Изменения

Научившись сливать с использованием <tex> O(1) </tex> дополнительной памяти {{boring}}В конспекте содержится несколько ошибок, которые никто не исправлял уже лет 5, половины доказательств нету и <tex> O(n) </tex> операций вообще это стоит переписать. Если хотите заимплементить корректный алгоритм, оставшееся решение задачи становится очевиднымпридется дополнительно подумать головой. Будем сливать не рекурсивноАлсо, чтобы сэкономить память про "сравнение в стеке. Пусть на iреальных условиях" -том шаге у нас отсортированы подряд идущиебред, не пересекающиеся куски массива размером <tex> 2^i </tex>(за исключением последнего, его размер может быть меньше). Тогда сольем сначала первый и второй кусок, потом третий и четвертый и так до последнегопо времени этот алгоритм в несколько раз медленнее std::sort. Если последнему куску нету пари~[[Участник:Yurik|Yurik]]~, то просто ничего не делаем. 2017

==Алгоритм слияние ==На вход алгоритм получает массив который состоит из двух отсортированных кусков. На выходе алгоритм возвращает отсортированный массив. Он состоит из нескольких шагов.=== Шаг 1 ===Разобьем наш массив на группы подряд идущих элементов длиной <tex> \sqrt{n} <br/tex>. Остаток трогать не будем. Найдем группу содержащую конец первого отсортированного куска. Поменяем ее с последней. Добавим последнюю группу в остаток.

Количество операций на этом шаге На вход алгоритм получает массив, который состоит из двух отсортированных частей. Нам необходимо за <tex> O(n1) </tex>=== Шаг 2 ===Возьмем дополнительной памяти и отсортируем группы по первому элементу<tex>O(в случае равенства по последнемуn)</tex> времени получить отсортированный массив. Это можно сделать любой квадратичной или более быстрой сортировкой которая требует дополнительной памяти не больше чем <br>В реализации алгоритм весьма громоздкий. Но сравнение в реальных условиях реализации на C++ (на массивах длиной до <tex> О(1) 10^8</tex>) показало, например сортировка выбором. Следует заметить что после сортировки этих групп элементы которые стоять левее заданного и больше его с противоположного куска отсортированного массивапо числу сравнений алгоритм выигрывает у qsort примерно 10%, также они находятся в пределах одной группы, поэтому количество инверсий для каждого элемента не больше а по общему времени работы – от <tex>1.2</tex> до <tex> \sqrt{n} 1.3</tex>раз.

[[Файл:Merge_O(1)_1.png|525px]] Разобьем наш массив на <tex>cnt</tex> подряд идущих блоков длиной <tex>len =Ссылки \lfloor \sqrt{n} \rfloor </tex>. Остаток трогать не будем.  [[Файл:Merge_O(1)_2.png|525px]] Найдем блок, содержащий конец первой отсортированной части. Поменяем его с последним блоком. В дальнейшем будем использовать его как буфер обмена.  [[Файл:Merge_O(1)_3.png|525px]] Отсортируем блоки по возрастанию по первому элементу (если первые элементы равны, тогда по последнему).  [[Файл:Merge_O(1)_4.png|525px]] Для этого подойдет любая квадратичная или более быстрая сортировка, которая требует <tex> O (1) </tex> дополнительной памяти. Для сохранения линейной асимптотики надо использовать алгоритм, линейный по числу обменов, т.е. подходит [[Сортировка выбором|сортировка выбором]]. Так как блоков <tex> \sqrt{n} </tex>, то количество операций на этом шаге <tex> O(n) </tex>. Следует заметить, что, после сортировки этих блоков, элементы, которые стоят левее заданного и больше его, находились в противоположной части отсортированного массива, также они находятся в пределах одной группы, поэтому количество инверсий для каждого элемента не больше <tex>\sqrt{n}</tex>. Пользуясь буфером обмена, последовательно сольем пары соседних блоков <tex>([0, ~ len - 1]</tex> и <tex>[len, ~ 2 ~ len - 1],</tex> потом <tex>[len, ~ 2 ~ len - 1]</tex> и <tex>[2 ~ len, ~ 3 ~ len - 1],</tex> и т.д.<tex>)</tex>. Попытаемся слить первый и литературавторой блок. Поменяем местами первый блок с буфером обмена. И, как в обычном слиянии, пользуясь двумя указателями, сливаем второй блок и только что измененный буфер. Результат начинаем записывать с начала первого блока. Чтобы не потерять данные, вместо записи используем обмен элементов. Так как блоки имеют одинаковую длину и между указателем на второй блок и указателем на запись расстояние равно длине блока, то слияние произойдет корректно (пример использования буфера обмена приведен ниже). [[Файл:Merge_O(1)_5.png|525px]] Так как после предыдущего шага количество инверсий для каждого элемента не больше <tex>\sqrt{n}</tex>, то ему надо сдвинуться влево не больше, чем на <tex>\sqrt{n}</tex> элементов, поэтому в результате мы получим, что первые <tex>len \cdot (cnt - 1)</tex> элементов исходного массива отсортированы. Количество блоков <tex> \sqrt{n} </tex> и каждое слияние работает за <tex> О O(\sqrt{n}) </tex> , поэтому количество операций на этом шаге <tex> O(n) </tex>. <tex>S</tex> {{---}} размер остатка вместе с буфером. Используя квадратичную или более быструю сортировку, которая требует <tex> O(1) </tex> дополнительной памяти, отсортируем подмассив длиной <tex> 2S </tex>, который находится в конце. Так как <tex>S < 2 \sqrt{n}</tex>, то сортировка пройдет за <tex>O(n)</tex>. [[Файл:Merge_O(1)_6.png|525px]] Теперь на последних <tex> S </tex> местах будут находиться <tex> S </tex> максимальных элементов. Оставшаяся часть представляет собой массив, содержащий две отсортированные части, причем размер второй равен <tex> S </tex>. По аналогии с тем что делали раньше, только в обратную сторону, отсортируем оставшуюся часть, разделив ее на блоки длиной <tex>S</tex>, используя последние <tex>S</tex> как буфер обмена. Не забудем после отсортировать буфер обмена. [[Файл:Merge_O(1)_7.png|525px]] В результате мы получили отсортированный исходный массив. == Пример использования буфера обмена == [[Файл:Merge_O(1)_buffer.png|355px]] == Источники информации ==*[http://habrahabr.ru/post/138146/ Habrahabr {{---}}Сортировка слиянием без использования дополнительной памяти ]*[http://e-maxx.ru/bookz/files/knuth_3.djvu| Д.Е.Кнут {{-- -}} Искусство программирования (том 3) упр 18 к разделу 5.2.4]*[http://pastebin.com/hN2SnEfP PASTEBIN {{---}} Реализация алгоритма на JAVA] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Сортировки]]