Изменения

|id = claw|neat = 1 |definition='''Лапой''' (англ. ''claw'') называется индуцированный подграф графа <tex>G</tex>, [[ Основные определения теории графов#isomorphic_graphs | изоморфный ]] [[ Основные определения теории графов#defBiparateGraph | двудольному ]] графу <tex>K_{1,\;3}</tex>.}} [[ Файл:Lapa.png|180px|thumb|right|Лапа ]]   {{Определение|id = claw_center|neat = 1 |definition ='''Центром лапы''' (англ. ''claw center'') называется вершина [[ Основные определения теории графов#def_graph_degree_1 | степени ]] три в лапе.

|id = minimum_barrier|neat = 1 |definition='''Центр лапыМинимальным по включению [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#barrier | барьером ]] '''(англ.''minimal barrier' {{---}} вершина степени 3 в лапе') называется барьер, который перестанет быть барьером при исключении из него любой вершины.

|id=th1theorem_about_claw|statement=Пусть <tex>B</tex> {{- --}} минимальный по включению [[Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#def1 | барьер]] графа <tex>G</tex>, тогда каждая вершина <tex>B</tex> {{--- }} центр лапы в <tex>G</tex>.|proof=Пусть Предположим, что <tex>x\in B</tex> не является центром лапы. Тогда <tex>x</tex> смежна не более чем с двумя [[Отношение связности, компоненты связности#def2 | компонентами связности ]] графа <tex>G \setminus B</tex>. <br> Пусть <tex>B' = B\setminus \{ x \}</tex>. <br>Найдём соотношение между [[ Теорема Татта о существовании полного паросочетания#odd | <tex>\mathrm{odd}</tex> ]]<tex>(G\setminus B')\ </tex> и <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B)\ </tex>. <br>Для этого рассмотрим всевозможные случаи количества компонент связности в графе <tex>G \setminus B</tex>, с которыми смежна <tex>x</tex>, и посмотрим на их четности (компоненты в <tex>B</tex>, с которыми смежна <tex>x</tex>, нас не интересуют). <br># <tex>x</tex> смежна с двумя компонентами связности графа <tex>G \setminus B</tex>.[[ Файл:GraphsForLaps.png|300px|thumb|right|<tex>x</tex> смежна с двумя компонентами связности графа <tex>G \setminus B</tex> ]] <br>#:* Одна компонента чётная, другая {{---}} нечетная. Тогда <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex>. <br>#:* Обе компоненты чётные: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 </tex>. <br>#:* Обе компоненты нечётные: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex>. <br>#<tex>x</tex> смежна с одной компонентой связности графа <tex>G \setminus B</tex>. <br>#:* Эта компонента чётная: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 </tex>. <br>#:* Эта компонента нечётная: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex>. <br># <tex>x</tex> не смежна ни с какой компонентой связности графа <tex>G \setminus B</tex>. <br>#: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ = \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + 1 </tex>. <br>Для любого из случаев выполнено: <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ - 1 </tex>. <br><tex>B</tex> {{---}} барьер <tex> \Leftrightarrow \mathrm{odd}(G\setminus B) - |B| = \mathrm{def}(G) </tex>. <br>Тогда <tex> \mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant |B| - 1 + \mathrm{def}(G) </tex>. <br> То есть <tex> \mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ \geqslant \mathrm{def}(G) </tex>. <br>Тогда возможны два случая:# Если выполняется равенство <tex> \mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ = \mathrm{def}(G) </tex>, то, по определению, <tex>B'</tex> является барьером. <br>#: Но <tex>|B'| < |B| </tex>, а значит, <tex>B</tex> не является минимальным по включению барьером <tex>\Rightarrow</tex> противоречие условию теоремы. <br># Если <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ > \mathrm{def}(G)</tex>, то есть <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B') - |B'|\ > \mathrm{odd}(G\setminus B) - |B|\</tex>. <br>#: Тогда, по [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#Th_Berge| теореме Бержа]], <tex>\mathrm{def}(G) \ne \mathrm{odd}(G\setminus B) - |B|\</tex> <tex>\Rightarrow</tex> противоречие. <br>В обоих случаях мы пришли к противоречию, значит, наше предположение неверно и <tex>\forall x\in B</tex> является центром лапы в <tex>G</tex>.}} {{Утверждение |id = proposal1 |author = D.P.Sumner, M.Las Vergnas|about = следствие из теоремы|statement = Пусть <tex>G</tex> {{---}} связный граф, не содержащий лапы, <tex>v(G)</tex> чётно. Тогда <tex>G</tex> имеет [[ Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#perfect_matching | совершенное паросочетание ]].|proof= Пусть <tex>B</tex> {{---}} минимальный по включению барьер графа <tex>G</tex>. Тогда, по предыдущей теореме имеем <tex>B = \varnothing </tex>.<br>По условию <tex>G</tex> {{---}} связный граф с чётным числом вершин <tex>\Rightarrow </tex> <tex>\mathrm{odd}(G \setminus \varnothing )\ = 0 </tex>. <br><tex>B</tex>{{---}} барьер и он пуст <tex>\Leftrightarrow \mathrm{def}(G) = \mathrm{odd}(G\setminus \varnothing) - |\varnothing|\ = 0 </tex>. Значит, количество вершин, не покрытых [[ Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#maximal_matching | максимальным паросочетанием ]], равно <tex>0</tex>, то есть в <tex>G</tex> существует совершенное паросочетание.