Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр — различия между версиями
(→42 Константа Лебега ядра Дирихле) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 79 промежуточных версий 14 участников) | |||
Строка 9: | Строка 9: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд: | |definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд: | ||
− | <tex>\frac{c_0}{2} + \ | + | <tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>. |
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''. | Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''. | ||
}} | }} | ||
Строка 44: | Строка 44: | ||
= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) = | = 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) = | ||
− | {{ | + | {{Определение |
+ | |definition= | ||
+ | Ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n</tex> имеет сумму <tex>S</tex> по '''методу средних арифметических''' (обозначают аббревиатурой с.а.), если <tex>S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | Пусть дан ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n</tex> и <tex> \forall t \in (0; 1) : \sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nt^n = f(t)</tex> (в классическом смысле). Тогда этот ряд имеет сумму <tex> S </tex> по '''методу Абеля''', если <tex> S = \lim\limits_{t \to 1 - 0} f(t)</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | Естественно, указанный предел должен существовать. | ||
= 4 Теорема Фробениуса = | = 4 Теорема Фробениуса = | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |author= | ||
+ | Фробениус | ||
+ | |statement= | ||
+ | <tex> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (с.а) <tex> \Rightarrow </tex> <tex> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (А). | ||
+ | }} | ||
= 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве = | = 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве = | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |author= | ||
+ | Харди | ||
+ | |statement= | ||
+ | <tex>\sum\limits_{k = 0}^\infty a_k = S</tex>(с.а.) | ||
+ | Тогда, если существует такое <tex> M > 0 </tex>, что <tex> \forall n \in \mathbb N: \sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k^2 \leq \frac{M}n </tex>, то <tex> \sum\limits_{k=0}^\infty a_k = S</tex>. | ||
+ | }} | ||
= 6 Теорема Фейера = | = 6 Теорема Фейера = | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |author=Фейер в L_1 | ||
+ | |statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>, | ||
+ | <tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда | ||
+ | <tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex> | ||
+ | }} | ||
= 7 Следствие о двух пределах = | = 7 Следствие о двух пределах = | ||
− | {{ | + | {{Утверждение |
+ | |about= | ||
+ | следствие Фейера о двух пределах | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex> | ||
+ | }} | ||
= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> = | = 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> = | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |statement= | ||
+ | Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex> | ||
+ | }} | ||
= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> = | = 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> = | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |author= | ||
+ | Фейер | ||
+ | |statement= | ||
+ | <tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>. | ||
+ | }} | ||
= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства = | = 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства = | ||
− | {{ | + | Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>). |
+ | {{Определение | ||
+ | |definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''. | ||
+ | Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''. | ||
+ | }} | ||
+ | Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет. | ||
+ | {{Утверждение | ||
+ | |statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника. | ||
+ | }} | ||
= 11 Существование элемента наилучшего приближения = | = 11 Существование элемента наилучшего приближения = | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>. | ||
+ | }} | ||
= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса = | = 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса = | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |id= | ||
+ | weirstrasscont | ||
+ | |about= | ||
+ | обычная теорема Вейерштрасса | ||
+ | |author= | ||
+ | Вейерштрасс | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на отрезке <tex>[a; b]</tex>. | ||
+ | Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists P \forall x \in [a; b]: |f(x) - P(f, x)| \le \varepsilon</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |author= | ||
+ | Теорема Вейерштрасса в <tex>L_p</tex> | ||
+ | |statement= | ||
+ | <tex>f\in L_p \Rightarrow E_n(f)_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.}} | ||
= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> = | = 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> = | ||
− | {{ | + | {{Лемма |
+ | |author= | ||
+ | Риман-Лебег | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>. | ||
+ | }} | ||
= 14 Теорема Дини = | = 14 Теорема Дини = | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |author= | ||
+ | Дини | ||
+ | |statement= | ||
+ | <tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex> | ||
+ | }} | ||
= 15 Следствие о четырех пределах = | = 15 Следствие о четырех пределах = | ||
− | {{ | + | {{Утверждение |
