Изменения

Не трогать [[Теорема_Лузина-Данжуа|<<]][[Об_интеграле_Фурье|>>]] Ранее нами введено [[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах | наилучшее приближение]] в <tex> C </tex>: <tex> E_n(f)_C = E_n(f) = \inf \| f - T \|_C, T \in H_n </tex>. Наилучшее приближение: <tex> \exists T_n(f)_C = T_n(f): E_n(f) = \| f - T_n(f) \|_C </tex> — полином наилучшего приближения. <tex> E_n(f) </tex> — полунорма, <tex> \forall T \in H_n, E_n(T) = 0 </tex>. <tex> E_n(f) = E_n(f + T) </tex> <tex> \omega(f, h)_C </tex> — [[модуль непрерывности функции]] <tex> = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 -x_1| \le h} |f(x_2) -f(x_1)| </tex> [[Участник:DgerasimovНаилучшее приближение в линейных нормированных пространствах | Ранее]] было установлено, что <tex> E_n(f)_C \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>. Группу теорем, которая позволяет судить о скорости стремления наилучшего приближения к нулю называют «прямыми теоремами теории аппроксимации функций (конструктивной теории функций)». Одной из характеристик, которой описывают структурные свойства фунции, является модуль непрерывности. Чтобы судить о <tex> E_n(f) </tex>, надо строить приближение функции в виде полинома таким образом, чтобы уметь оценивать его отклонение от самой функции в терминах модуля непрерывности. Тогда само отклонение будет не меньше модуля непрерывности, и само приближение будет оценено через него.  Типичный прием — интегрирование свертки с тригонометрическим ядром.  <tex> s_n(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) D_n(t) dt </tex> <tex> \sigma_n(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t) dt </tex> Получающиеся интегралы являются тригонометрическими полиномами.  <tex> A(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) J_n(t) dt, J_n </tex> — тригонометрический полином, произвольное ядро. Заменим <tex> y = x + t </tex>. <tex> A(f, x) = \int\limits_Q f(y) J_n(y - x) dy </tex> <tex> J_n(y - x) = T_n(x) </tex> — тригонометрический полином по <tex> x </tex>, коэффициенты которого зависят от <tex> y </tex>. <tex> A(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) J_n(t) dt </tex>. Пусть <tex> \int\limits_Q J_n(t) = 1, J_n(t) \ge 0 </tex>. <tex> |f(x) - A(f, x)| \le \int\limits_Q |f(x + t) - f(x)| J_n(t) dt \le \int\limits_Q \omega(f, |t|) J_n(t) dt </tex> <tex>\le \int\limits_Q \omega^*(f, |t|) J_n(t) dt \le </tex> (применим [[Выпуклые функции#Неравенство Йенсена |Дмитрий Герасимовнеравенство Йенсена]] 18для выпуклых функций) <tex> \le \omega^*(f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) \le 2 \omega(f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) </tex> <tex> f </tex> — непрерывная, <tex> 2 \pi </tex> - периодическая функция. <tex> \| f - A(f) \|_C \le 2 \omega (f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) </tex>, где <tex> \int\limits_Q |t| J_n(t) dt </tex> называется первым, абсолютным моментом ядра. Из этого неравенства видно, что суть получения основных теорем состоит в том, чтобы удачно подобрать усредняющее ядро, чтобы <tex> \omega \to 0 </tex> при <tex> n \to \infty </tex>. Одним из этих ядер является ядро Джексона.{{Определение|definition=Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t) = \frac3{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>.