Изменения

{{Определение|definition=В математике '''убывающим факториалом''' (англ. ''falling factorial'') (иногда называется '''нисходящим факториалом'''Я ЕЩЁ НЕ ДОДЕЛАЛ, ЭТО ЧЕРНОВИК!!!'''постепенно убывающим факториалом''' или '''нижним факториалом''') обозначают::<tex>(x)_{n}=x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\prod\limits_{k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod\limits_{k=0}^{n-1}(x-k)</tex>При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).}}{{Определение|definition='''Растущий факториал''' (англ. ''rising factorial'') (иногда называется '''функцией Похгаммера''', '''многочленом Похгаммера''', '''восходящим факториалом''', '''постепенно растущим произведением''' или '''верхним факториалом''') определяется следующей формулой::<tex>x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\prod\limits_{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod\limits_{k=0}^{n-1}(x+k). </tex>При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).}}

В математике Грахам, Кнут и Паташник<ref>Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnik in their book '''убывающим факториалом'Concrete Mathematics'' (англ<tex>1988</tex>), Addison-Wesley, Reading MA. falling factorial) (иногда называется '''нисходящим факториалом'''ISBN <tex>0-201-14236-8</tex>, pp.&nbsp;<tex>47</tex>, '''постепенно убывающим факториалом''' или '''нижним факториалом''') обозначают:<tex>48</tex></ref> предложили произносить эти записи как "<tex>x</tex> растущий к <tex>m</tex>" и "<tex>x</tex> убывающий к <tex>m</tex>" соответственно.

'''Растущий факториал''' Когда <tex>x</tex> неотрицательное целое число, <tex>(rising factorialx) _n</tex> равняется числу инъективных отображений<ref name="Injective function">[https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function Injective function]</ref> из множества с <tex>n</tex> элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и <tex>P(иногда называется '''функцией Похгаммера'''x, '''многочленом n)</tex>. Символ Похгаммера'''в основном используется в алгебре, '''восходящим факториалом'''где <tex>x</tex> {{---}} переменная, '''постепенно растущим произведением''' или '''верхним факториалом'''то есть <tex>(x) определяется следующей формулой:_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>n</tex> от <tex>x</tex>.

:<texb>x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\prod_{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k). Замечание</texb>

При ''n=0'' значение принимается равным 1 (пустое произведение). '''Символ Похгаммера''' введен Лео Августом Похгаммером в Другие формы записи убывающего факториала: <tex>P(x)^n</tex>, где <tex>n)</tex> неотрицательное целое число. В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и падающий факториал как определено выше. Поэтому при чтении любой статьи необходимо обратить внимание на то, какой именно из двух факториалов имеется в виду. Сам Похгаммер для себя использовал <tex>(x)^n</tex> в другом смысле - для обозначения биномиального коэффициента <tex>\tbinom xn</tex>. В этой статье <tex>(x)_n</tex> означает убывающий факториал и <tex>(x)^n</tex> - растущий факториал. Такое же обозначение используется в комбинаторике. Когда <tex>x</tex> неотрицательное целое число, <tex>(x)_n</tex> равняется числу инъективных отображений из множества с <tex>n</tex> элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и <tex>P(x,n)</tex>. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где <tex>P_{x</tex> - переменная, то есть <tex>(x)_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>n}</tex> от или <tex>x_x P_n</tex>.

Коэффициенты в выражениях являются [[Числа Стирлинга первого рода|числами Стирлинга первого рода]].

Растущий Убывающий и убывающий растущий факториалы могут определены так же и в любом ассоциативном кольце с единицей и, следовательно, <tex dpi=150>x</tex> может быть использованы для обозначения биномиального коэффициента:даже комплексным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой функцией определенной на комплексных числах.

