Изменения

==Класс Определения == {{Определение|definition =<b>Интерактивным протоколом</b> (англ. ''interactive protocol'') <tex> \langle P, V \rangle </tex>, разрешающим язык <tex>L</tex>, называется абстрактная машина (см. рисунок), моделирующая вычисления как обмен сообщениями между двумя программами (где <tex>P</tex> означает <tex> \mathrm{Prover}</tex> и <tex> V </tex> означает <tex>\mathrm{Verifier}</tex>), такими, что# <tex>P</tex> заинтересован в том, чтобы <tex>V</tex> решил, что слово <tex>x</tex> принадлежит языку.# <tex>P</tex> не ограничен по времени вычисления и памяти.# <tex>V</tex> заинтересован установить, действительно ли слово <tex>x</tex> принадлежит языку.# <tex>V</tex> {{---}} [[Вероятностные вычисления. Вероятностная машина Тьюринга|вероятностная машина Тьюринга]].# <tex>V</tex> ограничен полиномиальным временем работы.}}[[Файл:IPS.png|600px|thumb|right|Схема интерактивного протокола.]] '''Замечания''':# <tex> V </tex> и <tex> P </tex> по очереди становятся активными. <tex> V </tex> активизируется первым. В течение работы <tex> V </tex> выполняет вычисления, используя вход, очередные данные с вероятностной ленты и сообщение, пришедшее от <tex> P </tex>, и пишет запрос <tex> P </tex>. Как только <tex> V </tex> написал сообщение, он дизактивируется, и <tex> P </tex> становится активным, если протокол не завершился. Любая машина может завершить выполнение протокола просто не посылая сообщение во время своей активной фазы. <tex> V </tex> принимает (или отвергает) вход, выводит '''true''' (или '''false''') и завершает выполнение протокола. Время работы <tex> V </tex> {{---}} это сумма времен работы, затраченных <tex> V </tex> в течение активной фазы, и это время ограничено полиномом от длины входа.# <tex>V</tex>, обменивающийся сообщениями с фиксированным <tex>P</tex>, обозначим <tex>V_{P}</tex>.# Для того, чтобы <tex> V </tex> принял слово, <tex>P</tex> старается максимизировать вероятность <tex>\mathbb{P}(V_{P}(x) = 1)</tex>, выбирая нужные ответы на запросы.# Так как мы не ограничиваем <tex>P</tex> в вычислительной мощности, то он может работать бесконечное время, а значит <tex>V</tex> не получит ответ на какой-то вопрос. Но <tex>P</tex> хочет, чтобы <tex> V</tex> принял слово, значит нужно выбирать "хорошие" протоколы, чтобы таких ситуаций не появлялось.# <tex> P </tex> может быть и вероятностной и детерминированной машиной Тьюринга. Так как он имеет неограниченные вычислительные ресурсы, то на каждом ходу он может выбрать такие вероятностные данные и произвести вычисления с ними, что они максимизируют вероятность принятия слова <tex> V </tex>.# С другой стороны, для <tex> V </tex> важно быть вероятностной программой, так как иначе он будет принимать или отвергать слова с вероятностью <tex> 1 </tex>. И пользуясь предыдущим фактом, получим, что <tex> V_{P} </tex> всегда принимает слова из <tex> L </tex>. # Так как <tex> V </tex> может писать и читать полиномиальное число символов, то длина сообщений между <tex> V </tex> и <tex> P </tex> есть полином от длины <tex> x </tex>.  Интерактивные протоколы делятся на два типа в зависимости от доступа <tex>P</tex> к вероятностной ленте <tex>V</tex>:# ''' public coins ''' (русск. ''открытые монеты'') {{---}} <tex>P</tex> может видеть вероятностную ленту <tex>V</tex>;# ''' private coins ''' (русск. ''закрытые монеты''){{---}} <tex>P</tex> <b>не</b> может видеть вероятностную ленту <tex>V</tex>. {{Определение|definition =Если для интерактивного протокола выполняется <tex> \forall x \in L \Rightarrow \exists P : \mathbb{P}(V_{P}(x) = 1) \geqslant c </tex>, то говорят, что он обладает свойством ''' completeness ''' (русск. ''полнота'') равным <tex> c </tex>.