2n - 1})^{-1}</tex>
== Примеры решений задач методом производящих функций ==
[[Числа Каталана | числа Каталана]]. Метод производящих функций позволяет получить выражение для <tex>a_n</tex> через номер элемента в последовательности в замкнутом виде, то есть в таком виде, что выражение можно вычислить, предполагая, что <tex>z</tex> достаточно мало.
Пусть последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, \ldots)</tex> удовлетворяет некоторому рекуррентному соотношению.Мы хотим получить выражение для <tex>a_n</tex> (при <tex>n \geqslant 0</tex>) в замкнутом виде.Алгоритм получения замкнутого выражения для чисел <tex>a_n</tex>, удовлетворяющих рекуррентному соотношению, с помощью производящих функций состоит из 4 шагов:
# Записать рекуррентное соотношение и начальные данные для него в следующем виде (если порядок соотношения равен <tex>k</tex>, то есть количество предшествующих элементов, требуемых для вычисления элемента с номером <tex>n</tex>, равно <tex>k</tex>):
<tex>G(z)=a_0+a_1z+\sum_sum\limits_{n=2}^\infty(6a_{ n - 1}-8a_{n-2}+n) z^n</tex>
<tex>G(z)=a_0+a_1z+6\sum_sum\limits_{n=2}^\infty a_ { n-1}z^n - 8\sum_sum\limits_{n=2}^\infty a_ { n-2}z^n+\sum_sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>
<tex>G(z)=a_0+a_1z+6z\sum_sum\limits_{n=1}^\infty a_ { n }z^n - 8z^2\sum_sum\limits_{n=0}^\infty a_ { n }z^n+\sum_sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>
<tex>G(z)=a_0+a_1z+6z(G(z)-a_0) - 8z^2G(z)+\sum_sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>
<tex>G(z)=1-4z+6zG(z) - 8z^2G(z)+\sum_sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>
<tex>zB'(z)=z(\sum_sum\limits_{n=0}^\infty b_n z^n)'=z\sum_sum\limits_{ n = 1}^\infty nb_n z^{n-1}=\sum_sum\limits_{n=0}^\infty nb_n z^n</tex>
<tex>\sum_sum\limits_{n=2}^\infty n z^n=z \sum_sum\limits_{n=2}^\infty n z^{n-1}= z(\sum_sum\limits_{ n = 2}^\infty z^n)'</tex>
<tex>\sum_sum\limits_{n=2}^\infty z^n=\sum_sum\limits_{n=0}^\infty z^n-1-z=\dfrac{1}{1-z}-1-z=\dfrac{z^2}{1-z}</tex>
Таким образом , наше последнее слагаемое примет вид:
<tex>\dfrac{ 1}{(1-z)^2}=(1-z)^{-2}=\sum_sum\limits_{n=0}^{\infty} {-2\choose n}(-z)^n=</tex> <tex>=\sum_sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n{n+1\choose 1}(-z)^n=\sum_sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n</tex>
<tex>G(z)=\dfrac{1/3}{(1-z)^2}+\dfrac{7/9}{1-z}-\dfrac{1/2}{1-2z}+\dfrac{7/18}{1-4z}=\dfrac{1}{3}\sum_sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+1)z^n +\dfrac{7}{9}\sum_sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n - \dfrac{1}{2}\sum_sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^n z^n + \dfrac{7}{18}\sum_sum\limits_{n=0}^{\infty} 4^n z^n</tex>
* <tex>\operatorname{E}(\xi)=\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty}n p(1-p)^{n-1} </tex>
* <tex>\operatorname{E}(\xi^2) = \sum_sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{2}p(1-p)^{n-1}</tex>
* <tex>\operatorname{ E}(\xi)=\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty}n p(1-p)^{n-1} = </tex>
<tex>= \sum_sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1) p(1-p)^{n} = </tex>
<tex>= \sum_sum\limits_{n=0}^{\infty}n p(1-p)^{n} + \sum_sum\limits_{n=1}^{\infty} p(1-p)^{n-1} = </tex>
<tex>= (1-p) \operatorname{E}(\xi) +1 \Rightarrow \operatorname{E}(\xi) = \dfrac{1}{p}</tex>
* <tex>\operatorname{E}(\xi^2) = p\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{2}(1-p)^{n-1} =</tex>
<tex>=p\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)(1-p)^{n-1} - p\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty}n(1-p)^{n-1} =</tex>
<tex>= p\dfrac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n+1} + p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n} =</tex>
<tex>= p\dfrac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\sum_sum\limits_{ n = 0}^{\infty}(1-p)^{n} \cdot(1-p)^2\right) +p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\sum_sum\limits_{ n = 0}^{\infty}(1-p)^{n}\cdot(1-p)\right) =</tex>
<tex>= p\dfrac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\dfrac{ 1}{1-(1-p)} \cdot(1-p)^2\right) +p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\dfrac{ 1}{1-(1-p)}\cdot(1-p)\right) =</tex>
<tex>\operatorname{D}(\xi)=\operatorname{E}(\xi^2)-(\operatorname{E}(\xi))^2= \dfrac{2-p}{p^{2}}-\dfrac{1}{p^2}=\dfrac{1-p}{p^2}</tex>
=== Пример задачи на нахождение производящей функции ===
{{Задача
| about =
| definition = Рассмотрим множество путей на прямой, состоящих из шагов длины <tex>1</tex> вправо и влево. Найдите производящую функцию для числа таких путей из <tex>n</tex> шагов, начинающихся в <tex>0</tex> и оканчивающихся в <tex>0</tex>.