:<tex>\frac===Коэффициенты связи===Так как убывающие факториалы {x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n--} \quad\mbox{and}\quad \frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.</tex>базис кольца многочленов, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов:

Таким образом:<tex dpi=150>(x)_m (x)_n = \sum\limits_{k=0}^m {m \choose k} {n \choose k} k!\, многие свойства биномиальных коэффициентов справедливы для падающих и растущих факториалов(x)_{m+n-k}.</tex>{{Определение|definition=Коэффициенты <tex dpi=150>{m \choose k} {n \choose k} k!</tex>, стоящие при <tex dpi=150>(x)_{m+n-k}</tex>, называются '''коэффициентами связи''' (англ. ''connection coefficients'').}}

===Биномиальный коэффициент===Растущий факториал может и убывающий факториалы могут быть выражен как падающий факториал, начинающийся с другого конца,использованы для обозначения биномиального коэффициента:

:<texdpi=150>\frac{x^{(n)}}{n!} = {(x + n - 1\choose n} </tex> и <tex dpi=150>\frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}_n ,.</tex>

или как убывающий с противоположным аргументомТаким образом,многие свойства биномиальных коэффициентов справедливы для убывающих и растущих факториалов.

:<tex>x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_{{n}} .</tex>==Связь убывающего и растущего факториалов===Растущий факториал может быть выражен как убывающий факториал, начинающийся с другого конца,

Убывающий и растущий факториалы определены так же и в любом ассоциативном кольце с единицей и, следовательно, :<texdpi=150>x^{(n)} = {(x + n - 1)}_n </tex> может быть даже комплексным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой функцией определенной на комплексных числах.

Растущий факториал может быть продолжен на вещественные значения <tex>n</tex>, но или как убывающий с использованием Гаммы функции при условии, что <tex>x</tex> и <tex>x+n</tex> вещественные числапротивоположным аргументом, но не отрицательные целые:

:<texdpi=150>x^{(n)}=\frac{\Gamma(x+n-1)}^n {\Gamma(-x)},_{{n}} </tex>

то же самое и про убывающий факториалОтношение двух символов Похгаммера можно выразить следующим образом:

:<texdpi=150>\frac{(x)_n=\frac}{\Gamma(x+1)_i}{\Gamma= (x-i)_{n+1)-i},\ n \geqslant i.</tex>

Если Убывающий факториал возможно выразить следующим способом: :<texdpi=150>D(x)_{m+n} = x_{m} (x-m)_{n}</tex> означает производную по :<texdpi=150>(x)_{-n} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)} = \frac{1}{(x+1)^n} = \frac{1}{(x+n)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}}</tex>, то

====Числа Стирлинга первого рода====Растущий факториал выражается с помощью [[Числа Стирлинга первого рода|чисел Стирлинга первого рода]]:<tex>D^n(x^a) = (a)_n\,\, x^{a-n}.</tex>

:<tex dpi=150>x^{(n)} = Связующие коэффициенты и тождества =\sum\limits_{k=1}^n s(n,k) x^k</tex>

The falling and rising factorials are related to one another through the ====Числа Стирлинга второго рода====Убывающий и растущий факториалы выражаются друг через друга при помощи [[Lah numbersЧисла Стирлинга второго рода|чисел Стирлинга второго рода]] and through sums for integral powers of a variable <math>x</math> involving the [[Stirling numbers of the second kind]] in the following forms where <math>\binom{r}{k} = r^{\underline{k}} / k!</math>:<ref>{{cite web|title=Introduction to the factorials and binomials|url=http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Factorial/introductions/FactorialBinomials/05/|website=Wolfram Functions Site}}</ref>

:<texdpi=150>\begin{align}x^{\underline{n}} & = \sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k \\ & = (-1)^n (-x)_n = (x-n+1)_n = \frac{1}{(x+1)^{\overline{-n}}} \\ (x)_n & = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (n-1)^{sum\underline{n-k}} \times x^{\underline{k}} \\ & = (-1)^n (-x)^{\underline{n}} = (x+n-1)^{\underline{n}} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{-n}}} \\ & = \binom{-x}{n} (-1)^n n! \\ & = \binom{x+n-1}{n} n! \\ x^n & = \sum_limits_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} (x^{\underline)_{n-k}} \\ </tex> & :<tex dpi=150> = \sum_sum\limits_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k. \end{align} </tex>

