Теорема Джексона

<<>>

Ранее нами введено наилучшее приближение в [math] C [/math]:

[math] E_n(f)_C = E_n(f) = \inf \| f - T \|_C, T \in H_n [/math].

Наилучшее приближение:

[math] \exists T_n(f)_C = T_n(f): E_n(f) = \| f - T_n(f) \|_C [/math] — полином наилучшего приближения.

[math] E_n(f) [/math] — полунорма, [math] \forall T \in H_n, E_n(T) = 0 [/math]. [math] E_n(f) = E_n(f + T) [/math]

[math] \omega(f, h)_C [/math] — модуль непрерывности функции [math] = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |f(x_2) - f(x_1)| [/math]

Ранее было установлено, что [math] E_n(f)_C \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 [/math].

Группу теорем, которая позволяет судить о скорости стремления наилучшего приближения к нулю называют «прямыми теоремами теории аппроксимации функций (конструктивной теории функций)». Одной из характеристик, которой описывают структурные свойства фунции, является модуль непрерывности.

Чтобы судить о [math] E_n(f) [/math], надо строить приближение функции в виде полинома таким образом, чтобы уметь оценивать его отклонение от самой функции в терминах модуля непрерывности. Тогда само отклонение будет не меньше модуля непрерывности, и само приближение будет оценено через него.

Типичный прием — интегрирование свертки с тригонометрическим ядром.

[math] s_n(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) D_n(t) dt [/math]

[math] \sigma_n(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t) dt [/math]

Получающиеся интегралы являются тригонометрическими полиномами.

[math] A(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) J_n(t) dt, J_n [/math] — тригонометрический полином, произвольное ядро. Заменим [math] y = x + t [/math].

[math] A(f, x) = \int\limits_Q f(y) J_n(y - x) dy [/math]

[math] J_n(y - x) = T_n(x) [/math] — тригонометрический полином по [math] x [/math], коэффициенты которого зависят от [math] y [/math].

[math] A(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) J_n(t) dt [/math].

Пусть [math] \int\limits_Q J_n(t) = 1, J_n(t) \ge 0 [/math].

[math] |f(x) - A(f, x)| \le \int\limits_Q |f(x + t) - f(x)| J_n(t) dt \le \int\limits_Q \omega(f, |t|) J_n(t) dt [/math]

[math]\le \int\limits_Q \omega^*(f, |t|) J_n(t) dt \le [/math] (применим неравенство Йенсена для выпуклых функций) [math] \le \omega^*(f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) \le 2 \omega(f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) [/math]

[math] f [/math] — непрерывная, [math] 2 \pi [/math] - периодическая функция.

[math] \| f - A(f) \|_C \le 2 \omega (f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) [/math], где [math] \int\limits_Q |t| J_n(t) dt [/math] называется первым, абсолютным моментом ядра.

Из этого неравенства видно, что суть получения основных теорем состоит в том, чтобы удачно подобрать усредняющее ядро, чтобы [math] \omega \to 0 [/math] при [math] n \to \infty [/math].

Одним из этих ядер является ядро Джексона.

Определение:

Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как [math] d_n(t) = \frac3{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 [/math], [math] d_n(t) \in H_{2n-2} [/math].

Так как ядро Джексона является тригонометрическим полиномом, то [math] \int\limits_Q d_n(t) = 2\pi a_0 = 2\pi d_1(t) = 2\pi \frac3{2 \pi \cdot 1 \cdot 3} \left( \frac{\sin\frac{t}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 = 1[/math].

Утверждение:

[math] \int\limits_0^{\pi} t d_n(t) \le \frac{3}{4} \frac{\pi}{n} [/math]

[math]\triangleright[/math]

[math] \int\limits_0^{\pi} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi} [/math] [math] \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{3}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 dt \le [/math] [math] \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{3n^4}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} dt = \frac{3}{2} \left( \frac{\pi}{2 n} \right)^2 \frac{n^3}{2 \pi (2n^2 + 1)} \le a \frac{3}{n} [/math] [math] \int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi} t \frac{\pi^4}{t^4} \frac{3}{2 \pi n (2 n^2 +1)} dt = \frac{1}{2} \frac{3}{2 \pi n (2n^2 +1)} \left( \frac{4 n^2}{\pi^2} - \frac{1}{\pi^2} \right) \le b \frac{3}{n} [/math]. Неравенство установили.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема Джексона

