1632
правки
Изменения
м
Значит При этом <tex>TK\subseteq S_3</tex>, где <tex>S_3</tex> {{---}} гомоморфизмгруппа всех перестановок с <tex>3</tex> элементами с операцией <tex>\circ</tex>.
#<tex>T</tex> {{---}} инъекция, потому что <tex>f_g(x) = f_{g'}(x) \Rightarrow g = f_g(x) \circ x^{-1} = f_{g'}(x) \circ x^{-1} = g'</tex>.#Сюрьективность <tex>T</tex> очевидна из определения <tex>K</tex>.То есть
То есть <tex>T</tex> \varphi(g)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ g\circ 0 & g\circ 1 & g\circ 2 \end{---}bmatrix} гомоморфизм и биекция, а значит изоморфизм <tex>G</tex> и <tex>K</tex> установлен.}}==Примеры== Примером и иллюстрацией для данной теоремы является группа <tex> \mathbb Z_3</tex> {{---}} группа остатков по модулю 3, с операцией сложения.
Пусть Тогда находим три перестановки, составляющие группу <tex>\ \varphi :\mathbb{Z}_3\rightarrow S_3K</tex>:
rollbackEdits.php mass rollback
__TOC__
Теорема Кэли позволяет найти для любой конечной группы с определённой бинарной операцией изоморфную ей подгруппу группы всех перестановок.
==Теорема Кэли==
{{
Теорема
|about=о вложении любой конечной группы в группу перестановок
|statement=
Любая [[Конечная группа| конечная группа ]] <tex>G</tex> порядка <tex>n</tex> изоморфна некоторой подгруппе [[Умножение перестановок, обратная перестановка, группа перестановок|группы перестановок ]] (подгруппе симметрической группы <tex>S_n</tex>).
|proof=
<tex>S_n</tex>(симметрическая группа) {{---}} множество перестановок с <tex>n</tex> элементами с операцией <tex>\circ</tex>. Пусть <tex>\circ</tex> {{---}} бинарная операция в конечной группе <tex>G=\{g_1, g_2,...\ldots,g_n\}</tex>.
Для каждого элемента <tex>g\in G</tex> построим соответствующую перестановку <tex>f_g\in S_n:</tex>
<tex> f_g=\begin{bmatrix} g_1 & g_2 & ... \ldots & g_n \\ f_g(g_1) & f_g(g_2) & ... \ldots & f_g(g_n) \end{bmatrix},</tex> где <tex>f_g(x) = g \circ x</tex>.
<tex>f_g</tex> {{---}} перестановка, так как
Так как <tex>G</tex> {{---}} группа, то <tex>g_i \circ g_j =g_k\in G</tex> и <tex>f_{g_i \circ g_j}=f_{g_k}</tex>, откуда <tex>f_{g_i} \circ f_{g_j}\in K</tex>. Значит, <tex>K</tex> {{---}} подгруппа группы <tex>S_n</tex>.
Осталось доказать, что <tex>G</tex> и <tex>K</tex> изоморфны. Для этого рассмотрим отображение <tex>\varphi : G \rightarrow K,\</tex>, которое переводит элемент <tex>g\in G</tex> в элемент <tex>\varphi(g)=f_{g^\prime}\in K</tex>, где <tex>{g^\prime}</tex> симметричен элементу <tex>g</tex> в группе <tex>G</tex>.
Заметим, что
#Отображение <tex>\varphi </tex> взаимно однозначно.
#Для любых <tex>g_i,g_j\in G</tex> верно<tex>\varphi (g_i \circ g_j) = f_{(g_i \circ g_j)^\prime} = f_{{g}^\prime_i \circ {g}^\prime_j}=f_{{g}^\prime_i}\circ f_{{g}^\prime_j}=\varphi (g_i)\circ \varphi (g_j)</tex>, то есть отображение <tex>\varphi</tex>Tсохраняет операцию. Значит, оно является изоморфизмом групп <tex>G</tex> и <tex>K</tex>.}} ==Примеры== Рассмотрим конечную группу <tex>G= \mathbb Z_3=\{0, 1, 2\}</tex> с операцией <tex>\circ </tex> {{---}} сложения по модулю <tex>3</tex>. Найдём подгруппу <tex>K</tex>, изоморфную группе <tex>\mathbb{Z}_3</tex>, то есть найдём отображение <tex>\mathbb{Z}_3</tex> в <tex>K</tex>. Пусть <tex>\ \varphi :\mathbb{Z}_3\rightarrow K</tex> <tex>K = \{\varphi(g): g \in \mathbb{Z}_3\}</tex> и <tex> \circ Tvarphi(hg) = T\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ f_g(0) & f_g(1) & f_g(2) \end{bmatrix},</tex> где <tex> f_g(x) = g \circ h)x</tex>.
<tex> \varphi(0)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} </tex>
<tex> \varphi(2)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} </tex>
Таким образом, мы нашли подгруппу <tex>K</tex> группы перестановок <tex>S_3</tex>, изоморфную конечной группе <tex>\mathbb{Z}_3</tex>.
==См. также==
==Источники информации==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley's_theorem Wikipedia {{---}} Cayley's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
[[Категория: Свойства комбинаторных объектов]]
