Изменения

|definition = Два автомата <tex> \mathcal{A}_1 = \langle Q_1,\Sigma,\delta_1,s_{1}, T_1\subseteq Q_1 \rangle </tex> и <tex>\mathcal{A}_2 = \langle Q_2,\Sigma,\delta_2,s_{2}, T_2\subseteq Q_2 \rangle </tex> называются '''эквивалентными'''(англ. ''equivalent''), если они распознают один и тот же язык над алфавитом <tex>\Sigma</tex>, то есть <tex>\mathcal{L}(\mathcal{A}_1) = \mathcal{L}(\mathcal{A}_2)</tex>.

|definition = [[Основные определения, связанные со строками#string|Слово ]] <tex>z \in \Sigma^*</tex> '''различает''' (англ. ''distinguish'') два состояния <tex>q_i</tex> и <tex>q_j</tex>, если * <tex> \langle q_i, z \rangle \vdash^* \langle t_1, \varepsilon \rangle, \langle q_j, z \rangle \vdash^* \langle t_2, \varepsilon \rangle \Rightarrow (t_1 \notin T \Leftrightarrow t_2 \in T ) </tex>.

|definition = Два <em> состояния</em> <tex>q_i</tex> и <tex>q_j</tex> называются '''эквивалентными''' <tex>(q_i \sim q_j)</tex>, если не существует [[Основные определения, связанные со строками#string|строки]], которая их различает, то есть <tex>\forall z \in \Sigma^*</tex> верно, что* <tex> \langle q_i, z \rangle \vdash^* \langle t_1, \varepsilon \rangle, \langle q_j, z \rangle \vdash^* \langle t_2, \varepsilon \rangle \Rightarrow (t_1 \in T \Leftrightarrow t_2 \in T ) </tex>.

Заметим, что эквивалентность состояний действительно является [[Отношение эквивалентности|отношением эквивалентности]]. Так как <tex> \Leftrightarrow </tex> (равносильность) является отношением эквивалентности и <tex> \forall z \in \Sigma^*\ \forall q \in Q \ \exists ! t : \langle q, z \rangle \vdash^* \langle tв детерминированном автомате всегда существует путь по любому слову, \varepsilon \rangle </tex>, поэтому описанное нами отношение является отношением эквивалентности. == Пример ==[[Файл:avtomat2.png|350px]] [[Файл:avtomat3.png|350px]] Эти два автомата принимают слова из языка слов длины не меньше одного, состоящих из символов алфавита <tex> \lbrace 0, 1\rbrace </tex>. Стартовые и все допускающие состояния автоматов эквивалентны между собой.

== Алгоритм проверки эквивалентности автоматов =====Постановка задачиПример ===Даны [[Файл:avtomat2.png|200px]] [[Файл:avtomat3.png|200px]] Эти два детерминированных конечных автомата принимают слова из языка слов длины не меньше одного, состоящих из символов алфавита <tex> \mathcal{A}_1 = \langle Q_1,\Sigma,\delta_1lbrace 0,s_{1}, T_1\subseteq Q_1 \rangle rbrace </tex> . Стартовые и <tex>\mathcal{A}_2 = \langle Q_2,\Sigma,\delta_2,s_{2}, T_2\subseteq Q_2 \rangle </tex>. Требуется определить, все допускающие состояния автоматов эквивалентны ли онимежду собой. [[Категория: Теория формальных языков]][[Категория: Автоматы и регулярные языки]] ===Алгоритм=Проверка ДКА на эквивалентность ==Рассмотрим такие семейства множествЗаданы два автомата:* <tex> D_i = \lbrace \langle q, p\rangle | q \in Q_1, p \in Q_2, \exists w : |w| \le i, w mathcal{A}_1 </tex> различает со стартовым состоянием <tex> q s_1 </tex> и <tex> p \rbrace mathcal{A}_2 </tex>;* со стартовым состоянием <tex> E_i = D_i \setminus D_{i - 1} s_2 </tex>соответственно. Нужно проверить их на эквивалентность.

