Изменения

Есть два способа проверить сеть из <tex>n </tex> компараторов на то, что она сортирующая. __TOC__ == Первый способ ==Первый, наивный способ - — перебрать все перестановки из <tex> n </tex> элементов, пропустить их через сеть и проверить их на то, что они отсортированы. Этот подход потребует <tex> O(n! \cdot Comp(n)) </tex> действий, где <tex> Comp(n) </tex> - — количество компараторов в сети из <tex>n </tex> элементов. Обычно это Это количество можно оценить как <tex> n^2 \log n ^2n </tex>(сеть Бэтчера[[Сеть_Бетчера|Сеть Бетчера]]). Таким образом, то есть получаем асимптотику <tex> O(n! n^2 \log n^2n) </tex>, то есть и при <tex>n, равном уже = 10, </tex> проверить сеть очень проблематично. == Второй способ ==Второй способ основывается на предположении , что если сеть сортирует все последовательности из нулей и единиц, то сеть является сортирующей. Докажем Если мы докажем это, то сможем проверять сеть за <tex> O(2^n \cdot Comp(n)) </tex>, что намного быстрее. === Доказательство 0-1 принципа ==={{ Определение| definition =Функция <tex> f: A \rightarrow B </tex> называется '''монотонной''' (англ. ''monotonous''), если <tex> \forall a_1, a_2 \in A : a_1 \leqslant a_2 \Rightarrow f(a_1) \leqslant f(a_2) </tex>}} {{Лемма| statement =Пусть <tex> f: A \rightarrow B </tex> — монотонная. Тогда <tex> \forall a_1, a_2 \in A: f(\min(a_1, a_2)) = \min(f(a_1), f(a_2)) </tex>.| proof =Не теряя общности, предположим что <tex> a_1 \leqslant a_2 </tex>. Тогда <tex> f(\min(a_1, a_2)) = f(a_1) </tex>. Также, по монотонности, <tex> f(a_1) \leqslant f(a_2) </tex>. Тогда <tex> \min(f(a_1), f(a_2)) = f(a_1) </tex>. То есть,  <tex> f(\min(a_1, a_2)) = \min(f(a_1), f(a_2)) = f(a_1) </tex>.Такие же рассуждения можно провести для случая <tex> a_2 < a_1 </tex>.}} {{ Определение| definition =Рассмотрим отображение <tex> f: A \rightarrow B </tex> и последовательность <tex> a = (a_0, a_1, \dots, a_{n-1}) </tex>. Определим <tex> f(a) </tex> как последовательность <tex> f(a_0), f(a_1), \dots , f(a_{n-1}) </tex>, то есть <tex> f(a_i) = f(a)_i </tex>}} {{Лемма| statement =Пусть <tex> f: A \rightarrow B </tex> — монотонная, а <tex> N </tex> — сеть компараторов.Тогда <tex> N </tex> и <tex> f </tex> коммутируют, то есть <tex> N(f(a)) = f(N(a)) </tex>. Другими словами, неважно, применить сначала <tex> f </tex> к <tex> a </tex> и пропустить через сеть <tex> N </tex>, или пропустить через сеть <tex> N </tex> последовательность <tex> a </tex>, а потом применить монотонную функцию <tex> f </tex>.| proof =Рассмотрим произвольный компаратор <tex> [i: j] </tex>, сортирующий элементы <tex> a_i </tex> и <tex> a_j </tex>. Применим его к последовательности <tex> f(a) </tex> и рассмотрим элемент с индексом <tex> i </tex>. Тогда <tex> [i: j]f(a)_i =</tex>*<tex> [i: j](f(a_0), \dots, f(a_{n-1}))_i </tex> (по введенному выше определению)*<tex> f([i: j](a))_i = f([i: j](a)_i) </tex> (по определению компаратора и по введенному выше определению)*<tex> \min(f(a_i), f(a_j)) = f(\min(a_i, a_j)) </tex> (по определению компаратора и по уже доказанной лемме).Таким образом, результат не зависит от того, что мы сделаем с отдельным компаратором сначала: применим монотонную функцию или пропустим его через сеть. Те же рассуждения можно провести для всех других индексов, то есть <tex> [i: j]f(a) = f([i: j](a)) </tex> для всех компараторов в сети, то есть лемма доказана. }}  {{ Теорема| about = 0-1 принцип| statement = Если сеть компараторов сортирует все последовательности из нулей и единиц, то она сортирующая| proof =Рассмотрим сеть <tex> N </tex>, сортирующую в возрастающем порядке: <tex> a_0 \leqslant a_1 \leqslant \dots \leqslant a_{n-1} </tex>. Предположим, что есть последовательность <tex> a </tex>, которую сеть <tex> N </tex> не сортирует. Тогда после пропуска <tex> a </tex> через сеть <tex> N </tex>, получим последовательность <tex> b </tex>, в которой найдется индекс <tex> i </tex> такой, что <tex> b_i > b_{i + 1} </tex>. Рассмотрим функцию <tex> f(x) = \begin{cases}0, x < b_i \\1, x \ge b_i\end{cases}</tex> . Очевидно, она монотонная. Заметим, что <tex> f(b_i) = 1 </tex>, а <tex> f(b_{i + 1}) = 0 </tex>, то есть <tex> f(b) </tex>, или <tex> f(N(a)) </tex> — не отсортирована. Так как <tex> f </tex> и <tex> N </tex> коммутируют, <tex> N(f(a)) </tex> — также не отсортирована. Но по предположению теоремы, все последовательности из нулей и единиц сеть сортировать умеет, то есть такой последовательности <tex> a </tex> не найдется, то есть сеть компараторов является сортирующей.}} == См. также ==*[[Сеть_Бетчера|Сеть Бетчера]]*[[Сортирующие_сети|Сортирующие сети]] == Источники информации ==*[http://www.inf.fh-flensburg.de/lang/algorithmen/sortieren/networks/indexen.htm Bachelor-Studiengang Angewandte Informatik {{---}} Sorting networks]*[http://en.wikipedia.org/wiki/Sorting_network Wikipedia {{---}} Sorting networks]*Дональд Кнут {{---}} Искусство программирования {{---}} Том 3 {{---}} Глава 5.3.4 {{---}} стр. 249 [[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория:Сортирующие сети]]