}}Если <tex>c = 1</tex> ('''perfect completeness''' (русск. ''идеальная полнота'')), то это означает, что никакое верное утверждение не отклоняется <tex> V </tex>. {{Определение|definition =Если для интерактивного протокола выполняется <tex> \forall x \notin L \Rightarrow \forall P : \mathbb{P}(V_{P}(x) = 1) \leqslant 1 - s </tex>, то говорят, что он обладает свойством ''' soundness ''' (русск. ''достоверность'') равным <tex> s </tex>.}} Если <tex>s = 1 </tex> ('''perfect soundness''' (русск. ''идеальная достоверность'')), то это означет, что если утверждение ложно, то никакой <tex>P</tex> не может убедить <tex>V</tex>, что утверждение истино. В этом случае мы получем класс <tex> \mathrm{NP} </tex>. Потому что <tex> x \in L </tex> тогда и только тогда, если существует последовательность случайных вопросов, генерируемых <tex> V </tex>, и последовательность ответов <tex> P </tex>, которые убеждают <tex> V </tex> в том, что <tex> x \in L </tex>. Обратное утверждение сохраняется по предположению идеальной достоверности. {{Определение|definition =<tex>\mathrm{IP}[f] </tex> (''Interactive Polynomial time'') <tex> = \{L \mid \exists </tex> интерактивный протокол <tex>\langle P, V \rangle : </tex># <tex>P</tex> не имеет доступа к вероятностной ленте <tex>V</tex> (private coins).# <tex> c \geqslant 2/{3} </tex>.# <tex> s \geqslant 2 /{3} </tex>.# число раундов интерактивного протокола <tex> O(f(n)), n = |x|\}</tex>.}}{{Определение|definition =<tex>\mathrm{IP}=\bigcup\limits_{p(n) \in poly} \mathrm{IP} [p(n)] </tex>}}То есть <tex> \mathrm{IP}</tex> {{---}} множество языков разрешимых интерактивным протоколом, таких, что число сообщений ограничено полиномом от длины слова и <tex>V</tex> должен решить лежит ли слово в языке с вероятностью ошибки не более <tex>1/{3}</tex>. Язык <tex>\mathrm{AM}</tex> (''Arthur–Merlin games'') отличается от <tex>\mathrm{IP}</tex> лишь тем, что <tex>P</tex> может видеть вероятностную ленту <tex>V</tex>.

<tex>IP\mathrm{AM}[f] = \{L|\mid \exists </tex> интерактивный протокол <tex>\langle P, V, P \rangle : </tex> # <tex>P<br/tex> может читать вероятностную ленту <tex>V</tex> (public coins).# <tex> 1) c \forall x geqslant 2/{3} </tex>.# <tex> s \in L \Rightarrow Pgeqslant 2 /{3} </tex>.# число раундов интерактивного протокола <tex> O(Vf(n)), n = |x) |\}</tex>.}} {{Определение|definition = <tex>\mathrm{AM}= 1\bigcup\limits_{p(n) \ge in poly} \fracmathrm{2AM} [p(n)] </tex>}} == Соотношения с другими классами теории сложности == {{Теорема|statement=<tex>\mathrm{3BPP} </tex><brtex>\subset \mathrm{IP}[0]</tex>.|proof=<tex> 2) V</tex> сам по себе является вероятностной машиной Тьюринга и поэтому может разрешить [[Классы_BPP_и_PP|язык из <tex>\forall x \notin L \Rightarrow mathrm{BPP}</tex>]] не прибегая к общению с <tex>P(V(x) </tex>.}} {{Теорема|statement= 1) <tex>\mathrm{NP} \le subset \fracmathrm{IP}[1}]</tex>.|proof=Для разрешения [[Классы_NP_и_Σ₁#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F.2C_.D1.81.D0.B2.D1.8F.D0.B7.D1.8C_.CE.A3.E2.82.81_.D0.B8_NP|языка из <tex>\mathrm{3NP} </tex>]] будем использовать следующий протокол:<tex>V<br/tex> будет проверять на принадлежность слова <tex>x</tex> языку, используя сертификат, который он запросит у <tex> 3) P</tex> Число раундов интерактивного протокола . Так как <tex>P</tex> f(n)не ограничен в вычислительной мощности, он может подобрать подходящий сертификат и именно его и сообщит, так как он заинтересован в том, n чтобы <tex>V</tex> принял слово. Для этого требуется лишь один раунд интерактивного протокола.}} == Язык GNI == {{Определение|xdefinition=<tex>\mathrm{GNI}</tex> расшифровывается как Graph Non Isomorphism. Это язык пар [[Основные_определения_теории_графов#.D0.9E.D1.80.D0.B8.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B3.D1.80.D0.B0.D1.84.D1.8B| неизоморфных друг другу графов]].<tex>\mathrm{GNI}=\{ \langle G, H \rangle \mid </tex>графы <tex>G<br/tex> и <tex>H</tex> не изоморфны <tex>\}</tex>.