+ | |about=следствие 1 (о четырёх пределах) | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть точка <tex>x</tex> регулярна, а также существуют <tex>\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex> и <tex>\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex> | ||
+ | }} | ||
= 16 Полная вариация функции и ее аддитивность = | = 16 Полная вариация функции и ее аддитивность = | ||
− | {{ | + | {{Определение |
+ | |definition= | ||
+ | '''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>.<br> | ||
+ | '''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>.<br> | ||
+ | <tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>.<br> | ||
+ | Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |about= | ||
+ | аддитивность вариации | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>. | ||
+ | }} | ||
= 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций = | = 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций = | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |statement= | ||
+ | <tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>). | ||
+ | }} | ||
+ | Функции, которые надо брать: <tex> f_1(x) = \bigvee\limits_a^x (f), f_2(x) = f(x) - f_1(x) </tex>. | ||
+ | |||
+ | = 18 Условие существования интеграла Стилтьесса = | ||
+ | <wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$). | ||
+ | |||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | '''Интегралом Римана-Стилтьеса''' называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$.<br> | ||
+ | Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$. | ||
+ | }} | ||
− | = | + | Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$. |
− | {{ | + | </wikitex> |
+ | {{Теорема | ||
+ | |about= | ||
+ | Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса | ||
+ | |statement= | ||
+ | <tex>f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 </tex>. | ||
+ | }} | ||
= 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции = | = 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции = | ||
− | {{ | + | <wikitex> |
+ | {{Теорема | ||
+ | |about= | ||
+ | о существовании интеграла Римана-Стилтьеса | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует. | ||
+ | }} | ||
+ | </wikitex> | ||
= 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса = | = 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса = | ||
− | + | <wikitex> | |
+ | Уточним аддитивность интеграла: | ||
+ | # $ \exists \int\limits_a^b f dg, \exists \int\limits_a^c f dg, \exists \int\limits_b^c f dg \Rightarrow \int\limits_a^c = \int\limits_a^b + \int\limits_b^c $ | ||
+ | # $ \exists \int\limits_a^d \Rightarrow \exists \int\limits_b^c$, где $ [b, c] \in [a, d]$. | ||
+ | # Для интеграла Римана из существования $\int\limits_a^b $ и $\int\limits_b^c$ следует существование $\int\limits_a^c$. Для интеграла Римана-Стилтьеса в общем случае это '''неверно'''. | ||
+ | </wikitex> | ||
= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана = | = 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана = | ||
− | {{ | + | <wikitex> |
+ | |||
+ | {{Утверждение | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть $f$ и $g'$ непрерывны на $[a, b]$, и существует $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$, тогда существует $\int\limits_a^b f dg$, и его значение совпадает с $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$. | ||
+ | }} | ||
= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса = | = 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса = | ||
− | {{ | + | <wikitex> |
+ | {{Теорема | ||
+ | |about= | ||
+ | формула интегрирования по частям | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $. | ||
+ | }} | ||
+ | </wikitex> | ||
= 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации = | = 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации = | ||
− | {{ | + | <wikitex> |
+ | Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда: | ||
+ | |||
+ | *$|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$ | ||
+ | |||
+ | *$|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$ | ||
+ | </wikitex> | ||
= 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации = | = 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации = | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |author=Жордан | ||
+ | |statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу | ||
+ | <tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex> | ||
+ | }} | ||
= 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье = | = 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье = | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации) с периодом <tex>2 \pi</tex>. Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье. | ||
+ | }} | ||
= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя = | = 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя = | ||
− | {{ | + | Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>S_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>. |
+ | |||
+ | Экстремальное свойство: <tex>\|x-S_n(x)\|^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>. (Какой-то бред. Должно быть: <tex>E_n(x)=\inf\limits_{t_n \in H_n} \|x-t_n\|</tex> и <tex>E_n(x)=\|x-S_n(x)\|</tex>, где <tex>H_n</tex> - пространство тригонометрических полиномов степени не выше <tex>n</tex>, т.е. <tex>H_n \subset \mathcal{H}</tex>) | ||
+ | |||
+ | Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex> | ||
= 27 Замкнутые и полные о.н.с. = | = 27 Замкнутые и полные о.н.с. = | ||
− | {{ | + | # ОНС {{---}} замкнута: (<tex>\forall j : \langle x, e_j\rangle = 0) \Rightarrow x = 0</tex>. |
