Изменения

{{УтверждениеТеорема|about=замкнутость спектрао резольвентном множестве

Любое <tex > n > n_0</tex> представим как <tex>n = p_n n_0 + q_n</tex>, где <tex>q_n = 0, 1, \ldots, n_0 - 1</tex>.

Рассмотрим <tex>{\|A^{n_0}\|}^{\frac{p_0p_n}{n}} = {\|A^{n_0}\|}^{\frac{n_0p_n}{p_n n_0 + q_n}} \le {\|A^{n_0}\|}^{\frac{n_0p_n}{p_n n_0}} = \|A^{n_0}\|^{\frac{1}{n_0}} < r+ \varepsilon</tex>.

Так как пространство банахово, операторный ряд сходится если сходится соответствующий рад из норм: <tex>\|\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac1\lambda A)^n \| \le \sum\limits_{n=0}^{\infty} |\frac1\lambda|^n \|A^n\|^n</tex>, по радикальному признаку Коши, последний ряд сходится, если <tex>\sqrt[n]{|\frac1\lambda|^n \|A^n\|^n} = |\frac1\lambda| \sqrt[n]{\|A^n\|^n} \to |\frac1\lambda| r_\sigma < 1</tex>.

пусть <tex>A - \lambda I = A = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - in \lambda_0)I = rho(A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0)(A - \lambda_0 I)R_{\lambda_0} = (A - \lambda_0 I)(I - (\lambda - \lambda_0)R_{\lambda_0})</tex>:

<tex>A - \lambda I = (A - \lambda_0 I ) - (\lambda - \lambda_0)R_{I = (A - \lambda_0}I) = - (\sumlambda - \limits_{n=0}^{lambda_0)(A - \infty} lambda_0 I)R_{\lambda_0}^n </tex><tex> = (A - \lambda_0 I)(I - (\lambda - \lambda_0)^nR_{\lambda_0})</tex> {{---}} сходится при — если взять достаточно малое <tex>|\lambda - \lambda_0| \approx 0</tex>, можно так обратить.

<tex>(I - (\lambda - \lambda_0)R_{\lambda_0}) ^ {TODO|t-1} = \sum\limits_{n=вот здесь что0}^{\infty} R_{\lambda_0}^n (\lambda - \lambda_0)^n</tex> {{---то подозрительное}}сходится при <tex>|\lambda - \lambda_0| \approx 0</tex>.

<tex>(A - \lambda I ) ^ {-1} = (A - R_{\lambda_0 I) } \sum\limits_{n=0}^{\infty} R_{\lambda_0}^n (\lambda - \lambda_0)^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} R_{\lambda_0}^{n-+1} (\lambda - \lambda_0)^n</tex>, следовательно, <tex>(A - \lambda I)^{-1}</tex> аналитична.{{TODO|t=WAT}}

Также, так как <tex>A - \lambda I = -\lambda (I - \frac1\lambda A)</tex>, то при <tex>|\lambda| \approx \infty</tex>, <tex>R_\lambda = -\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{A^n}{\lambda^{n-1}}</tex>, и <tex>R_lambdaR_\lambda</tex> аналитична при <tex>\lambda = \infty</tex>.

Если <tex>L(X)</tex> (пространство линейных ограниченных операторов <tex>A: X \rightarrow to X</tex>) банахово, то в нем можно рассматривать операторно степенные ряды <tex>\sum\limits_{n=0}^{\infty} A_n\lambda^n</tex>, их свойства копируют свойства обычных степенных рядов. Воспользуемся аналитичностью резольвенты: если <tex>\sigma(A) = \emptyset</tex>, то <tex> \rho(A) = \mathbb{C}</tex>, то есть в пределах любого круга и в бесконечно удаленой точке резольвента ограничена, тогда по [http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(complex_analysis) теореме Лиувилля] (если на всей комплексной плоскости функция <tex>f(z)</tex> равномерно ограничена, она тождественно равна постоянной) ({{TODO|t=ее надо уметь доказывать? В формулировке требуется ограниченность всех точек в википедии я не понимаюсовокупности, непонятно почему это выполняется. Еще она формулируется для чего аналитичность фунции в бесконечностиC, а не в операторы, что меня смущает. Вот [http://enwww.wikipediamathforum.orgru/forum/read/1/wiki572/Entire_function тут] написано такили [http: "As a consequence of Liouville's theorem, any function that is entire on the whole Riemann sphere (complex plane and the point at infinity) is constant//planetmath.". А также в теореме Лиувилля требуется ограниченность всех точек в совокупностиorg/spectrumisanonemptycompactset тут], почему В общемвозможно, разобраться надо.есть объяснение}}), <tex>R_\lambda</tex> — константная функция, но тогда бы все <tex>A - \lambda I</tex> были бы одинаковы, чего, очевидно, быть не может, то есть получили противоречие и спектр непуст.