|statement=<tex>\mathrm{NPGNI} \subset in \mathrm{IP}[1]}</tex>.

*Пусть на вход подали пару графов <tex>\mathrmlangle G_{NC^i0} \subset \mathrm, G_{AC^i1}\rangle </tex> и нужно определить изоморфны ли они.Будем использовать следующий алгоритм для <tex>V<br/tex>:Это понятно из определения # Возьмём случайное число <tex>i \in \mathrm{NC^i0, 1\}</tex> и [[Комбинаторные_объекты|случайную перестановку]] <tex>\mathrm{AC^pi</tex> с вероятностной ленты;# Создадим новый граф <tex> G </tex>, перемешав вершины графа c номером <tex>i}</tex> перестановкой <tex>\pi</tex>. # Перешлём <tex>P<br/tex> полученный граф <tex>*G </tex> с просьбой определить, из какого из исходных графов он был получен. Если <tex>G_{0} \mathrmncong G_{AC^i1} \subset \mathrm</tex>, то он может перебрать все перестановки графов <tex> G_{NC^0}, G_{i+1}</tex>, и так как <tex>G_{0} \ncong G_{1}</tex> , то только одна перестановка только на одном графе даст <tex> G <br/tex>. Иначе, существуют такие перестановки <tex>Пусть \phi, \psi </tex>, что <tex>L \in phi(G_0) = \mathrm{AC^i}psi(G_1) = G </tex>. , и <tex>LP </tex> распознается семейством схем никак не сможет определить из какого графа был получен <tex>C_nG </tex> полиномиального размера. ЗначитТогда <tex> P </tex> просто попытается угадать граф, степень входа элементов схемы вернув случайно <tex> 0 </tex> или <tex>C_n1 </tex> .# Получив ответ, сравним его с правильным ответом — это полином от числом <tex>ni</tex>. Заменим элементы схемы # Если полученный ответ не совпадёт с <tex>i</tex>, то вернём <tex>C_n0</tex> элементами со степенью входа .# Иначе повторим первые пять шагов ещё раз и перейдём к последнему шагу.# Если мы ещё не более двух следующим образом: вернули <tex>0</tex>, то вернём <tex>1<br/tex>. Покажем, что это удовлетворяет ограничениям на <tex>\mathrm{IP}[[Файл:circuit1]</tex>.jpg]]При замене каждого такого элемента глубина схемы увеличивается Во-первых, очевидно, что число раундов не более чем превосходит двух. Рассмотрим теперь два случая:* <tex> \langle G, H \rangle \in \mathrm{GNI}</tex>. Тогда <tex>G</tex> и <tex>H</tex> неизоморфны и <tex>P</tex> сможет определить какой граф был перемешан <tex>V</tex>. Таким образом, <tex>P</tex> сможет два раза подряд вернуть правильный ответ и в итоге <tex>V</tex> вернёт <tex>log_2 r(n) = O(log(n))1</tex>, а так как изначально глубина схемы была . То есть получили completeness равную <tex>O(log^i(n))1 </tex>, то после замены всех элементов глубина схемы станет .* <tex>O(log^i(n)) \cdot O(log(n)) = O(log^langle G, H \rangle \notin \mathrm{i+1GNI}(n))</tex>.Тогда <tex>G</tex> и <tex>H</tex> изоморфны и <tex>P</tex> не сможет определить какой граф был перемешан <tex>V<br/tex> . Так как при замене элемента мы добавляем <tex>P</tex> заинтересован в том, чтобы <tex>V</tex> принял слово, ему необходимо угадать правильный ответ (иначе <tex>V</tex> просто вернёт <tex>0</tex>). Вероятность того, что <tex>V</tex> примет слово <tex>x</tex>, когда оно не более принадлежит языку (то есть <tex>P</tex> два раза подряд верно угадает номер графа с вероятностью <tex>r(n0.5 </tex>), равна <tex>0.25</tex>. Значит soundness равна <tex> 0.75 </tex> элементов, а изначально размер схемы был полиномиальным и каждый ее элемент мы заменили на полином элементовчто больше или равно <tex> 2/{3} </tex>.Таким образом, то после всех замен размер схемы остался полиномиальнымпостроенный протокол удовлетворяет условию теоремы.