+ | # ОНС {{---}} полная: <tex>\operatorname{Cl} \mathcal{L}(e_1, \ldots, e_n, \ldots) = \mathcal{H}</tex> (замыкание линейной оболочки совпадает с самим пространством). | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая | ||
+ | }} | ||
= 28 Равенство Парсеваля = | = 28 Равенство Парсеваля = | ||
− | {{ | + | {{Утверждение |
+ | |author=Парсеваль | ||
+ | |statement= | ||
+ | <tex>x, y \in \mathcal{H} \Rightarrow \langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>. | ||
+ | }} | ||
= 29 Теорема Лузина-Данжуа = | = 29 Теорема Лузина-Данжуа = | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |author= | ||
+ | Лузин, Данжуа | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси. | ||
+ | }} | ||
= 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> = | = 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из <tex>L_2</tex> = | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |statement= | ||
+ | <tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex> | ||
+ | |||
+ | Тогда ряд Фурье абсолютно сходится. | ||
+ | }} | ||
= 31 Принцип локализации для рядов Фурье = | = 31 Принцип локализации для рядов Фурье = | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |author= | ||
+ | Риман | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>. | ||
+ | |||
+ | Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex> | ||
+ | }} | ||
= 32 Почленное интегрирование ряда Фурье = | = 32 Почленное интегрирование ряда Фурье = | ||
− | { | + | <tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>, где <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex> |
= 33 Модуль непрерывности и его свойства = | = 33 Модуль непрерывности и его свойства = | ||
− | {{ | + | {{Определение |
+ | |definition= | ||
+ | [[Отображения|Функция]] <tex>\omega: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+</tex> называется модулем непрерывности, если: | ||
+ | # <tex>\omega (0) = 0 = \lim \limits_{t \to +0} \,\omega(t)</tex> | ||
+ | # <tex>\omega (t)</tex> неубывает | ||
+ | # <tex>\omega (t_1 + t_2) \le \omega(t_1) + \omega(t_2)</tex> (полуаддитивность) | ||
+ | }} | ||
= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности = | = 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности = | ||
− | {{ | + | Класс модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega</tex>. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega^*</tex>. |
+ | {{Теорема | ||
+ | |about= | ||
+ | о выпуклом модуле непрерывности | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex>\omega \in \Omega</tex>. Тогда существует <tex>\omega^* \in \Omega^*</tex> такая, что <tex>\forall \lambda, t \ge 0</tex> | ||
+ | :<tex>\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega(t)</tex> | ||
+ | }} | ||
= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> = | = 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> = | ||
− | { | + | <tex> \omega(f, h)_C </tex> — [[модуль непрерывности функции]] <tex> = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |f(x_2) - f(x_1)| </tex> |
= 36 Ядро Джексона = | = 36 Ядро Джексона = | ||
− | {{ | + | {{Определение |
+ | |definition= | ||
+ | Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t) = \frac3{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>. | ||
+ | }} | ||
= 37 Теорема Джексона = | = 37 Теорема Джексона = | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |author= | ||
+ | Джексон | ||
+ | |statement= | ||
+ | <tex> f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1}) </tex> | ||
+ | }} | ||
− | = 38 Следствия для <tex>C^{( | + | = 38 Следствия для C^r = |
− | + | <tex> f \in C^{(p)} \Rightarrow E_n(f) \le c_p \frac{1}{(n+1)^p} \| f^{(p)} \|_C, c_p - const </tex>. | |
= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов = | = 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов = | ||
− | {{ | + | |
+ | <tex>T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^n (a_k \cos kx + b_k \sin kx)</tex> | ||
+ | |||
+ | {{Теорема | ||
+ | |author=Бернштейн | ||
+ | |statement=<tex>\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T'_n(x)| \le n\cdot\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T_n(x)|</tex>. Константу <tex>n</tex> уменьшить нельзя | ||
+ | }} | ||
= 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений = | = 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений = | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |author=Бернштейн | ||
+ | |statement=<tex>E_n(f) \le \frac{A}{n^2} \Rightarrow \exists f'</tex> | ||
+ | }} | ||
= 41 Явление Гиббса = | = 41 Явление Гиббса = | ||
− | {{ | + | {{Определение |
+ | |definition=''Явление Гиббса'' {{---}} некоторое особое поведение частичных сумм ряда Фурье в окрестности точки разрыва разлагаемой функции. | ||
+ | }} | ||
= 42 Константа Лебега ядра Дирихле = | = 42 Константа Лебега ядра Дирихле = | ||
Строка 164: | Строка 370: | ||
= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега = | = 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега = | ||
− | + | <tex>\|s_n(f) - f\|_C \le \left(\int\limits_Q |D_n(t)| dt + 1\right) E(f)_C</tex> | |
= 44 Частный интеграл Фурье = | = 44 Частный интеграл Фурье = | ||
− | {{ | + | {{Определение |
+ | |definition= | ||
+ | <tex>a(f, z) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos zt dt</tex> {{---}} косинусное преобразование <tex>f</tex>. <br /> | ||
+ | <tex>b(f, z) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \sin zt dt</tex> {{---}} синусное преобразование <tex>f</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | Если рассматривать все вещественные значения <tex> n </tex>, а не только натуральные, то ряд перейдет в интеграл. | ||