'''Замечание:''' для реализации оба автомата обязательно должны иметь [[Детерминированные_конечные_автоматы#допускает|дьявольские состояния]].=== Проверка через минимизацию ===Для этого построим автомат <tex> \mathcal{A} </tex>, содержащий все состояния обоих автоматов и изначальные переходы между ними. Стартовым состоянием в новом автомате можно сделать <tex> s_1 </tex> или <tex> D_i s_2 </tex> существует рекуррентная формула— это не имеет значения. При этом состояния одного из автоматов станут недостижимыми из новой стартовой вершины в новом автомате, но для алгоритма это и не важно.<br>[[Файл:auto_equiq.png|470px]]<br>* Осталось лишь проверить на эквивалентность состояния <tex> s_1 </tex> и <tex> s_2 </tex> в полученном автомате. Их эквивалентность совпадает с эквивалентностью автоматов <tex> D_i = D_{i - 1} \cup \lbrace \langle p, q \rangle | \exists c \in \Sigma : \langle \delta(p, c), \delta(q, c) \rangle \in E_mathcal{i - 1A} \rbrace _1 </tex>.То есть и <tex> D_i \mathcal{A}_2 </tex> {{---}} объединение множества всех пар состояний. Для этого можно применить [[Минимизация_ДКА,_алгоритм_за_O(n%5E2)_с_построением_пар_различимых_состояний|алгоритм минимизации ДКА]], которые различаются строками длины меньшей который разбивает все состояния на классы эквивалентности. Если состояния <tex> i s_1</tex> с множеством всех пар состояний, которые различаются строками длины ровно и <tex>is_2</tex>нового автомата в одном классе эквивалентности {{---}} исходные автоматы эквивалентны.

Заметим, что <tex> \exists k : E_k = \varnothing </tex>, причем <tex> k \le |Q| ^ 2</tex>. Также заметим, что <tex> E_k = \varnothing \Rightarrow E_{k + 1} = \varnothing </tex>, так как в <tex> D_{k+1}</tex> новых элементов не добавится, поэтому <tex> D_{k+1} = D_k </tex>.Значит:* <tex> E_k = \varnothing \Rightarrow D_k = \lbrace \langle q, p\rangle | q \in Q_1, p \in Q_2, \exists w : w </tex> различает <tex> q </tex> можно минимизировать каждый автомат отдельно и <tex> p \rbrace = \lbrace \langle q, p\rangle | (q \nsim p)\rbrace</tex>проверить минимизированные версии на изоморфизм.

Осталось найти такое <tex> k </tex> и <tex> D_k </tex>=== Проверка через BFS ===Два автомата можно также проверить на эквивалентность, что <tex> E_k = \varnothing </tex> тогда мы узнаем пары неэквивалентных используя [[Обход в ширину | обход в ширину]]. Будем синхронно обходить два автомата, начиная со стартовых состояний, останется только проверить, что <tex> \langle s_1в поисках такой строки, s_2 \rangle \notin D_k </tex>которая различает два состояния этих автоматов. То есть она будет допускаться одним автоматом, тогда автоматы будут эквивалентныно не будет принадлежать языку другого.

Будем строить Поскольку эквивалентные автоматы допускают один и тот же язык, при переходе по одним и тем же символам в обоих автоматах, слово должно приниматься обоими автоматами одновременно. То есть вершины, в которые мы перешли, должны быть либо одновременно терминальными, либо одновременно нетерминальными, что и проверяет приведённый алгоритм. ==== Псевдокод ==== <texfont color=green> D_i </tex> в порядке увеличения <tex> i </tex>, пока <tex> D_i $\neq D_mathtt{aut}[i ][c]$ {{--- 1}} номер состояния, в которое есть переход из состояния $i$ по символу $c$</texfont>.Заметим '''boolean''' $\mathtt{bfsEquivalenceCheck}$($\mathtt{aut1}$ : '''int[][]''', что <tex> D_0 = $\mathtt{aut2}$ : '''int[][]'''): $Q.\lbrace mathtt{push}(\langle ps_1, qs_2 \rangle | p \in T_1 \Leftrightarrow q \notin T_2 \rbrace ) $ <font color=green>// <tex> Q </tex>, так как строка длины 0 одна {{---}} это очередь из пар состояний<tex/font> '''while''' $Q \ne \varepsilon </tex>varnothing $ $u, а <tex> v \leftarrow Q.\mathtt{pop}()$ '''if''' $\mathtt{isTerminal1[u]} \ne \mathtt{isTerminal2[v]}$ '''return''' ''false'' $\mathtt{used[u][v]} \leftarrow $ ''true'' '''for''' $c \in \Sigma$ '''if''' '''not''' $\varepsilon </tex> различает только пары состоящие из одного терминального состояния и одного нетерминальногоmathtt{used[aut1[u][c]][aut2[v][c]]}$ $Q.\mathtt{push}(\langle \mathtt{aut1}[u][c], \mathtt{aut2}[v][c] \rangle)$ '''return''' ''true''