}}
Заметим, что для того, чтобы закончить путь в <tex>0</tex>, необходимо совершить равное число шагов вправо и влево. Тогда задача сводится к тому, чтобы выбрать <tex>\dfrac{n}{2}</tex> позиций для, например, шагов вправо из всего <tex>n</tex> шагов. Тогда ответом будет сумма от нуля до бесконечности по <tex>n</tex> всех <tex>C^{n}_{2n}</tex>. То есть:
<tex>
g(x) = \sum\limits_{0}^{\infty} C^{n}_{2n} x^n
</tex>
Рассмотрим <tex>f(x) = \sum\limits_{0}^{\infty} C_n x^n </tex>, где <tex>C_n</tex> {{---}} [[Числа Каталана | число Каталана]]. Тогда, заметим что <tex>f'(x) = \sum\limits_{0}^{\infty} n C_n x^{n-1} </tex>. Так как <tex>C_n = \dfrac{1}{n+1} C_{2n}^n </tex>, то справедливо равенство:
<tex>
g(x) = (n+1)f(x) = xf'(x) + f(x)
</tex>
Мы знаем, что производящая функция для чисел Каталана равна <tex>f(x) = \dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}</tex>. Найдем <tex>f'(x)</tex>.
<tex>
f'(x) = \dfrac{\dfrac{4x}{\sqrt{1-4x}} - 2 + 2\sqrt{1-4x}}{4x^2} = \dfrac{1 - 2x - \sqrt{1-4x}}{2x^2 \sqrt{1-4x}}
</tex>
Соответственно, ответом будет производящая функция вида:
<tex>
g(x) = \dfrac{1 - 2x - \sqrt{1-4x}}{2x \sqrt{1-4x}} + \dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 4x}}
</tex>
{{Задача
| about =
| definition = Рассмотрим множество путей на прямой, состоящих из шагов длины <tex>1</tex> вправо и влево. Найдите производящую функцию для числа таких путей из <tex>n</tex> шагов, начинающихся и оканчивающихся в <tex>0</tex> и не заходящих в отрицательную полупрямую.
}}
Заметим, что задача аналогична [[Правильные скобочные последовательности | Правильной скобочной последовательности]]. Тогда производящей функцией для нашей задачи будет производящая функция для правильной скобочной последовательности, а именно:
<tex>
g(x) = \dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}
</tex>
== Приложения ==
=== Примеры простых производящих функций ===
<!--easy биномы увеличить, но так имхо лучше--->На последнем шаге приведения производящей функции к замкнутому виду требуется разложить полученные слагаемые в ряд. Для этого можно воспользоваться таблицей основных производящих функций <ref>[http://www.genfunc.ru/theory/pril03/ Таблица производящих функций]</ref>.
Все суммы выполняются по переменной <tex>n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>\infty</tex>. Элементы последовательности нумеруются от <tex>0</tex>.
|+
|-align="center" bgcolor=#EEEEFF
| '''Последовательность ''' || '''Производящая функция в виде ряда ''' || '''Производящая функция в замкнутом виде'''
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 0, 0,\ldots)</tex> || <tex>1</tex> || <tex>1</tex>
| <tex>(0, 0, \ldots, 0, 1, 0, 0\ldots)</tex> (<tex>m</tex> нулей в начале) || <tex>z^m</tex> || <tex>z^m</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 1, 1,\ldots)</tex> || <tex>\sum \limits z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{1-z}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 0, 0, \ldots, 0, 1, 0, 0, \ldots 0, 1, 0, 0\ldots)</tex> (повторяется через <tex>m</tex>) || <tex>\sum \limits z^{nm}</tex> || <tex>\dfrac{1}{1-z^m}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, -1, 1, -1,\ldots)</tex> || <tex>\sum \limits (-1)^nz^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{1+z}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 2, 3, 4,\ldots)</tex> || <tex>\sum \limits (n+1)z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-z)^2}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 2, 4, 8, 16,\ldots)</tex> || <tex>\sum \limits 2^nz^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-2z)^2}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, r, r^2, r^3,\ldots)</tex> || <tex>\sum \limits r^nz^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-rz)^2}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(</tex><tex>{m\choose 0}, {m\choose 1}, {m\choose 2}, {m\choose 3},\ldots</tex><tex>)</tex> || <tex>\sum \limits {m\choose n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>(1+z)^m</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(</tex><tex>1, {{m}\choose m}, {{m+1}\choose m}, {{m+2}\choose m},\ldots</tex><tex>)</tex> || <tex>\sum \limits {{m+n-1}\choose n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-z)^m}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(</tex><tex>1, {{m+1}\choose m}, {{m+2}\choose m}, {{m+3}\choose m},\ldots</tex><tex>)</tex> || <tex>\sum \limits {{m+n}\choose n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-z)^{m+1}}</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(0, 1, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{4},\ldots)</tex> || <tex>\sum \limits \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>\ln(1+z)</tex>
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| <tex>(1, 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{24},\ldots)</tex> || <tex>\sum \limits \dfrac{1}{n!}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>e^z</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, -\dfrac{1}{2!}m^2, \dfrac{1}{4!}m^4, -\dfrac{1}{6!}m^6, \dfrac{1}{8!}m^8,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{1}{(2n)!}</tex> <tex>m^{(2n)}</tex> || <tex>\cos m</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(m, -\dfrac{1}{3!}m^3, \dfrac{1}{5!}m^5, -\dfrac{1}{7!}m^7, \dfrac{1}{9!}m^9,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{1}{(2n-1)!}</tex> <tex>m^{(2n-1)}</tex> || <tex>\sin m</tex>
|}
== См. также ==
* [[Производящая функция Дирихле]]
== Примечания ==
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
[[Категория: Подсчёт числа объектов]]