Since the falling factorials are a basis for the ====Числа Лаха====Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом числами Лаха<ref name="Lah numbers">[https://en.wikipedia.org/wiki/Lah_number Lah numbers]</ref>:{{Утверждение|id= |author=|about=|statement=<tex dpi=150> x^{(n)} = \sum\limits_{k=1}^n (L(n,k) \times (x)_k) = \sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k) </tex>|proof=Второе равенство получается из определения чисел Лаха. Поэтому осталось доказать лишь то, что левая часть равняется правой::<tex dpi=150> x^{(n)} =\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k) </tex>Подставим целое <tex dpi=150>m</tex> из отрезка <tex dpi=150>[polynomial ring]0;n]</tex>, тогда получим::<tex dpi=150> m^{(n)} =\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k) </tex>Заметим, что <tex dpi=150>(m)_k=0</tex> при <tex dpi=150>m+1 \leqslant k</tex>, поэтому слагаемые из суммы в правой части, начиная с <tex dpi=150>k\geqslant m+1</tex>, равны нулю, то есть::<tex dpi=150>\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k)=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k)</tex>Поделим обе части на <tex dpi=150>n!</tex> и получим, we can reчто левая часть равна::<tex dpi=150>\frac{(n+m-1)!}{(m-1)!n!}=\frac{(n+m-1)!}{((n+m-1)-n)!n!}=\binom{n+m-express the product of two of them as a linear combination of falling factorials1}{n}</tex>а правая часть будет равна:

:<texdpi=150>\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!(xn-k)_m !}\times\frac{1}{k!}\times\frac{m!}{(xm-k)!})_n = \sum_sum\limits_{k=01}^{min(m ,n)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{m !}{k!(m-k)!})</tex>:<tex dpi=150>=\choose sum\limits_{k=1} ^{min(m,n )} (\choose frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}\times\frac{m!} {k!(m-k)!})=\sum\limits_{k=1}^{min(m, n)} (x\binom{n-1}{k-1}\times\binom{m}{k})_</tex>То есть мы хотим теперь доказать тождество::<tex dpi=150>\binom{n+m+-1}{n}=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{n-k}.\times\binom{m}{k})</tex>

The coefficients of the (''x'')Это тождество очевидно из комбинаторики, так как обе части равны числу способов выбрать из <tex dpi=150>n+m-1</tex> элементов, разделённых на два множества по <tex dpi=150>n-1</tex> и <subtex dpi=150>''m''+''</tex> элементов, <tex dpi=150>n''&minus;''</tex> элементов. С одной стороны нельзя не признать, что это левая часть тождества по определению сочетания. С другой стороны нельзя не согласиться, что это правая часть тождества, в котором <tex dpi=150>k''</subtex>означает количество элементов, called '''connection coefficients'''берущихся из множества размера <tex dpi=150>m</tex>, have a combinatorial interpretation as the number of ways to identify (or glue together) {{math|''а <tex dpi=150>n-k''}} elements each from a set of size {{math|''m''}} and a set of size {{math|''</tex> из второго множества размера <tex dpi=150>n-1</tex>.Многочлены, стоящие в левой и правой частях тождества, оказались равны в <tex dpi=150>n+1</tex> точке и при этом имеют степень не больше <tex dpi=150>n''</tex>, то есть они формально совпадают.}}.We also have a connection formula for the ratio of two Pochhammer symbols given by

===Гамма функция===Растущий факториал может быть продолжен на вещественные значения <tex dpi=150>n</tex>, но с использованием Гамма функции<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function Gamma function]</ref> при условии, что <texdpi=150>\frac{(x)_n}{(x)_i} </tex> и <tex dpi= (150>x+i)_{n-i},\ n \geq i. </tex>вещественные числа, но не отрицательные целые.

Additionally, we can expand generalized exponent laws and negative rising and falling powers through the following identities:{{Утверждение|id= |author= |about=:|statement=<texdpi=150>x^{(n)}=\underlinefrac{m\Gamma(x+n)}} & = x^{\underline{m}} Gamma(x-m)^{\underline{n}}</tex>|proof=:<texdpi=150>\Gamma(xz+1)_{m+n} & = z\Gamma(x)_m (x+mz)_n</tex>:<tex>(x)_{{-n} & = \frac{1}{(x-n)_n} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{n}}}для комплексного <tex dpi=150>z</tex> .:Значит, это тождество верно и для <tex dpi=150>z=x</tex>, где <texdpi=150>x^</tex> {\underline{-n--}} & вещественное число. То есть::<tex dpi= 150>\frac{1}{Gamma(x+1)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}} = \frac{1}{(x+-1)(x+2) \cdots Gamma(x+n-1)</tex> {{---}}для вещественного <tex dpi=150>x</tex>.Заметим тогда, что:

Finally, [[duplication formula|duplication]] and [[multiplication formulas]] for the rising factorials provide the next relations<tex dpi=150>\Gamma(x+n) = ((x+n)-1)\cdot\Gamma((x+n)-1) = ((x+n)-1)(x+n-2)\cdot\Gamma((x+n)-2)</tex> :<tex dpi=150>= \cdots = ((x+n)-1)((x+n)-2)\cdots((x+n)-n)\cdot\Gamma((x+n)-n)</tex>:<tex dpi=150>= ((x+n)-1)((x+n)-2)\cdots x\cdot\Gamma(x)</tex>

Значит:<tex>(x)_{k+mn} = (x)_k m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x+j+k}{m}\right)_n,\ m \in \mathbb{N} </tex> :<tex>(ax+b)_n = x^n \prod_{k=0}^{x-1} \left(a+\frac{b+k}{x}\right)_{n/x},\ x \in \mathbb{Z}^{+} </tex> :<tex>(2x)_{2n} = 2^{2n} (x)_n \left(x+\frac{1}{2}\right)_n. </tex>

<tex dpi=150>\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)} =Альтернативные формы записи\frac{((x+n)-1)((x+n)-2)\cdots x\cdot\Gamma(x)}{\Gamma(x)}</tex>:<tex dpi=150>=(x+n-1)(x+n-2)\cdots x = x(x+1)\cdots(x+n-1)=x^{(n)}</tex>}}

:{{Утверждение|id= |author=|about=|statement=<texdpi=150>(x^)_n=\frac{\overlineGamma(x+1)}{m}}=\overbrace{xGamma(x-n+1)}</tex>|proof=:<tex dpi=150>\ldotsGamma(xz+m-1)= z\Gamma(z)</tex> {{---}^} для комплексного <tex dpi=150>z</tex>.Значит, это тождество верно и для <tex dpi=150>z=x</tex>, где <tex dpi=150>x</tex> {m~\mathrm{factors---}}вещественное число. То есть::<tex dpi=150>\qquadGamma(x+1) = x\mboxGamma(x)</tex> {for integer {---}m\ge0,} для вещественного <tex dpi=150>x</tex>.Заметим тогда, что:

Значит:<tex>x^{\underline{m}}=\overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m~\mathrm{factors}}\qquad\mbox{for integer }m\ge0;</tex>

goes back to A. Capelli <tex dpi=150>\frac{\Gamma(1893x+1) and L. Toscano }{\Gamma(1939x-n+1), respectively.<ref>According to Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. } = \frac{x(x-1, 3rd ed., p. 50.</ref> Graham, Knuth and Patashnik<ref>[[Ronald L. Graham]], [[Donald E. Knuth]] and [[Oren Patashnik]] in their book ''[[Concrete Mathematics]]'' )\cdots(1988x-n+1), Addison\cdot\Gamma(x-Wesley, Reading MA. n+1)}{{ISBN|0\Gamma(x-201-14236-8n+1)}}, pp.&nbsp;47,48</reftex> propose to pronounce these expressions as ":<texdpi=150>= x(x</tex> to the <tex>m</tex> rising" and "<tex>-1)\cdots(x-n+1) = (x)_n</tex> to the <tex>m</tex> falling", respectively.}}

Другие формы записи убывающего факториала: ===Дифференциал==={{Утверждение|id= |author=|about=|statement=<texdpi=150>P\frac{\partial^n(x,^a)}{\partial x^n} = (a)</tex>_n\,\, <tex>x^x P_n</tex>, ,<tex>P_{x,a-n}</tex> или <tex>_x P_n</tex>.|proof=Другое обозначение растущего факториала <texdpi=150>\frac{\partial^n(x^a)}{\partial x^n} =a\times\frac{\partial^{n-1}(x^{a-1})}{\partial x^{n-1}}=a(a-1)</tex> реже встречается, чем <tex>\times\frac{\partial^{n-2}(x^{a-2})}{\partial x^+_n{n-2}}</tex>. Обозначение :<texdpi=150>=a(a-1)\cdots (a-n+2)\times\frac{\partial(x^{a-(n-1)})}{\partial x}=(a)^+_n</tex> используется для растущего факториала\,\, запись <tex>(x)^{a-_nn}</tex> обычно применяется для обозначения убывающего факториала для избежания недоразумений.}}