+ | <tex>\int\limits_0^{+\infty} (a(f, z) \cos zx + b(f, z) \sin zx) dz=\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz</tex> - интеграл Фурье. | ||
= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье = | = 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье = | ||
− | {{ | + | {{Утверждение |
+ | |about= | ||
+ | признак Дини сходимости интеграла Фурье | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex>f \in L_1, s \in \mathbb{R}</tex>. Если существует <tex>\Delta > 0: \int\limits_0^{\Delta} \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < + \infty</tex>, то <tex> s = \lim\limits_{A \to \infty} I(A)</tex>. | ||
+ | }} | ||
[[Категория:Математический анализ 2 курс]] | [[Категория:Математический анализ 2 курс]] |
Текущая версия на 19:33, 4 сентября 2022
Содержание
- 1 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в [math]L_1[/math]
- 2 2 Ядра Дирихле и Фейера
- 3 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство)
- 4 4 Теорема Фробениуса
- 5 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве
- 6 6 Теорема Фейера
- 7 7 Следствие о двух пределах
- 8 8 Всюду плотность множества [math] C [/math] в пространствах [math] L_p [/math]
- 9 9 Теорема Фейера в пространствах [math]L_p[/math]
- 10 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства
- 11 11 Существование элемента наилучшего приближения
- 12 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса
- 13 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из [math]L_1[/math]
- 14 14 Теорема Дини
- 15 15 Следствие о четырех пределах
- 16 16 Полная вариация функции и ее аддитивность
- 17 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций
- 18 18 Условие существования интеграла Стилтьесса
- 19 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции
- 20 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса
- 21 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана
- 22 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса
- 23 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации
- 24 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации
- 25 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье
- 26 26 Ряды Фурье в [math]L_2[/math] : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя
- 27 27 Замкнутые и полные о.н.с.
- 28 28 Равенство Парсеваля
- 29 29 Теорема Лузина-Данжуа
- 30 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из [math]L_2[/math]
- 31 31 Принцип локализации для рядов Фурье
- 32 32 Почленное интегрирование ряда Фурье
- 33 33 Модуль непрерывности и его свойства
- 34 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности
- 35 35 Модуль непрерывности в пространстве [math] C [/math]
- 36 36 Ядро Джексона
- 37 37 Теорема Джексона
- 38 38 Следствия для C^r
- 39 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов
- 40 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений
- 41 41 Явление Гиббса
- 42 42 Константа Лебега ядра Дирихле
- 43 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега
- 44 44 Частный интеграл Фурье
- 45 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье
1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в
Определение: |
То есть, . | — совокупность -периодических функций, суммируемых с -й степенью на промежутке .
Определение: |
Тригонометрическим рядом называется ряд:
Если, начиная с какого-то места, . , то соответствующая сумма называется тригонометрическим полиномом. |
Теорема: |
Пусть тригонометрический ряд сходится в и имеет суммой функцию . Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:
. |
Определение: |
Пусть функция | . Ряд Фурье — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
2 Ядра Дирихле и Фейера
Определение: |
— тригонометрический полином такого вида называется ядром Дирихле. |
Определение: |
— интеграл Дирихле. |
Определение: |
. В такой форме записи частичная сумма называется интегралом свертки c ядром . |
Определение: |
— тригонометрический полином такого вида называется ядром Фейера. |
3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство)
Определение: |
Ряд | имеет сумму по методу средних арифметических (обозначают аббревиатурой с.а.), если .
Определение: |
Пусть дан ряд | и (в классическом смысле). Тогда этот ряд имеет сумму по методу Абеля, если .
Естественно, указанный предел должен существовать.
4 Теорема Фробениуса
Теорема (Фробениус): |
(с.а) (А). |
5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве
Теорема (Харди): |
(с.а.)
Тогда, если существует такое , что , то . |
6 Теорема Фейера
Теорема (Фейер в L_1): |
Пусть , , ,
. Тогда |
7 Следствие о двух пределах
Утверждение (следствие Фейера о двух пределах): |
Пусть точка — регулярная, тогда в ней |
8 Всюду плотность множества в пространствах
Теорема: |
Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в |
9 Теорема Фейера в пространствах
Теорема (Фейер): |
. |
10 Наилучшее приближение в НП и его свойства
Пусть
— нормированное пространство, к примеру, . Пусть — линейное множество в , например, (тригонометрических полиномов степени не больше ).Определение: |
Для любого | величина называется наилучшим приближением точки элементами линейного множества . Если при этом существует такой, что , то этот называется элементом наилучшего приближения точки .
Заметим: гарантий, что
единственный и что он вообще существует, нет.Утверждение: |
Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника. |
11 Существование элемента наилучшего приближения
Теорема: |
Пусть — нормированное пространство, , тогда существует элемент наилучшего приближения . |
12 Обобщенная теорема Вейерштрасса
Теорема (Вейерштрасс, обычная теорема Вейерштрасса): |
Пусть функция непрерывна на отрезке .
