Изменения

== {{Определение образца =|definition='''Образцом''' (англ. ''pattern'') называется конечное множество слов, объединённое [[Свойства_перечислимых_языков._Теорема_Успенского-Райса|свойством]].}}

Пусть '''Язык <tex>\gamma=\{L</tex> удовлетворяет свойству <x_1,y_1tex>,A<x_2,y_2/tex>''',...,если <x_n,y_ntex>L \}in A</tex>.Тогда ( этот язык содержится в <tex>\gammaA</tex> называется образцом).

Пусть '''Язык <tex>A_L</tex> удовлетворяет образцу <tex>X</tex>''', если <tex>L</tex> содержит все элементы <tex>X</tex>.}}{\gamma}=\{p Определение| p(x_1)definition=y_1 \wedge p(x_2)=y_2 \wedge ... \wedge p(x_n)=y_n'''Язык <tex>L</tex> удовлетворяет множеству образцов <tex>\}Gamma</tex>.Тогда ''', если <tex>A_{\gamma}L</tex> называется свойством образца удовлетворяет хотя бы одному образцу <tex>X \in \gammaGamma</tex>.

|statement =Свойство Пусть <tex>A_{A</tex> — перечислимое свойство языков, <tex>G \gamma}in A</tex> перечислимо для любого образца . Тогда верно следствие: <tex>G \gammasubset H \Rightarrow H \in A</tex>.|proof =ОчевидноСтроим доказательство от противного. Пусть <tex>G \in A</tex>, как строится программа<tex>G \subset H</tex>, которая возвращает 1<tex>H \notin A</tex>, если <tex>p K</tex> — перечислимое неразрешимое множество. Построим следующую вычислимую функцию:<tex>f(x, y) = \begin{cases}x \in H & y \in A_K\\x \in G & y \notin K\end{cases}</tex> Вычисляется эта функция следующим образом: параллельно запускаем проверки <tex>x \in G</tex> и <tex>y \in K</tex>. Если <tex>x \in G</tex>, то <tex>x \in H</tex>, следовательно, функция возвращает единицу вне зависимости от <tex>y</tex>. Если <tex>y \in K</tex>, то запускаем проверку <tex>x \gamma}in H</tex>. Разрешим множество <tex>K</tex>с помощью этой функции. Для проверяемого элемента <tex>y</tex> подготовим программу <tex>g</tex> :  <tex>g(запускаем x):</tex> '''if''' <tex>x \in H</tex> '''return''' <tex>py \in K</tex> на '''if''' <tex>x\in G</tex> '''return''' <tex>y \notin K</tex> После этого запустим параллельно проверки <tex>y \in K</tex>-ах и проверяем<tex>L(g) \in A</tex>. Если <tex>y \in K</tex>, то первая проверка завершится. Иначе функция <tex>g</tex> задаёт язык <tex>G</tex>, который обладает свойством <tex>A</tex>, следовательно, вторая проверка завершится, сигнализируя о том, что программа вернёт соответствующие <tex>y\notin K</tex>-ки).Такой программы достаточно для доказательства перечислимостиНо <tex>K</tex> не является разрешимым множеством, получено противоречие.

{{Лемма|statement=Пусть <tex>A</tex> — перечислимое свойство, <tex>G \in A</tex>. Тогда существует конечное множество <tex>H \in A</tex>, которое является подмножеством <tex>G</tex>.|proof= Лемма о перечислимости свойства перечислимого множества образцов Строим доказательство от противного. Пусть <tex>G \in A</tex>, и любое конечное подмножество <tex>G</tex> не удовлетворяет свойству <tex>A</tex>, <tex>K</tex> — перечислимое неразрешимое множество. Определим следующую функцию:* <tex>f(x, y) =false</tex>, если за <tex>x</tex> шагов перечисления <tex>K</tex> появилось слово <tex>y</tex>.* <tex>f(x, y) =x \in G</tex> иначе.Заметим, что если <tex>y \in K</tex>, то <tex>f(x, y)</tex> распознаёт некоторое конечное подмножество <tex>G</tex> и всё множество <tex>G</tex> иначе. Эта функция тривиальным образом разрешима, построим с её помощью разрешитель <tex>K</tex>. Аналогично доказательству первой леммы, подготовим программу <tex>g</tex>:

{{Лемма g(x):|statement =Пусть <tex>\Gamma</tex> - перечислимое множество образцов '''return''' f(x, <tex>A_{\Gamma} = \bigcup\limits_{\gamma \in \Gamma}{A_{\gamma}}</tex>.Тогда <tex>A_{\Gamma}</tex> - перечислимо.y)|proof =Приведём программу, выдающую 1, если После этого параллельно запустим проверки <tex>p y \in A_{\Gamma}K</tex>: и <tex>qL(pg):\in A</tex> for . Аналогично, данная процедура разрешает множество <tex>k = 1..+\inftyK</tex> for <tex>\gamma \in \Gamma[1..k]</tex> if Но <tex>(p \in A_{\gamma})|_{TL(k)}K</tex> return 1Этого достаточно для доказательства перечислимостине является разрешимым, получено противоречие.

== '''Теорема Райса-Шапиро ==''' позволяет дать простое описание перечислимым свойствам языков. Заметим, что вычислимо работать с произвольными языками возможности нет, поэтому далее неявно подразумевается, что все рассматриваемые языки являются [[Перечислимые языки|перечислимыми]]. Заметим, что образцы являются конструктивными объектами, следовательно, можно говорить о разрешимых и перечислимых множествах образцов.

|about=Райса-Шапиро|statement =Свойство функций языков <tex>A</tex> перечислимо тогда и только тогда, когда <tex>\iff \exists \Gamma: L \in A = A_{\Gamma}</tex>, где <tex>iff L \subseteq \Gamma.</tex> - перечислимое множество образцов.|proof =}} 

:Очевидно (перебор по TL)Доказательство в одну сторону тривиально: пусть <tex>\Gamma</tex> — перечислимое множество образцов. Будем обозначать за <tex>\Gamma_i</tex> образец с номером <tex>i</tex>, а за <tex>\Gamma_{ij}</tex> — элемент с номером <tex>j</tex> образца с номером <tex>i</tex>. Далее приведён код полуразрешителя <tex>A</tex>, который принимает на вход код полуразрешителя <tex>L</tex> и возвращает значение <tex>L \in A</tex>.

:Здесь нам потребуются две вспомогательные леммыДокажем, что данное построение корректно.:{{Лемма|statement =Пусть <tex>A</tex> - перечислимое свойство функцийОбозначим множество образцов, принимаемое построенным выше полурарешителем <tex>g \in A</tex>, <tex>h</tex> - продолжение <tex>gGamma</tex>.Тогда Пусть существует <tex>h \gamma \in A</tex>.|proof =Докажем от противного.Пусть <tex>g \in AGamma</tex>такой, что <tex>h</tex> - продолжение <tex>gL</tex>, удовлетворяет <tex>h \notin Agamma</tex>. Рассмотрим перечислимое и неразрешимое множество По определению <tex>K</tex> и следующую программу: <tex>V(n, x) = \begin{cases} h(x)\text{, if $n \in K$;}\\ g(x)\text{, else.} \end{cases}Gamma</tex> <tex>V</tex> - вычислимая (можно параллельно запустить <tex>g(x)</tex> и проверку, принадлежит ли язык <tex>n\gamma</tex> множеству удовлетворяет свойству <tex>K</tex> (просто перечисляя это множество); если <tex>g(x)A</tex> успешно выполнится, то вернуть её результат). Пусть <tex>p(x)=V(n, x)</tex>.Тогда программа, которая запускает параллельно проверку, принадлежит ли <tex>n</tex> множеству <tex>K</tex> (просто перечисляя это множество), и проверку, принадлежит ли Язык <tex>pL</tex> множеству удовлетворяет свойству <tex>A</tex>, является разрешающей программой для множества <tex>K</tex> (так по первой лемме как если надмножество <tex>p \in Agamma</tex>, то <tex>n \notin K</tex> по построению <tex>V(n, x)</tex>). Противоречие.}}

{{Лемма|statement =Если <tex>A</tex> - перечислимое свойство функций, <tex>g \in A</tex>, то <tex>\exists h</tex>, такое что <tex>|Dom(h)| < +\infty</tex>, <tex>g</tex> - продолжение <tex>h</tex>, <tex>h \in A</tex>= См.|proof также==<доказательство>}}