Изменения

{{В разработке}}9м топ остальным по лицу хлоп{{Лемма|about=о длине цикла|statement= Пусть <tex>G</tex> - произвольный неориентированный граф и <tex>\delta</tex> - минимальная степень его вершин. Если <tex>\delta \ge 2</tex>, то в графе <tex>G</tex> существует цикл <tex>C</tex> длиной <tex>l \ge \delta + 1</tex>.|proof=Рассмотрим путь максимальной длины <tex>P Альтернативное доказательство= v_0 v_1 .. v_s</tex>. Все смежные с <tex>v_0</tex> вершины лежат на <tex>P</tex>. Обозначим <tex>k = max\{i: v_0 v_i \in E\}</tex>. Тогда <tex>\delta \le deg v_0 \le k</tex>. Цикл <tex>C = v_0 v_1 .. v_k v_0</tex> имеет длину <tex>l = k + 1 \ge \delta + 1</tex>}}

|about=Дирак{{---}} альтернативное доказательство

Пусть <tex>G</tex> {{- --}} неориентированный граф и <tex>\delta</tex> {{--- }} минимальная степень его вершин. Если <tex>n \ge geqslant 3</tex> и <tex>\delta \ge geqslant n/2</tex>, то <tex>G</tex> {{--- }} [[Гамильтоновы графы|гамильтонов граф]].

Пусть Для <tex>C\forall k</tex> - цикл наибольшей длины в графе верна импликация <tex>Gd_k \leqslant k <n/tex>. По лемме его длина <tex>l 2 \Rightarrow d_{n-k} \ge geqslant n + 1-k</tex>, поскольку левая её часть всегда ложна. Если Тогда по [[Теорема Хватала | теореме Хватала]] <tex>CG</tex> {{-- -}} гамильтонов, то теорема доказана. Предположим обратное, т. е......граф.}}

По {{Теорема|about = Вывод из [[Теорема ХваталаОре|теореме Хваталатеоремы Оре]]: для |statement = Пусть <tex>G</tex> {{---}} неориентированный граф и <tex>\forall kdelta</tex> верна импликация {{---}} минимальная степень его вершин. Если <tex>d_k n \le k geqslant 3< /tex> и <tex>\delta \geqslant n/2 \Rightarrow d_</tex>, то <tex>G</tex> {{n-k--} } [[Гамильтоновы графы|гамильтонов граф]].|proof = Возьмем любые неравные вершины <tex> u, v \in G </tex>. Тогда <tex> \displaystyle \deg u + \deg v \geqslant \ge frac n-k2 + \frac n 2 = n </tex>. По теореме Оре <tex> G </tex>, поскольку левая её часть всегда ложна{{---}} гамильтонов граф.

==См. также==* [[Гамильтоновы графы]]* [[Теорема Хватала]]* [[Теорема Оре]]* [[Теорема Поша]] == Источники информации ==Харари Ф* [[wikipedia:en:Dirac's_Theorem|Wikipedia {{---}} Dirac's Theorem]]* Graham, R.L., Groetschel M., and Lovász L., eds. - Теория графов(1996). ''Handbook of Combinatorics'', Volumes 1 and 2. Elsevier (North-Holland), Amsterdam, and MIT Press, Cambridge, Mass. ISBN 9780-5262-39707169-00622-4'''X.