Тогда |
Теорема (Теорема Вейерштрасса в | ):
. |
13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из
Лемма (Риман-Лебег): |
Пусть , тогда при , . |
14 Теорема Дини
Теорема (Дини): |
, , , где . Тогда |
15 Следствие о четырех пределах
Утверждение (следствие 1 (о четырёх пределах)): |
Пусть точка регулярна, а также существуют и . Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна |
16 Полная вариация функции и ее аддитивность
Определение: |
Вариацией функции Полной вариацией называется | по разбиению называется .
Теорема (аддитивность вариации): |
Пусть и , тогда . |
17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций
Теорема: |
— функция ограниченной вариации ( ) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций ( ). |
Функции, которые надо брать:
.18 Условие существования интеграла Стилтьесса
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и весовая функция $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).
Определение: |
Интегралом Римана-Стилтьеса называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$. |
Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
Теорема (Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса): |
. |
19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции
<wikitex>
Теорема (о существовании интеграла Римана-Стилтьеса): |
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует. |
</wikitex>
20 Аддитивность интеграла Стилтьесса
<wikitex> Уточним аддитивность интеграла:
- $ \exists \int\limits_a^b f dg, \exists \int\limits_a^c f dg, \exists \int\limits_b^c f dg \Rightarrow \int\limits_a^c = \int\limits_a^b + \int\limits_b^c $
- $ \exists \int\limits_a^d \Rightarrow \exists \int\limits_b^c$, где $ [b, c] \in [a, d]$.
- Для интеграла Римана из существования $\int\limits_a^b $ и $\int\limits_b^c$ следует существование $\int\limits_a^c$. Для интеграла Римана-Стилтьеса в общем случае это неверно.
</wikitex>
21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана
<wikitex>
Утверждение: |
Пусть $f$ и $g'$ непрерывны на $[a, b]$, и существует $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$, тогда существует $\int\limits_a^b f dg$, и его значение совпадает с $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$. |
22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса
<wikitex>
Теорема (формула интегрирования по частям): |
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl |
</wikitex>
23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации
<wikitex> Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:
- $|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
- $|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>
24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации
Теорема (Жордан): |
Ряд Фурье -периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
|
25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье
Теорема: |
Пусть ( — непрерывная, ограниченной вариации) с периодом . Тогда раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье. |
26 Ряды Фурье в : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя
Пусть
— ОНС, , , , , .Экстремальное свойство:
. (Какой-то бред. Должно быть: и , где - пространство тригонометрических полиномов степени не выше , т.е. )Из него получается неравенство Бесселя:
27 Замкнутые и полные о.н.с.
- ОНС — замкнута: ( .
- ОНС — полная: (замыкание линейной оболочки совпадает с самим пространством).
Теорема: |
ОНС — полная ОНС — замкнутая |
28 Равенство Парсеваля
Утверждение (Парсеваль): |
. |
29 Теорема Лузина-Данжуа
Теорема (Лузин, Данжуа): |
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси. |
30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из
Теорема: |
Тогда ряд Фурье абсолютно сходится. |
31 Принцип локализации для рядов Фурье
Теорема (Риман): |
Пусть , , .
Пусть также в -окрестности точки выполняется , тогда |
32 Почленное интегрирование ряда Фурье
, где
33 Модуль непрерывности и его свойства
Определение: |
Функция называется модулем непрерывности, если:
|
34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности
Класс модулей непрерывности обозначим
. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим .Теорема (о выпуклом модуле непрерывности): |
Пусть . Тогда существует такая, что
|
35 Модуль непрерывности в пространстве
—36 Ядро Джексона
Определение: |
Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как | , .
37 Теорема Джексона
Теорема (Джексон): |
38 Следствия для C^r
.
39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов
Теорема (Бернштейн): |
. Константу уменьшить нельзя |
40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений
Теорема (Бернштейн): |
41 Явление Гиббса
Определение: |
Явление Гиббса — некоторое особое поведение частичных сумм ряда Фурье в окрестности точки разрыва разлагаемой функции. |
42 Константа Лебега ядра Дирихле
называется константой Лебега. .
43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега
44 Частный интеграл Фурье
Определение: |
— синусное преобразование . | — косинусное преобразование .
Если рассматривать все вещественные значения
, а не только натуральные, то ряд перейдет в интеграл. - интеграл Фурье.45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье
Утверждение (признак Дини сходимости интеграла Фурье): |
Пусть . Если существует , то . |