}} Так как ядро Джексона является тригонометрическим полиномом, то <tex> \int\limits_Q d_n(t) = 2\pi a_0 = 2\pi d_1(t) = 2\pi \frac3{2 \pi \cdot 1 \cdot 3} \left( \frac{\sin\frac{t}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 = 1</tex>. {{Утверждение|statement=<tex> \int\limits_0^{\pi} t d_n(t) \le \frac{3}{4} \frac{\pi}{n} </tex>|proof=<tex> \int\limits_0^{\pi} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi} </tex> <tex> \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{3}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 dt \le </tex><tex> \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{3n^4}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} dt = \frac{3}{2} \left( \frac{\pi}{2 n} \right)^2 \frac{n^3}{2 \pi (2n^2 + 1)} \le a \frac{3}{n} </tex> <tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi} t \frac{\pi^4}{t^4} \frac{3}{2 \pi n (2 n^2 +1)} dt = \frac{1}{2} \frac{3}{2 \pi n (2n^2 +1)} \left( \frac{4 n^2}{\pi^2} - \frac{1}{\pi^2} \right) \le b \frac{3}{n} </tex>. Неравенство установили.}} == Теорема Джексона == {{Теорема|author=Джексон|statement=<tex> f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1}) </tex>|proof=<tex> Y(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) d_n(t) dt </tex> — интеграл Джексона <tex> Y_n(f) \in H_{2n - 2} </tex>  <tex> E_{2n - 2} (f) \le \| f - Y_n(f) \| \le 2 \omega (f, \int\limits_Q |t| d_n(t) dt) \le 2 \omega (f, 2 \cdot \frac{3}{4 n}) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) </tex> Для четных членов:53: <tex> E_{2n - 2} (f) \le 2 \omega (f, 24 июня 2012 \frac{3 \pi}{2 n}) </tex>: <tex> \frac{3 \pi}{(GST2n - 2)+ 1} = \frac{3 \pi}{2n - 1} > \frac{3 \pi}{2 n}</tex>Дле нечетных:: <tex> E_{2n - 1} (f) \le E_{В разработке2n - 2} (f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) </tex>: <tex> \frac{3 \pi}{(2n - 1) + 1} = \frac{3 \pi}{2 n}</tex> Приходим к требуемому неравенству соединяя эти два, что и требовалось.}} == Следствия == <tex> f \in C^1 </tex> — непрерывная, дифференциируемая <tex> |f(x + t) - f(x)| = |f'(x + \theta t)| |t|, |f'(x + \theta t)| \le \| f' \|_C </tex> <tex> \omega(f, h) \le \| f' \|_C h </tex> <tex> \omega(f, \frac{3 \pi}{n + 1}) \le \| f' \|_C \frac{3 \pi}{n + 1} </tex> Следствие: <tex> f \in C^1 \Rightarrow E_n(f) \le \| f' \|_C \frac{6 \pi}{n + 1} </tex> <tex> f \in C^{(p)} </tex>  <tex> E_n(f) = E_n(f + T), T \in H_n </tex>  Рассмотрим <tex> T_n(f') </tex>. Как и при почленном интегрировании рядов Фурье если из него вычесть его нулевой коэффициент Фурье и написать интеграл от <tex> 0 </tex> до <tex> x </tex>, мы получим тригонометрический полином. <tex> \int\limits_0^x (T_n(f', t) - \frac{1}{2} a_0 (T_n(f'))) dt \in H_n </tex>  Подставим это в предыдущее равенство вместо <tex> T </tex>: <tex> E_n(f) = E_n(f - \int\limits_0^x T_n(f', t) - \frac12 a_0(T_n(f')) dt) \le \frac{6 \pi}{n + 1} \| g' \| = \frac{6 \pi}{n + 1} \| f' - T_n(f') + \frac12 a_0(T_n(f'))) \| \le \frac{6 \pi}{n + 1} ( \| f' - T_n(f') \| + \frac12 | a_0(T_n (f'))|) (\star)</tex>  <tex> \frac12 a_0(T_n(f')) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q T_n (f', x) dx </tex>  <tex> f </tex> — <tex> 2 \pi </tex>-периодична <tex> \Rightarrow \int\limits_Q f' = f(\pi) - f(-\pi) = 0 </tex> <tex> \frac12 a_0(T_n(f')) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q (T_n(f', x) - f'(x))dx </tex> <tex> \le \frac{1}{2 \pi} 2 \pi \sup\limits_Q (T_n(f', x) - f'(x)) = \| T_n(f') - f'\|_C = E_n(f') </tex>. Подставим в <tex>(\star)</tex> и получим в итоге следующее: {{Утверждение|statement=<tex> f \in C^1 \Rightarrow E_n(f) \le \frac{12 \pi}{n + 1} E_n(f') </tex>|proof=Следует из написанного выше.}} <tex> p = 1: E_n(f) \le \| f' \| \frac{6 \pi}{n + 1} </tex>  <tex> p = 2: E_n(f) \le \frac{12 \pi}{n + 1} E_n(f') \le 2 (\frac{6 \pi}{n+1})^2 \| f'' \|_C </tex> По индукции приходим к: <tex> f \in C^{(p)} \Rightarrow E_n(f) \le c_p \frac{1}{(n+1)^p} \| f^{(p)} \|_C, c_p</tex>, где <tex>c_p</tex> — константа. То есть чем больше дифференциируемая(гладкая) функция, тем быстрее наилучшее приближение стремится к нулю. [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AF%D0%B4%D1%80%D0%BE_%D0%94%D0%B6%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 Википедия — Ядро Джексона] [[Теорема_Лузина-Данжуа|<<]][[Об_интеграле_Фурье|>>]]