Дальше будем получать <tex> D_i </tex> по рекуррентной формулеКорректность алгоритма следует из строго доказательства того факта, пока не выполнится условие остановкичто если два состояния $u$ и $v$ различаются какой-то строкой, то они различаются строкой длины $O(n)$.

Это можно реализовать прощеИнтуитивное понимание алгоритма такое: будем хранить для каждого состояния, из какого состояния есть переход пусть по символу <tex> c </tex> строке $w$ мы пришли в наше. В очередь будем класть пары неэквивалентных состояний. Дальше вытаскивая из очереди парусостояния $ \langle u, рассмотрим все пары состоянийv \rangle $, из которых есть и пусть они оба нетерминальные. После этого совершим переход по одинаковому символу $c$ в элементы пары из очереди. Пометим их неэквивалентными и положим в очередь. ===Псевдокод===<font size = 3> <tex> q = \varnothing </tex> fill(neq, false) for <tex> p_1 \in Q_1 </tex> for <tex> p_2 \in Q_2 </tex> if <tex> (p_1 \in T_1) \neq (p_2 \in T_2) </tex> q.push(<tex>p_1</tex>,<tex> p_2</tex>) neq[<tex>p_1</tex>, <tex>p_2</tex>] = True while not isEmpty(q) <tex> состояния $ \langle p_1u', p_2 v' \rangle </tex> = q.pop() for <tex> c \in \Sigma </tex> for <tex> \delta(e_1, c) = p_1 </tex> for <tex> \delta(e_2, c) = p_2 </tex> if neq[<tex>e_1</tex>, <tex>e_2</tex>] continue q.push(<tex>e_1</tex>, <tex>e_2</tex>) neq[<tex>e_1</tex>, <tex>e_2</tex>] = True if neq[<tex>s_1</tex>, <tex>s_2</tex>] print("Not equivalent") else print("Equivalent")</font>===Время работы алгоритма===Оценим время работы алгоритма. Заметим, что каждая пара состояния будет добавлена в очередь, не более одного раза. Поэтому цикл ''while'' выполнится не более чем <tex> |Q_1|\cdot |Q_2| </tex> раз. А значит в этом же цикле каждая пара ребер будет просмотрена не более одного раза, потому что для каждой вершины мы просматриваем все входящие ребра. А значит внутренний <font size = 3><tt> if neq[<tex>e_1</tex>, <tex>e_2</tex>] </tt> </font> выполнится порядка <tex> |Q_1||Q_2||\Sigma|^2 </tex>, потому что это верхняя оценка на количество ребер в детерминированном автомате {{---}} <tex> |Q||\Sigma|</tex>.А значит алгоритм будет работать за <tex> O(|Q_1||Q_2||\Sigma|^2)</tex>$.

Тогда если $\mathtt{isTerminal1[u']} \ne \mathtt{isTerminal2[v']}$, то строка $wc$ различает эти два состояния. А значит автоматы не эквивалентны. == См. также == * [[Категория: Теория формальных языковМинимизация_ДКА,_алгоритм_за_O(n%5E2)_с_построением_пар_различимых_состояний|Алгоритм минимизации ДКА]]* [[КатегорияМинимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))]] == Источники информации ==* [http: Автоматы и регулярные языки]//stackoverflow.com/questions/6905043/equivalence-between-two-automata/12623361#12623361 StackOverflow {{---}} Equivalence between two automata]