Теорема (Джексон):

[math] f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1}) [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] Y(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) d_n(t) dt [/math] — интеграл Джексона [math] Y_n(f) \in H_{2n - 2} [/math] [math] E_{2n - 2} (f) \le \| f - Y_n(f) \| \le 2 \omega (f, \int\limits_Q |t| d_n(t) dt) \le 2 \omega (f, 2 \cdot \frac{3}{4 n}) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) [/math] Для четных членов: [math] E_{2n - 2} (f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) [/math] [math] \frac{3 \pi}{(2n - 2) + 1} = \frac{3 \pi}{2n - 1} \gt \frac{3 \pi}{2 n}[/math] Дле нечетных: [math] E_{2n - 1} (f) \le E_{2n - 2} (f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) [/math] [math] \frac{3 \pi}{(2n - 1) + 1} = \frac{3 \pi}{2 n}[/math] Приходим к требуемому неравенству соединяя эти два, что и требовалось.

[math]\triangleleft[/math]

Следствия

[math] f \in C^1 [/math] — непрерывная, дифференциируемая

[math] |f(x + t) - f(x)| = |f'(x + \theta t)| |t|, |f'(x + \theta t)| \le \| f' \|_C [/math]

[math] \omega(f, h) \le \| f' \|_C h [/math]

[math] \omega(f, \frac{3 \pi}{n + 1}) \le \| f' \|_C \frac{3 \pi}{n + 1} [/math]

Следствие:

[math] f \in C^1 \Rightarrow E_n(f) \le \| f' \|_C \frac{6 \pi}{n + 1} [/math]

[math] f \in C^{(p)} [/math]

[math] E_n(f) = E_n(f + T), T \in H_n [/math]

Рассмотрим [math] T_n(f') [/math]. Как и при почленном интегрировании рядов Фурье если из него вычесть его нулевой коэффициент Фурье и написать интеграл от [math] 0 [/math] до [math] x [/math], мы получим тригонометрический полином.

[math] \int\limits_0^x (T_n(f', t) - \frac{1}{2} a_0 (T_n(f'))) dt \in H_n [/math]

Подставим это в предыдущее равенство вместо [math] T [/math]:

[math] E_n(f) = E_n(f - \int\limits_0^x T_n(f', t) - \frac12 a_0(T_n(f')) dt) \le \frac{6 \pi}{n + 1} \| g' \| = \frac{6 \pi}{n + 1} \| f' - T_n(f') + \frac12 a_0(T_n(f'))) \| \le \frac{6 \pi}{n + 1} ( \| f' - T_n(f') \| + \frac12 | a_0(T_n (f'))|) (\star)[/math]

[math] \frac12 a_0(T_n(f')) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q T_n (f', x) dx [/math]

[math] f [/math] — [math] 2 \pi [/math]-периодична [math] \Rightarrow \int\limits_Q f' = f(\pi) - f(-\pi) = 0 [/math]

[math] \frac12 a_0(T_n(f')) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q (T_n(f', x) - f'(x))dx [/math] [math] \le \frac{1}{2 \pi} 2 \pi \sup\limits_Q (T_n(f', x) - f'(x)) = \| T_n(f') - f'\|_C = E_n(f') [/math]. Подставим в [math](\star)[/math] и получим в итоге следующее:

Утверждение:

[math] f \in C^1 \Rightarrow E_n(f) \le \frac{12 \pi}{n + 1} E_n(f') [/math]

[math]\triangleright[/math]

Следует из написанного выше.

[math]\triangleleft[/math]

[math] p = 1: E_n(f) \le \| f' \| \frac{6 \pi}{n + 1} [/math]

[math] p = 2: E_n(f) \le \frac{12 \pi}{n + 1} E_n(f') \le 2 (\frac{6 \pi}{n+1})^2 \| f'' \|_C [/math]

По индукции приходим к:

[math] f \in C^{(p)} \Rightarrow E_n(f) \le c_p \frac{1}{(n+1)^p} \| f^{(p)} \|_C, c_p[/math], где [math]c_p[/math] — константа.

То есть чем больше дифференциируемая(гладкая) функция, тем быстрее наилучшее приближение стремится к нулю.

Википедия — Ядро Джексона

<<>>