The Pochhammer symbol has a generalized version called the Существует обобщённый символ Похгаммера<ref>[[generalized https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Pochhammer_symbol Generalized Pochhammer symbol]]</ref>, used in multivariate используемый в многомерном математическом анализе. Также существует <tex>q</tex>-аналог<ref>[[Mathematical analysis|analysis]]https://en.wikipedia. There is also a [[qorg/wiki/Q-analog|''q''-analogueanalog]], the </ref> {{---}} <tex>q</tex>-Похгаммер символ<ref>[[qhttps://en.wikipedia.org/wiki/Q-Pochhammer symbol|Pochhammer_symbol ''q''-Pochhammer symbol]]</ref>. A generalization of the falling factorial in which a function is evaluated on a descending arithmetic sequence of integers and the values are multiplied is:

:<math>[f(x)]^Обобщение убывающего факториала {{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h)}} функция,</math>определённая следующим образом:

where :<tex dpi=150>[f(x)]^{{math|&minus;''k/-h''}} is the decrement and {{math|''=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k''}} is the number of factors. The corresponding generalization of the rising factorial is-1)h),</tex>

:где <mathtex>[f(x)]^{k-h</h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(tex> и <tex>k-1)h).</mathtex>{{---}} разница в убывающей арифметической прогрессии аргументов множителей и число множителей соответственно. Аналогичное обобщение растущего факториала:

This notation unifies the rising and falling factorials, which are :<tex dpi=150>[''f(x'')]^{''^{k''/1} and [''h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x'']<sup>''+(k''/&minus;-1)h).</suptex>, respectively.

For any fixed arithmetic function Эта запись объединяет растущий и убывающий факториалы, которые <mathtex dpi=150>f: \mathbb[x^{N} \rightarrow \mathbb{Ck/1}]</mathtex> and symbolic parameters и <mathtex dpi=150>[x, t^{k/-1}]</mathtex>, related generalized factorial products of the formсоответственно.

:Для арифметической функции <mathtex>(x)_{n,f,t} := \prod_mathbb{k=1}^{n-1N} \left(x+rightarrow \fracmathbb{f(k)C}{</tex> и параметров <tex>x, t^k}\right)</mathtex>определено обобщенное факториальное произведение вида:

may be studied from the point of view of the classes of generalized [[Stirling numbers of the first kind]] defined by the following coefficients of the powers of <math>x</math> in the expansions of :<mathtex dpi=150>(x)_{n,f,t}= \prod\limits_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)</mathtex> and then by the next corresponding triangular recurrence relation:

:<math>== См.также ==\begin{align} \left*[[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \rightЧисла Стирлинга первого рода]_{f,t} & = [x^{k-1}] (x)_{n,f,t} \\ & = f(n-1) t^{1-n} \left*[[\begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix} \rightЧисла Стирлинга второго рода]_{f,t} + \left[\begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix} \right]_{f,t} + \delta_{n,0} \delta_{k,0}. \end{align} </math>

These coefficients satisfy a number of analogous properties to those for the [[Stirling numbers of the first kind]] as well as recurrence relations and functional equations related to the ''f-harmonic numbers'', <math>F_n^{(r)}(t) := \sum_{k \leq n} t^k / f(k)^r</math>.<ref>''[https://arxiv.org/abs/1611.04708 Combinatorial Identities for Generalized Stirling Numbers Expanding f-Factorial Functions and the f-Harmonic Numbers]'' (2016).=Примeчания==<references/ref>

==Источники материалаинформации==* [http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html, Pochhammer Symbol]* [https://wwwen.scribdwikipedia.comorg/docwiki/288367437/AFalling_and_rising_factorials#cite_ref-Compilation3 Wikipedia {{-of-Mathematical-Demonstrations}} Falling and rising factorials]* [https://www.mathworks.com/help/symbolic/pochhammer.html?requestedDomain=true Pochhammer Symbol at MATLAB]* [http://mathworld.wolfram.com/RisingFactorial.html Rising Factorial]* [https://www.researchgate.net/publication/309461372_Several_identities_involving_the_falling_and_rising_factorials_and_the_Cauchy_Lah_and_Stirling_numbers Several identities involving the falling and rising factorials and the Cauchy, Lah, Elementary Proofsand Stirling numbers]

[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория:Символ ПохгаммераКомбинаторика]]